全等三角形的证明

1、 全等三角形全等三角形全等三角形判定全等三角形判定知识透析知识透析1.判定定理(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(4)两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS)(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)2. “ASA ”和“AAS” 可总结为两个三角形如果具备两 个角和一条边对应相等即可证全等3. 证明两个直角三角形，可根据“HL”证明，但并不是只能用这个方法。两个直角三角形已知有两个直角是相等的，所以做题时还可以考虑“AAS”“ASA”“S

2、AS”进行证明全等三角形判定全等三角形判定知识透析知识透析abcdef123456SSS边边边定理的识别定理的识别abcdef123456SAS边角边定理的识别定理的识别abcdef123456ASA角边角定理的识别定理的识别abcdef123456AAS角角边定理的识别定理的识别BCADEASA角边角定理的识别定理的识别BCADESAS边角边定理的识别定理的识别BCADEAAS角角边定理的识别定理的识别ABCDASA角边角定理的识别定理的识别ABCDAAS角角边定理的识别定理的识别ABCDSAS边角边定理的识别定理的识别哪些证明方法哪些证明方法不行？不行？AAA反例：ACBFED,ABCDE

3、FADBECF 但不与全等ASS，SSA 已知ABC中，ABAC，过点A任作一直线（不与BC垂直）和BC交于点D在ABD和ACD中，有ABAC，ADAD，BC，显然它们不全等ABDCASS，SSA 已知ABC中，ABAC，过点A任作一直线，和BC的延长线交于点D在ABD和ACD中，有ABAC，ADAD，DD，显然它们不全等ABDC证明的书写证明的书写SSS证明书写证明书写ABCEDFAB=DEAC=DFBC=EF在ABC和DEF中，ABCDEFA=D，B=E, C=FBCADE已知：AD=AB，AE=AC, ED=CB求证：D=B已知：A为EC中点，且为DB中点, ED=CB求证：D=BSSS

4、书写训练书写训练ADCB1234已知：BC=BD, AC=AD求证：3=4ABCD1234已知：AB=DC, AC=DB求证：2=4, 1=3OB CA DMN如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M（1）求证：ABC DCB ；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论(2009云南)abcdef123456SAS边角边ABCEDFAB=DEAC=DFA=D在ABC和DEF中，ABCDEFBC=EF，B=E，C=FSAS书写过程书写过程已知：已知：A=D,AB=AE,AC=DF求证：求证：A

5、BCABCDEFDEFBCADE在ABC和ADE中，1=212DA=ABEA=ACDAEBACE=C，D=B，DE=BC已知：已知：DA=AB,EA=AC求证：求证：DAEDAEBACBACABCD在ABC和DBC中，1=2AB=DBBC=BCABCDBCA=D，ACB=DCB，AC=DC12已知：已知：AB=BD,BC=BC求证：求证：ABCABCDBCDBCSAS书写训练书写训练BCADE已知：DA=BA, EA=CA求证：D=BADCB1234已知：1=2, AC=AD求证：3=4已知：AC=DB,2=4求证：1=3ABCD1234ABCDEO已知：ABAC，ADAE，BADCAE求证：

6、(1) ABEACD； (2) OBOC （2009重庆）如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求证：ACD BCE；(2)若D=50，求B(2010江苏苏州江苏苏州) 证明：证明：(1)点点C是线段是线段AB的中点的中点AC=BC又又CD平分平分ACE ，CE平分平分BCD1=2，2=31=3在在ACD和和BCE中，中，ACD BCE1=3AC=BCCD=CE(2)1+2+3=1801= 2 =3=60在在ACD和和BCE中，中，ACD BCEE=D=50abcdef123456AAS角角边BCADE在ABC和ADE中，1=212DA=ABDAEBACD=

7、B，EA=AC，DE=BCE=CAAS书写过程书写过程已知：已知：E=C,AB=AD求证：求证：ABCABCADEADE在ABC和ADE中，1=2BC=BCABCDBC3=4，AB=DB，AC=DCABCD1234A=D已知：已知：E=C,AB=AD求证：求证：ABCABCADEADEAAS书写训练书写训练BCADE已知：E=C, ED=CB求证：AD=ABADCB1234已知：3=4, C=D求证：BC=BD已知：AB=AC，D为BC的中点，DEAB， DFAC求证：BED CFD (2009湖州)DCBEAFDEAB， DFACBDE=CFD=90 AB=ACB=C D为BC的中点BED

8、CFD BD=CD 1分1分1分1分BCADE已知：E=C, ED=CB求证：AD=AB已知：E=C, EA=CA求证：D=B综合已知：DA=BA, EA=CA求证：D=B已知：AD=AB，AE=AC, ED=CB求证：D=BADCB1234已知：1=2, 3=4求证：AC=AD已知：1=2, AC=AD求证：3=4已知：BC=BD, AC=AD求证：3=4已知：3=4, C=D求证：BC=BDADCB1234已知：3=4, C=D求证：ACD为等腰三角形已知：1=2, C=D求证：CDABABCD已知：2=4, AC=DB求证：AB=DC1234已知：2=4, AC=DB求证：1=3已知：1

