一般周期的傅里叶级数

1、上页下页结束返回首页8.6 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以2p为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？ 上页下页结束返回首页8.6 周期为2l的周期函数的傅里叶级数8.6.1 周期为2l的函数的傅里叶级数 8.6.2 傅里叶级数的复数形式 上页下页结束返回首页v分析 这是因为 )()()2()2()2(tFtlfltlftlftFppppp)()()2()2()2(tFtlfltlftlftFppppp)()()2()2()2(tFtlfltlftlftFppppp)(

2、)()2()2()2(tFtlfltlftlftFppppp)()()2()2()2(tFtlfltlftlftFppppp. 函数 f(x)以 2p为周期, 则函数)()(tlftFp以 2p为周期. 下页8.6.1 周期为2l的函数的傅里叶级数上页下页结束返回首页 当F(t)满足收敛定理的条件时, 可展开成傅里叶级数: 其中 pppntdttFancos)(1, pppntdttFbnsin)(1. )sincos(2)(10ntbntaatFnnn, 函数 f(x)以 2p为周期, 则函数)()(tlftFp以 2p为周期. 令tlxp, 即lxtp, 则有 )sincos(2)(10l

3、xnblxnaaxfnnnpp, llndxlxnxflapcos)(1, , llndtlxnxflbpsin)(1. 下页v分析 上页下页结束返回首页 llndxlxnxflbpsin)(1(n1, 2, ). 其中 llndxlxnxflapcos)(1(n0, 1, 2, ), 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为v定理 )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnnpp, 当f(x)为奇函数时, an0(n0, 1, 2, ), f(x)的傅里叶级数为正弦级数; 当f(x)为偶函数时, bn0(n1, 2, ), f(x)的傅里叶级数为

4、正弦级数.注: 下页上页下页结束返回首页 例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在2, 2)上的表达式为 20 02 0)(x k x xf(常数 k0). 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 函数f(x)在点x0, 2, 4, 6, 是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 .2k下页和函数的图形 f(x)的图形上页下页结束返回首页a0k, an0, 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 2nnnkbnp, 因为f(x)的傅里叶系数为(过程详见下页) (x; x0, 2, 4, ). ) 25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxfpppp所以下页 例1 设

5、f(x)是以4为周期的函数, 它在2, 2)上的表达式为 20 02 0)(x k x xf(常数 k0). 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 函数f(x)在点x0, 2, 4, 6, 是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 .2k上页下页结束返回首页求函数20 02 0)(x k x xf的傅里叶系数: llndxlxnxflapcos)(1, , llndtlxnxflbpsin)(1. kkdxa20021 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 2)cos1 (nnnknnkppp02sin2cos212020 xnnkdxxnkanppp20202cos2sin21x

6、nnkdxxnkbnppp02sin2cos212020 xnnkdxxnkanppp02sin2cos212020 xnnkdxxnkanppp(n0), kkdxa20021; 20202cos2sin21xnnkdxxnkbnppp 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 2)cos1 (nnnknnkppp. 返回上页下页结束返回首页2 将函数lxxlpxpxxM2l 2)(2l0 2 )(展开成正弦级数. 例2 解 对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数, 其傅里叶级数在0, 1上处处收敛于M(x). 下页 因为函数M(x)的正弦级数的系数为(过程详见下页) 上页下页结

7、束返回首页求函数lxxlpxpxxM2l 2)(2l0 2 )(的正弦级数的系数: dxlxnxMlbln0sin)(2psin2)(sin22220dxlxnxlpdxlxnpxllllpp)()(sin2sin220220dtltlnptdxlxnpxlllpp(第二项令tlx) sin2) 1(sin2220120dtltnptdxlxnpxllnlpp当n2, 4, 6, 时, bn0; 2sin2sin242220pppnnpldxlxnxlpbln当n1, 3, 5, 时,2sin2sin242220pppnnpldxlxnxlpbln. )()(sin2sin220220dtlt

8、lnptdxlxnpxlllppsin2) 1(sin2220120dtltnptdxlxnpxllnlpp. 返回上页下页结束返回首页 , 6 , 4 , 2 0 , 5 , 3 , 1 2sin222nnnnplbnpp, an0(n0, 1, 2, 3, ), ) 5sin513sin31(sin2)(222 lxlxlxplxMpppp(0 xl). 所以M(x)的正弦级数展开式为结束 因为函数M(x)的正弦级数的系数为 2 将函数lxxlpxpxxM2l 2)(2l0 2 )(展开成正弦级数. 例2 解 对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数, 其傅里叶级数在0, 1上处处收

9、敛于M(x). 上页下页结束返回首页利用欧拉公式欧拉公式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则)01( )cossin2nnnanxnxf xabllpp)1cos2n xn xlliinxeelppp)sin2n xn xlliinxieelppp01( )()22n xn xlliinnaaf xeepp)n xn xlliieepp2nib0122nnnaaib2nnaiblxnieplxniep0cncnc8.6.2 傅里叶级数的复数形式上页下页结束返回首页llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(121p2nnnbiacllxlxn

10、xflidsin)(p)llxlxnilxnxfldsincos)(21ppllxfl)(21),2, 1(dnxlxniep注意到2nnnbacxd同理),2, 1(nlxniep上页下页结束返回首页傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212pTxninnecxfp2)(),2, 1,0(n因此得上页下页结束返回首页式的傅里里叶级数 . 例4. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形解解: 在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0

11、TTtt上页下页结束返回首页tetuTTtnid)(12 22pnc22 2d1ptehTTtniTnnhppsin),2,1(nThtu)(phTtnineTnnpp2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThpTniTnieeinhppp21Ttniep222上页下页结束返回首页为正弦 级数. 内容小结内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式)(xf20a)lxnblxnannnppsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1pnbxlxnxfllldsin)(1p), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.

12、 在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3. 傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出上页下页结束返回首页思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出收敛域 .,nnab 时kkab则或必须单独计算.上页下页结束返回首页作业习题8-6n1题，2题课堂练习n3题，5题，8题课后练习上页下页结束返回首页备用题备用题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn(91 考研) 解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxa