D12_6傅里叶级数

1、目录 上页 下页 返回 结束 第六节第六节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数傅里叶级数 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率

2、, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00sinsinxxnxkd同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0sincosxxnxkd)(nk 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn

3、 dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2d)(nnnxxnbxxnaxaxxf0a,对在逐项积分, 得目录 上页 下页 返回 结束 xx

4、kaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函

5、数)(xf 简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2 的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 yx例

6、例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),0,10,1)(xxxf解解: 先求傅里叶系数dcos)(1xnxxfan00dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. O11目录 上页 下页 返回 结束 dsin)(1xnxxfbn00dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx目录 上页 下页 返回 结束 yx11O),2,0,(x

7、x77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.Oyx目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 上的表达式为),0,00,)(xxxxf将 f (x) 展成傅里叶级数.解解: 0d)(1xxfa0dcos1xxnxdcos)(1xnxxfan0d1xx0221x202cossin1nnxnnxxcos12nn它在 xyO2332目录 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(ndsin)(1x

8、nxxfbnnn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx32231x4sin41 5sin 5cos xx52251cos12nnan,) 12(22k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0目录 上页 下页 返回 结束 , )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), )(xxf , )2(kxf其它目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将

9、函数0, 0,)(xxxxxf则0d)(1xxFad)(1xxf0d2xx0222xdcos)(1xnxxFandcos)(1xnxxf0dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶级数.2为周期的函数 F(x) , yxO目录 上页 下页 返回 结束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,) 12(42kdsin)(1xnxxFbndsin)(1xnxxf0)(xf24xcosx5cos512)(x当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明说明: 利用此展式可求出

10、几个特殊的级数的和.目录 上页 下页 返回 结束 42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3

11、,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. f (x) 是周期为2 的周期函数,它在上),解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO目录 上页 下页 返回 结束 n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21

12、(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkx级数的部分和 上在),逼近 f (x) 的情况见右图. yxOn2n3n4n5Oxy目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu 为便于计算, 将周期取为2 y2xO2目录 上页 下页 返回 结束 t 2cos310d) 1(sin) 1(si

13、nttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t6cos351E2E4xkkEk2cos141412目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义在定义在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xOy正弦级数 f (x) 在 0, 上展成Oxy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0),(xxf)0,(),(xxf目录 上页 下页 返回 结束 xyO1例

14、例6. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k目录 上页 下页 返回 结束 nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1目录 上页 下页 返

15、回 结束 再求余弦级数.xy将)(xf则有O0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1目录 上页 下页 返回 结束 na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(xyO1目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级

16、数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf目录 上页 下页 返回 结束 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 ,

17、处收敛于2.)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为xyO11目录 上页 下页 返回 结束 xO3. 设,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式 .解解: 由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx)(xf是2), 0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数, 在2x

18、 f (x)的定义域 目录 上页 下页 返回 结束 xyO11)(xf4. 写出函数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 P276 2(1) , (3) ; 3 5 ; 6 ; 7 第八节 作业作业 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系数. 3b提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21xx3sin0 x3cos31x3sin91)3sin93cos3(2xxx03