九年级数学 【教学论文】一元二次方程根的分布范围的妙解

1、九年级数学一元二次方程根的分布范围的妙解一元二次方程根的分布范围的妙解一元二次方程根的分布问题，通常是比较难的一个问题。在学生解答题目时会出现许多错误的答案。一元二次方程的求实根时，也会出现增根与失根的问题。增根时，可以用检验的方法去验证；失根时，在求解时使用了减少实根范围的条件而导致的，一般不容易发现，事后也难找出来。求一元二次方程实根的问题，如果与根的判别式、根与系数的关系联系起来那就要简单一些。在日常教学中，也用到了根的判别式、根与系数的关系来确定实根的具体情况。对于一元二次方程实根的分布范围，就有点儿难度。因为这时的实根不是具体的数值，而是一个指定的取值范围，那么就必须用到根的判别式与

2、根与系数的关系来确定。怎样能解决这样的问题呢？这是学生难以搞懂的一个问题。下面我们用一种巧妙的解法-“换元法”来解决这个问题。关于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)，下面的三个结论是极易证明的。定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0，那么0，且 V0；反之，如果0，且V0,那么方程 ax2+bx+c=0的两根中，一根大于 0 而另一根小于 0.(2) 方程的两根都大于 0,那么0且0；反之，如果0且 V0,0，那么方程ax2+bx+c=0的两根都大于 0.(3) 方程的两根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0且0,

3、0,那么方程 ax2+bx+c=0 的两根都小于 0.应用上述定理中的三个结论，便可以解决各种类型的一元二次方程实根分布范围的问题。当然还必须运用一定的方法-“换元法”来辅助完成。例题 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的两根，一个根大于 1 而另一个根小于 1,求的取值范围。解：此题求的根的分布范围与 1 的关系，可以设 x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)则方程(1)的两根中一根大于 0,而另一根小于 0,由定理中的结论(1)得：V0,解这个不等式就可求得m的取值范围是:mV-或m0.例题2、 若方程x2+(m+2)x+4=0的两根均比 1 大，

4、求 m 的取值范围。解：因为两根都要大于 1,而设 x=y+1，则 y就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)则方程(1)的两根都大于 0,由定理中的结论(2)得：第2页共 10 页(4+m)2-4(m+7)N0,4+mVO,m+70.解这个不等式组，即得的取值范围是-7VmV-6，或 m2.例题 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都小于 2,求的取值范围。解：因为两根都小于 2,则设 x=y+2,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)则方程(1)的两根都小于 0,由定理中的结论(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m

5、+50.解这个不等式组，即得 m 的取值范围是:-5VmS-4 或 m4.例题 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0有一个根小于 1而另一根大于 3,求 m 的取值范围。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可设 x=y+1,代入原方程得：y2+(m+2)y+(3m+3)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以设 x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2

6、)联立的不等式组，即得 m 的取值范围是:mV-.例题 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的两根都大于 2 而小于 5,求的取值范围。解：方程有实根，.=9m2-16m(m+1)=-7m2-16m0即-m0.m2或 mV-2(2)又方程的两根都小于 5,可设 x=y+5,代入原方程得：(l+m)y2+(10+7m)y+14m+25=0则此方程的两根都小于 5,由定理中的结论(3)得；00.m-1,或 mV-.(3)解由(1)、(2)、(3)联立的不等式组，即得 m 的取值范围是：-m0.m0(1)又由题意知，原方程的一根大于 0 而另一根小于 0,由定理中的结论(1)得：V0,0V

7、mV1(2)又由题意知，原方程的两根都小于 1,于是可以设 x=y+1，代入原方程得：my2+(4m-2)y+(4m-3)=0则此方程的两根都小于 0,由定理中的结论(3)得：00m或 mV0.(3)解由(1)、(2)、(3)联立的不等式组，即得的取值范围是：VmV1.例题 7、若 x=1时，代数式 ax2+bx+c的值小于 0；当 a0,且有 b2-4ac0，试证明ax2+bx+c的一根大于 1 而另一根小于 1.第4页共 10 页证明：由已知条件知，x=1时，a*12+b*1+c=a+b+cV0因为要证明的根与 1 有关，所以设 x=y+1，代入所给方程得：ay2+(2a+b)y+(a+b