9、=3, 2=4求证：AC=DB已知：AB=DC, AC=DB求证：2=4, 1=3ABCD已知：2=4, AC=DB求证：AB=DC1234已知：2=4, AC=DB求证：1=3已知：1=3, 2=4求证：AC=DB已知：AB=DC, AC=DB求证：2=4, 1=3已知方向SSSASSSSAAAASASA总 结总总 结结ASSAS ASA AAS强化训练强化训练翻折型旋转型已知：1=2, BE=CF, AF=DE求证：AB=DCABCD12EF已知：1=2,A=D,BE=CF求证：AB=DC BE=CFBE+EF=CF+EF即BF=CE翻折型已知：AB=DE，ACDF，BCEF求证：ABC

10、DEFABCDEF已知：AB=AC, BD=CD求证：ADBCABCDOACEDB已知：AB=AC, AD=AE求证：BD=CE（2010 山东济南）AB=AC B=C AD=AE ADE=AED180-ADE=180-AED 即ADB=AEC 在ABD和ACE中AB=AC B=C ADB=AECABD ACE BD=CE 已知：AB=BC，BF平分ABC，AFDC求证：CA是DCF的平分线。(2009赤峰)ABCDF已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC ，AB=DC ，AB=2，DC=4 ，延长BC到E，使CE=AD证明：BD=DE （2009崇左）ABCDE已知：ABC为等边三角形，AE=

11、CD，(1)求证：ABE CAD； (2)求BFDABCEDFBFD=BAF+1=BAF+212旋转型已知： AB=AC，BD=CE。求证：DG=GEABCGEPD已知：ABC和ECD都是等腰直角三角形， （1）求证：ACE BCD； （2）求证：ADE为直角三角形ADE为直角三角形EAD=90EAC=45EAC= DBCBCADE已知：D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由ABCDE123已知：等边ABC和等边EDC，找出图中的一组全等三角形，并说明理由（2009湖北荆州）ABDCEF124356已知已知Rt ABC R

12、t ADE,ADE,ABC=ABC=ADE=90ADE=90(1)(1)列出图中所有的全等三角形列出图中所有的全等三角形(2)(2)求证求证CF=EFCF=EF(3)(3)5=5=6 6已知：AB=AC，以两边为腰作两个等腰直角三角形，1=40（1）求DBC的度数；（2）求证：BD=CE（2009绍兴）1提高扩展提高扩展垂直平分线定理:垂直平分线上的点到线段两端距离相等ABCP已知：PCAB， AC=BC求证：PA=PBPC是AB的垂直平分线AB被PC垂直平分已知：四边形ABCD，AE平分BAD，DE平分ADCAED= ，AB=4，EC=3求：AD的长度ABCDE090ABCDO已知：OA平分

13、BAC，1=2求证： 是等腰三角形ABCEF1221ABCDEP已知：BD是ABC的角平分线，AEBD求证：2=1+C在BC上截取BP=AB，连接EPABE PBE3=2在APC中，3=1+C2=1+C3角平分线第二种辅助线：若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角两边相交构造等腰三角形21ABCDE已知：BD是ABC的角平分线，AEBD求证：2=1+C已知： B=60，角平分线AD、CE交于O求证：AE+CD=ACABCDEOPBCD已知：AD是BAC的角平分线你该怎么做？AP在AC上截取AP=AB连接DP角平分线第三种辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形12已知：AD是BAC的

14、角平分线，ABAC求证：AB-BDAC-CDBCDA在AB上截取AP=AC，P连接PDAP=ACAD=AD1=2在APD和ACD中，APDACDPD=CD12AB-BDAC-CDAB-BD -AB-APBD-PDBD-PD=AP PD=BP已知：AD是外角平分线求证：BD+CDAB+ACPDA在BA上截取AP=AC，连接PDCAPDACDPD=CDBD+CDAB+ACBD+ AB+BD+PD=PDAP=BPBABCDEOP在AC上截取AP=AE，连结POAEO APO1=21 234B=602+3=1201=2=3=4=60PCO=DCOOC=OC3=4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=C

15、PPCODCO已知:B=60，角平分线AD、CE交于O。 求证:AE+CD=AC已知:B=60，角平分线AD、CE交于O。 求证:AE+CD=ACABCDEOP作AOC的角平分线OPAEO APO1 234B=602+3=1201=2=3=4=60PCO=DCOOC=OC3=4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=CPPCODCO小结小结1.1.角平分线第一种辅助线：过角平分线上的一角平分线第一种辅助线：过角平分线上的一点向角的两边作垂线（常考）点向角的两边作垂线（常考）2.2.角平分线第二种辅助线：若有和角平分线垂角平分线第二种辅助线：若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角两边相交构造直

16、的线段时，常把它延长与角两边相交构造等腰三角形等腰三角形3.3.角平分线第三种辅助线：在角两边截取相等角平分线第三种辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形的线段，构造全等三角形ABCDP已知：AD为中线求证：AB+AC2AD中线辅助线作法：有中线时，常加倍他们构造全等三角形ABCDP已知：AB=5，AC=3，AD为中线求证：AD的取值范围已知： RtABC中，AO为中线 求证：2AO=BCABCOP延长AO至P,使PO=AO,连BPAO=POCO=BO1 =2在AOC和POB中，AOCPOBAC=PB1234AC=PBAB=ABBAC=ABP在ABC和BAP中，ABCBAPAP=BC直角三角形斜边中线等于斜边一半，C=3 以ABC两边作2个正方形， AD为中线。 证：MN=2ADAN=BPMANABPADCPDBMA=ABMAN=ABP ABCDF