8、+c)=0(1)b2-4ac0,a0,a+b+cV0,V0由定理中结论(1)可知，方程(1)的一根大于 0 而另一根小于 0,从而由 X=y+1 知方程 ax2+bx+c=0 的一根大于 1 而另一根小于 1.一元二次方程根的分布问题，通常是比较难的一个问题。在学生解答题目时会出现许多错误的答案。一元二次方程的求实根时，也会出现增根与失根的问题。增根时，可以用检验的方法去验证；失根时，在求解时使用了减少实根范围的条件而导致的，一般不容易发现，事后也难找出来。求一元二次方程实根的问题，如果与根的判别式、根与系数的关系联系起来那就要简单一些。在日常教学中，也用到了根的判别式、根与系数的关系来确定实

9、根的具体情况。对于一元二次方程实根的分布范围，就有点儿难度。因为这时的实根不是具体的数值，而是一个指定的取值范围，那么就必须用到根的判别式与根与系数的关系来确定。怎样能解决这样的问题呢？这是学生难以搞懂的一个问题。下面我们用一种巧妙的解法-“换元法”来解决这个问题。关于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)，下面的三个结论是极易证明的。 定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0，那么0，且 V0；反之，如果0，且 V0,那么方程 ax2+bx+c=0 的两根中，一根大于 0 而另一根小于 0.(2) 方程的两根都大于 0,那么0

10、且0；反之，如果0且 V0,0，那么方程第5页共 10 页ax2+bx+c=0的两根都大于 0.(3) 方程的两根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0且0,0,那么方程 ax2+bx+c=0 的两根都小于 0.应用上述定理中的三个结论， 便可以解决各种类型的一元二次方程实根分布范围的问题。当然还必须运用一定的方法-“换元法”来辅助完成。例题 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的两根，一个根大于 1而另一个根小于 1,求的取值范围。解：此题求的根的分布范围与 1 的关系，可以设 x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)则方程(1)的两根中一根大于

11、0,而另一根小于 0,由定理中的结论(1)得：V0,解这个不等式就可求得 m 的取值范围是:mV-或 m0.例题 2、若方程 x2+(m+2)x+4=0的两根均比 1大，求 m 的取值范围。解：因为两根都要大于 1,而设 x=y+1，则 y就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)则方程(1)的两根都大于 0,由定理中的结论(2)得：(4+m)2-4(m+7)N0,4+mV0,m+70.解这个不等式组，即得的取值范围是-7VmV-6，或 m2.例题 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0的两根都小于 2,求的取值范围。解：因为两根都小于 2,则设 x=y+2

12、,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)则方程(1)的两根都小于 0,由定理中的结论(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m+50.解这个不等式组，即得 m 的取值范围是:-5VmS-4 或 m4.例题 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0有一个根小于 1而另一根大于 3,求 m 的取值范围。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可设 x=y+1,代入原方程得：y2+(m+2)y+(3m+3)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：第6页共 10 页3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以设

13、 x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2)联立的不等式组，即得 m 的取值范围是:mV-.例题 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的两根都大于 2 而小于 5,求的取值范围。解：方程有实根，.=9m2-16m(m+l)=-7m2-16m0即-m0.m2 或 mV-2(2)又方程的两根都小于 5,可设 x=y+5,代入原方程得：(1+m)y2+(10+7m)y+14m+25=0则此方程的两根都小于 5,由定理中的结论(3)得；00.m-1,或 mV-.(3

14、)解由(1)、(2)、(3)联立的不等式组，即得 m 的取值范围是：-m0.m0(1)又由题意知，原方程的一根大于 0 而另一根小于 0,由定理中的结论(1)得：V0,0VmV1(2)又由题意知，原方程的两根都小于 1,于是可以设 x=y+1,代入原方程得：my2+(4m-2)y+(4m-3)=0则此方程的两根都小于 0,由定理中的结论(3)得：00第9页共 10 页解由(1)、(2)、(3)联立的不等式组，即得的取值范围是：VmVl.例题 7、若 x=1 时，代数式 ax2+bx+c的值小于 0；当 a0,且有 b2-4ac0，试证明ax2+bx+c的一根大于 1 而另一根小于 1.证明：由

15、已知条件知，x=1时，a*12+b*1+c=a+b+cV0因为要证明的根与 1 有关，所以设 x=y+1，代入所给方程得：ay2+(2a+b)y+(a+b+c)=0(1)b2-4ac0,a0,a+b+cV0,V0由定理中结论(1)可知， 方程(1)的一根大于 0 而另一根小于 0,从而由 x=y+1知方程 ax2+bx+c=0的一根大于 1 而另一根小于 1.一元二次方程根的分布问题，通常是比较难的一个问题。在学生解答题目时会出现许多错误的答案。一元二次方程的求实根时，也会出现增根与失根的问题。增根时，可以用检验的方法去验证；失根时，在求解时使用了减少实根范围的条件而导致的，一般不容易发现，事

16、后也难找出来。求一元二次方程实根的问题，如果与根的判别式、根与系数的关系联系起来那就要简单一些。在日常教学中，也用到了根的判别式、根与系数的关系来确定实根的具体情况。对于一元二次方程实根的分布范围，就有点儿难度。因为这时的实根不是具体的数值，而是一个指定的取值范围，那么就必须用到根的判别式与根与系数的关系来确定。怎样能解决这样的问题呢？这是学生难以搞懂的一个问题。下面我们用一种巧妙的解法-“换元法”来解决这个问题。关于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)， 下面的三个结论是极易证明的。定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0,

17、那么0，且 vo；反之，如果0,且V0,那么方程 ax2+bx+c=0的两根中，一根大于 0而另一根小于 0.(2) 方程的两根都大于 0,那么0 且0；反之，如果0且 V0,0,那么方程ax2+bx+c=0的两根都大于 0.(3) 方程的两根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0 且0,0,那么方程 ax2+bx+c=0 的两根都小于 0.应用上述定理中的三个结论， 便可以解决各种类型的一元二次方程实根分布范围的问题。当然还必须运用一定的方法-“换元法”来辅助完成。例题 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的两根，一个根大于 1而另一个根小于 1,求的取值范围。解：此题求的根的分布

18、范围与 1 的关系，可以设 x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)则方程(1)的两根中一根大于 0,而另一根小于 0,由定理中的结论(1)得：V0,解这个不等式就可求得 m 的取值范围是:mV-或 m0.例题 2、若方程 x2+(m+2)x+4=0 的两根均比 1 大，求 m 的取值范围。解：因为两根都要大于 1,而设 x=y+1，则 y 就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)则方程(1)的两根都大于 0,由定理中的结论(2)得：(4+m)2-4(m+7)0,4+mV0,m+70.解这个不等式组，即得的取值范围是-7VmV-6

19、，或 m2.例题 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0 的两根都小于 2,求的取值范围。解：因为两根都小于 2,则设 x=y+2,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)则方程(1)的两根都小于 0,由定理中的结论(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m+50.解这个不等式组，即得 m 的取值范围是:-5VmS-4 或 m4.例题 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0 有一个根小于 1 而另一根大于 3,求 m 的取值范围。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可设 x=y+1,代入原方程得：第 8 页共 10 页218上y2+(m+2)y+(3m+3)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以设 x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0则此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的结论(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2)联立的不等式组，即得 m 的取值范围是:mV-.例题 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的两根都大