2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版第一章集合与常用逻辑用语讲义

1、11集合的概念第1课时集合的概念学习目标1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用知识点一元素与集合的概念1元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c表示2集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C表示3集合相等：指构成两个集合的元素是一样的4集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准知识点二元素与集合的关系1属于：如果a是集合A

2、的元素，就说a属于集合A，记作aA.2不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR1组成集合的元素一定是数()2接近于0的数可以组成集合()3分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的()4一个集合中可以找到两个相同的元素()一、对集合的理解例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()中国各地的美丽乡村；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家A B C D答案B解析中“美丽”标准不明确，不符合确定性，中的元素标准

3、明确，均可构成集合，故选B.(2)下列说法中，正确的有_(填序号)单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等腰三角形；将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合答案解析不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素

4、的排列顺序无关反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关二、元素与集合的关系例2下列关系中正确的个数为()eq r(2)Q；1N；R；|4|Z.A1 B2 C3 D4答案B解析eq r(2)是无理数，eq r(2)Q，故错误；1N，正确；是实数，R，故错误；|4|4是整数，|4|Z，故正确反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合

5、中元素所具有的特征即可跟踪训练1给出下列说法：R中最小的元素是0；若aZ，则aZ；若aQ，bN*，则abQ.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析实数集中没有最小的元素，故不正确；对于，若aZ，则a也是整数，故aZ，所以也不正确；只有正确三、元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值解3A，3a3或32a1，若3a3，则a0，此时集合A中含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1，此时集合A中含有两个元素4，3，符合题意；综上所述，a0或a1.延伸探究若将“3A”换成“aA”，求实数a的值解aA，aa3或a2a1，解得a1，此时集合A中有两

6、个元素2,1，符合题意故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2，若1A，则实数a_.答案1解析若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，aa2，集合A中有一个元素，a1.当a1时，集合A中含有两个元素1，1，符合互异性a1.1下列给出的对象中，能组成集合的是()A一切很大的数B好心人C漂亮的小女孩D方程x210的实数根答案D2下列结论不正确的是()A0N B.eq r(2)Q C0Q D8Z答案C解析0是有理数，故0Q，所以C错误3若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形 B平行

7、四边形C菱形 D矩形答案A解析由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等4一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_个元素答案10解析由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素5如果有一集合含有两个元素：x，x2x，则实数x的取值范围是_答案x0,2解析由集合元素的互异性可得x2xx，解得x0,2.1知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系(2)常用数集的表示(3)集合中元素的特性及应用2方法归纳：分类讨论3常见误区：忽视集合

8、中元素的互异性1以下各组对象不能组成集合的是()A中国古代四大发明B地球上的小河流C方程x270的实数解D周长为10 cm的三角形答案B解析因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合2若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A3.14 B5 C.eq f(3,7) D.eq r(7)答案D解析由题意知a应为无理数，故a可以为eq r(7).3有下列说法：集合N中最小的数为1；若aN，则aN；若aN，bN，则ab的最小值为2；所有小的正数组成一个集合其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析N中最小的数为0，所以错；由(2)N，而2N可知错

9、；若aN，bN，则ab的最小值为0，所以错；“小”的正数没有明确的标准，所以错，故选A.4给出下列关系：eq f(1,3)R；eq r(5)Q；3Z；eq r(3)N，其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析eq f(1,3)是实数，正确；eq r(5)是无理数，错误；3是整数，错误；eq r(3)是无理数，正确故选B.5集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若xA且xB，则x等于()A2 B3 C4 D6答案B解析集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意6下列说法中：集合N与集合N*是同一个集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都

10、是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有_答案解析因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以中的说法不正确，中的说法正确7已知集合A是由0，m，m23m2三个元素构成的集合，且2A，则实数m_.答案3解析由题意知，m2或m23m22，解得m2或m0或m3，经验证，当m0或m2时，不满足集合中元素的互异性，当m3时，满足题意，故m3.8若由a，eq f(b,a)，1组成的集合与由a2，ab,0组成的集合相等，则a2 019b2 019的值为_答案1解析由已知可得a0，因为两集合相等，所以有eq blcrc (avs4alco1

11、(f(b,a)0，,a21，)或eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)0，,ab1，)所以eq blcrc (avs4alco1(b0，,a1，)(舍)或eq blcrc (avs4alco1(b0，,a1，)经检验，a1，b0，满足条件，所以a2 019b2 0191.9设A是由满足不等式x6的自然数组成的集合，若aA且3aA，求a的值解aA且3aA，eq blcrc (avs4alco1(a6，,3a6，)解得a2.又aN，a0或1.10设xR，集合A中含有三个元素3，x，x22x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若2A，求实数x的值解(1)由集合元素的互异性可得x3，x2

12、2xx，且x22x3，解得x1，x0，且x3.(2)若2A，则x2或x22x2.由于方程x22x20无实数解，所以x2.经检验，知x2符合互异性故x2.11集合A中含有三个元素2,4,6，若aA，且6aA，那么a为()A2 B2或4 C4 D0答案B解析若a2，则624A；若a4，则642A；若a6，则660A，故选B.12已知x，y为非零实数，代数式eq f(x,|x|)eq f(y,|y|)eq f(xy,|xy|)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A1M B1M C2M D3M答案A解析当x，y均为正数时，代数式eq f(x,|x|)eq f(y,|y|)eq f(xy,|xy

13、|)的值为3；当x，y为一正一负时，代数式eq f(x,|x|)eq f(y,|y|)eq f(xy,|xy|)的值为1；当x，y均为负数时，代数式eq f(x,|x|)eq f(y,|y|)eq f(xy,|xy|)的值为1，所以集合M的元素有1,3，故选A.13由a2,2a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A1 B2 C1 D2答案C解析由题意知a24,2a4，a22a，解得a2，且a1，结合选项知C正确，故选C.14已知集合A中的元素满足x3k1，kZ，则1_A，34_A(填“”或“”)答案解析当k0时，x1，所以1A；令343k1，得k11，所以34A

14、.15已知集合M有2个元素x,2x，若1M，则下列说法一定错误的是_2M；1M；x3.答案解析依题意eq blcrc (avs4alco1(x1，,2x1，,x2x.)解得x1，x1且x3，当x2或2x2，即x2或0时，M中的元素为0,2，故可能正确；当x1或2x1，即x1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故不正确，显然正确16设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若aA，则eq f(1,1a)A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明(1)若aA，则eq f(1,1a)A.又因为2A，所以eq f(1,12)1A.因为1A，所以eq f(1,1

15、1)eq f(1,2)A.因为eq f(1,2)A，所以eq f(1,1f(1,2)2A.所以A中另外两个元素为1，eq f(1,2).(2)若A为单元素集，则aeq f(1,1a)，即a2a10，方程无实数解所以aeq f(1,1a)，所以集合A不可能是单元素集第2课时集合的表示学习目标1.初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法知识点二描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(

16、x)，这种表示集合的方法称为描述法思考不等式x23的解集中的元素有什么共同特征？答案元素的共同特征为xR，且x1与y|y1是不同的集合()一、列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x22x的所有实数解组成的集合；(3)直线y2x1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合解(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 0,2,4,6,8,10(2)方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解组成的集合为0,2(3)将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是(0,

17、1)(4)正整数有1,2,3，所求集合为1,2,3，反思感悟用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x290的实数根组成的集合B；(3)一次函数yx2与y2x5的图象的交点组成的集合D.解(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A2,3,4,5(2)方程x290的实数根为3,3，所以B3,3(3)由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,y2x5，)得eq blcrc

18、 (avs4alco1(x1，,y3，)所以一次函数yx2与y2x5的交点为(1,3)，所以D(1,3)二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解(1)偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN*，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN*(2)设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故nN，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为(x，y)|

19、xy0反思感悟利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1不能写成x0，即k1，且k0.所以实数k组成的集合为k|k1，且k02本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围解由题意可知，方程kx28x160至少有一个实数根当k0时，由8x160得x2，符合题意；当k0时，要使方程kx28x160至少有一个实数根，则6464k0，即k1，且k0.综合可知，实数k的取值范围为k|k1反思感悟(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数

20、问题转化为方程的根的个数问题(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想1用列举法表示集合x|x22x30为()A1,3 B(1,3)Cx1 Dx22x30答案A2一次函数yx3与y2x的图象的交点组成的集合是()A1，2 Bx1，y2C(2,1) D(1，2)答案D3设AxN|1x0 B(x，y)|xy0C(x，y)|x0且y0 D(x，y)|x0或y0答案C5下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是()Ax|x4k1，kZBx|x2k1，kZCx|x2k1，kZDx|x2k3，kZ答案A1知识清单：(1)描述法表示集合的理解(2)用列举法和描述法表示集合

21、(3)两种表示法的综合应用2方法归纳：等价转化、分类讨论3常见误区：点集与数集的区别1用列举法表示集合x|x22x10为()A1,1 B1Cx1 Dx22x10答案B解析方程x22x10有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确2已知集合Ax|x(x1)0，那么下列结论正确的是()A0A B1A C1A D0A答案A解析Ax|x(x1)00,1，0A.3如果Ax|x1，那么() A2A B0A C3A D0A答案D解析01，故0A，选D.4下列集合中，不同于另外三个集合的是()Ax|x1 Bx|x21C1 Dy|(y1)20答案B解析x|x211,1，另外三个集合都是1，故选B.5下列

22、命题中正确的是()A集合xR|x21中有两个元素B集合0中没有元素C.eq r(13)x|x2eq r(3)D1,2与2,1是不同的集合答案A解析xR|x211，1；集合0是单元素集，有一个元素，这个元素是0；x|x2eq r(3)x|xeq r(12)，eq r(13)x|x0，且1A，则实数a的取值范围是_答案a|a2解析1x|2xa0，21a0，即a2.8已知5x|x2ax50，则集合x|x24xa0中所有元素之和为_答案2解析由5x|x2ax50，得(5)2a(5)50，所以a4，所以x|x24x402，所以集合中所有元素之和为2.9用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份

23、的全体；(2)大于3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x1)(x2)0的解集；(6)不等式2x15的解集解(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)3，2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)a|a是梯形或梯形(4)x|x3n，nZ(5)1,2(6)x|x310已知集合Aa3，(a1)2，a22a2，若1A，求实数a的值解若a31，则a2，此时A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去若(a1)21，则a0或a2.当a0时，A3,1,2，满足题意；当a2时，由知不符合条件，故舍去若

24、a22a21，则a1，此时A2,0,1，满足题意综上所述，实数a的值为1或0.11设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A3 B4 C5 D6答案B解析1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素12已知A1,2,3，B2,4，定义集合A，B间的运算A*Bx|xA且xB，则集合A*B等于()A1,2,3 B2,4 C1,3 D2答案C解析因为属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，所以A*B1,313已知集合A1,0,1，集合By|y|x|，xA，则B_.答案0,1解析xA，当x1时，y|x|1

25、；当x0时，y|x|0；当x1时，y|x|1.B0,114若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A1,1,2_(填“是”或“不是”)可倒数集试写出一个含三个元素的可倒数集_(答案不唯一)答案不是eq blcrc(avs4alco1(1，2，f(1,2)解析由于2的倒数eq f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集若一个元素aA，则eq f(1,a)A.若集合中有三个元素，故必有一个元素aeq f(1,a)，即a1，故可取的集合有eq blcrc(avs4alco1(1，2，f(1,2)，eq blcrc(avs4alco1(1，3，f(1,3)等15设集合A0

26、,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9答案C解析因为A0,1,2，又集合B中元素为xy且xA，yA，所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2.当x0时，y0或1或2，此时对应的xy的值为0，1，2.当x1时，y0或1或2，此时对应的xy的值为1,0，1.当x2时，y0或1或2，此时对应的xy的值为2,1,0.综上可知，集合B2，1,0,1,2，所以集合B中的元素的个数为5.16设集合Beq blcrc(avs4alco1(xNblc|rc (avs4alco1(f(6,2x)N).(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.

27、解(1)当x1时，eq f(6,21)2N；当x2时，eq f(6,22)eq f(3,2)N，所以1B,2B.(2)因为eq f(6,2x)N，xN，所以2x只能取2,3,6，所以x只能取0,1,4，所以B0,1,412集合间的基本关系学习目标1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法知识点一子集、真子集、集合相等1子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集AB(或BA)真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就称集合A是集合B的真子集A

28、B(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等AB2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图3子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知识点二空集1定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为.2规定：空集是任何集合的子集思考0与相等吗？答案不相等0表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故0.1空集中不含任何元素，所以不是集合()2任何一个集合都有子集()3若AB，则AB且BA.()4空集是任何集合

29、的真子集()一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1 B2 C3 D4答案C解析对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是含有两个元素0与1的集合，而(0,1)是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以0,1与(0,1)不相等；对于，0与0是“属于与否”的关系，所以00故是正确的(2)指出下列各组集合之间的关系：A1,

30、1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.方法二由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.反思感悟判断集合间关系的方法(1)用定义判断任意xA时，xB，则AB.当AB时，存在xB，且xA，则AB.若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍跟踪训练1能正确表示

31、集合MxR|0 x2和集合NxR|x2x0关系的Venn图是() 答案B解析x2x0得x1或x0，故N0,1，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示二、子集、真子集的个数问题例2已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5，写出集合M所有的可能情况解由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5；含有4个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；含有5个元素：1,2,3,4,5故满足条件的集合M为1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5

32、，1,2,3,4,5反思感悟公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集(2)含n个元素的集合有(2n1)个真子集(3)含n个元素的集合有(2n1)个非空子集(4)含n个元素的集合有(2n2)个非空真子集跟踪训练2已知集合Ax|0 x5，且xN，则集合A的子集的个数为()A15 B16 C31 D32答案D解析A0,1,2,3,4，含有5个元素的集合的子集的个数为2532.三、集合间关系的应用例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围. 解(1)当B时，如图所示eq blcrc (avs4alco1(m12，,2m12，,2m15，,2m1m1，)

33、解这两个不等式组，得2m3.(2)当B时，由m12m1，得m2.综上可得，m的取值范围是m|m3延伸探究1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得m2，,2m13，,m3，,m2，)即2m3，综上可得，m的取值范围是m|mm1，,m12，,2m15，)即eq blcrc (avs4alco1(m2，,m3，,m3，)m不存在即不存在实数m使AB.反思感悟(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示(2)涉及到“AB”或“AB且B”的问题，一定要分A和A两种情况讨论，不要忽视空集的情况跟踪训练3若集合A

34、x|1xa，满足AB，则实数a的取值范围是()Aa|a2 Ba|a1Ca|a1 Da|a2答案B解析如图所示，AB，所以a1.1下列四个集合中，是空集的是()A0 Bx|x8，且x4答案B解析选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.2已知集合Ax|1x0，则下列各式正确的是()A0A B0A CA D0A答案D解析集合Ax|1x1，所以0A，0A，A，D正确3已知Ax|x是菱形，Bx|x是正方形，Cx|x是平行四边形，那么A，B，C之间的关系是()AABC BBACCABC DABC答案B解析集合A，B，C关系如图4已知集合A1,3，m，B3,4，若BA，则实数m_.答案4解析BA

35、，元素3,4必为A中元素，m4.5已知集合Ax|x1或x2，Bx|xa，若BA，则实数a的取值范围是_答案a1解析BA，a1.1知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断(2)求子集、真子集的个数问题(3)由集合间的关系求参数的值或范围2方法归纳：数形结合、分类讨论3常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点1已知集合A0,1，则下列式子错误的是()A0A B1ACA D0,1A答案B解析1A，1A错误，其余均正确2集合1,2的子集有()A4个 B3个 C2个 D1个答案A解析集合1,2的子集有，1，2，1,2共4个3下列表述正确的有()空集没有子集；

36、任何集合都有至少两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析，故错；只有一个子集，即它本身所以错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以错；而正确，故选B.4已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4答案D解析由题意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，则集合C可能为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,45设集合Ax，y，B0，x2，若AB，则2xy等于()A0 B1 C2 D1答案C解析由AB，得x0或y0.当x0时，x20，此时B0,0，不满足集合中元素的

37、互异性，舍去；当y0时，xx2，则x0或x1.由上知x0不合适，故y0，x1，经验证，符合题意，则2xy2.6集合和0的关系表示正确的有_(把正确的序号都填上)0；0；0；0答案解析没有任何元素，而0中有一个元素，显然0，又是任何非空集合的真子集，故有0，所以正确，不正确7集合Ax|1x6，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为_答案a|a6解析Ax|1x6，Bx|x2.故实数a的取值范围为a|a2(2)若BA，由图可知，1a2.故实数a的取值范围为a|1a211若集合Ax|x2k1，kZ，Bx|x2k1，kZ，Cx|x4k1，kZ，则A，B，C的关系是()ACAB BACBCABC DBAC答

38、案A解析Ax|x2(k1)1，kZ，Bx|x2k1，kZ，Cx|x22k1，kZ，CAB，故选A.12设集合M(x，y)|xy0和P(x，y)|x0，y0，所以x，y同号，又xy0，所以x0，y1，Bx|x0，则AB_.答案x|x0解析 ABx|x1x|x0 x|x03已知集合A1,0,1,2，B1,0,3，则AB_.答案1,0解析由A1,0,1,2，B1,0,3，得AB1,04已知集合Mx|3x1，Bx|2x2 Bx|x1Cx|2x1 Dx|1x2(2)已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5 B4 C3 D2答案D解析 8322,14342

39、，8A,14A，AB8,14，故选D.反思感悟求解集合并集、交集的类型与方法(1)若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；(2)若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示二、并集、交集性质的应用例2已知集合Ax|32k1时，k2，满足ABA.(2)当B时，要使ABA，只需eq blcrc (avs4alco1(3k1，,42k1，,k12k1，)解得2keq f(5,2).综合(1)(2)可知eq blcrc(avs4alco1(kblc|rc (avs4alco1(kf(5,2).延伸探

40、究1把本例条件“ABA”改为“ABA”，试求k的取值范围解由ABA可知AB.所以eq blcrc (avs4alco1(3k1，,2k14，)即eq blcrc (avs4alco1(k4，,kf(5,2)，)所以k.所以k的取值范围为.2把本例条件“ABA”改为“ABx|3x5”，求k的值解由题意可知eq blcrc (avs4alco1(3k14，,2k15，)解得k3.所以k的值为3.反思感悟(1)在进行集合运算时，若条件中出现ABA或ABB，应转化为AB，然后用集合间的关系解决问题，并注意A的情况(2)集合运算常用的性质：ABBAB；ABAAB；ABABAB.跟踪训练(1)Ax|x1，

41、或x3，Bx|ax4，若ABR，则实数a的取值范围是()A3a4 B1a4Ca1 Da1答案C解析利用数轴，若ABR，则a1.(2)若集合Ax|3x5，Bx|2m1x2m9，ABB，则m的取值范围是_答案2m1解析ABB，AB，如图所示，eq blcrc (avs4alco1(2m13，,2m95，)解得2m1.m的取值范围为m|2m1含字母的集合运算忽视空集或检验典例(1)已知M2，a23a5,5，N1，a26a10,3，MN2,3，则a的值是()A1或2 B2或4 C2 D1答案C解析MN2,3，a23a53，a1或2.当a1时，N1,5,3，M2,3,5，不合题意；当a2时，N1,2,3

42、，M2,3,5，符合题意(2)已知集合Ax|x23x20，Bx|x22xa10，若ABB，则a的取值范围为_答案a|a2解析由题意，得A1,2ABB，BA，当B时，(2)24(a1)2；当1B时，12a10，解得a2，且此时B1，符合题意；当2B时，44a10，解得a1，此时B0,2，不合题意综上所述，a的取值范围是a|a2素养提升(1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视(2)在本例(2)中，ABBBA，B可能为空集，极易被忽视1已知集合A1,6，B5,6,8，则AB等于()A1,6,5,6,8 B1,5,6,8C0,2,3,4,5 D1,2,3,4,5答案B解析 求集合的

43、并集时，要注意集合中元素的互异性2若集合M1,0,1,2，Nx|x(x1)0，则MN等于()A1,0,1,2 B0,1,2C1,0,1 D0,1答案D解析 N0,1，MN0,13.已知集合M1,0,1，P0,1,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是()A0,1 B0C1,2,3 D1,0,1,2,3答案D解析 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是MP.因为M1,0,1，P0,1,2,3，故MP1,0,1,2,3故选D.4已知集合Ax|1x2，Bx|0 x3，则AB_.答案x|1x3解析 因为Ax|1x2，Bx|0 x3，所以ABx|1x1，Bx|x1 Bx|x2Cx|1x1x|x2x|1x

44、1，则阴影部分表示的集合为()Ax|0 x2Bx|12答案D解析因为ABx|126若集合Ax|1x5，Bx|x1，或x4，则AB_，AB_.答案Rx|4x5解析 借助数轴可知：ABR，ABx|4x57满足1B1,2的集合B的个数是_答案2解析 由1B1,2，故B2，1,2，共2个8已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_答案a|a1解析 因为ABR，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a1.9已知集合Ax|x2px150和Bx|x2axb0，若AB2,3,5，AB3，分别求实数p，a，b的值解因为AB3，所以3A.从而可得p8

45、，所以A3,5又由于3B，且AB2,3,5，AB3，所以B2,3所以方程x2axb0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a5，b6.综上可得，p8，a5，b6.10集合Ax|1x1，Bx|xa(1)若AB，求a的取值范围；(2)若ABx|x1，求a的取值范围解(1)如下图所示，Ax|1x1，Bx|xa，且AB，数轴上的点xa在x1的左侧(含点x1)，a1，即a的取值范围为a|a1(2)如下图所示，Ax|1x1，Bx|xa，且ABx|x1，数轴上的点xa在x1和x1之间(含点x1，但不含点x1)，1a1，即a的取值范围为a|15或x1，Tx|axa8，STR，则a的取值范围是()A3a1 B3

46、a1Ca3或a1 Da1答案A解析 STR，eq blcrc (avs4alco1(a85，,a1.)3a1.13设集合Ax|1x2，集合Bx|xa，若AB，则实数a的取值集合为()Aa|a2 Ba|a1Ca|a1 Da|1a2答案C解析如图，要使AB，应有a1.14已知集合A2,3,4,6，集合B3，a，a2，若BA，则实数a_；若AB3,4，则实数a_.答案22或4解析集合A2,3,4,6，集合B3，a，a2，BA，a2.AB3,4，a4或a24，a2或4.15某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答

47、案12解析 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15x)x5，故15x5308，解得x12.16已知集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)AB；(2)ABB；(3)(AB)若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B2,3ABB，AB，即AB或AB.由条件(1)AB，可知AB.又(AB)，A，即A2或3当A2时，代入得a22a150，即a3或a5.经检验：a3时，A2，5，与A2矛盾，舍去；a5时，A2,3，与A2矛盾，舍去当A3时，代入得a23a100.即a5或a2.经检验：a2时，A

48、3，5，与A3矛盾，舍去；a5时，A2,3，与A3矛盾，舍去综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件第2课时补集学习目标1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算知识点全集与补集1全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.思考全集一定是实数集R吗？答案不一定全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有

49、元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言预习小测自我检验1设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA_.答案3,4,5解析U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,52已知全集UR，Ax|x2，则UA_.答案x|x2解析全集为R，Ax|x0，则U(AB)_.答案x|x0或x2解析ABx|02一、全集与补集例1(1)已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_.(2)已知全集Ux|x5，集合Ax|3x5，则UA_.答案(1)2,3,5,7(2)x|x3，或x5解析 (1)方法一A1,3,5,7，UA2,4,6

50、，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7方法二借助Venn图，如图所示由图可知B2,3,5,7(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示由补集定义可得UAx|x3，或x5反思感悟求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法(2)两种处理技巧：当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解跟踪训练1(1)若全集UxR|2x2，AxR|2x0，则UA等于()Ax|0 x2 Bx|0 x2Cx|0 x2 Dx|0 x2答案C解析UxR|2x2，AxR|2x0，UAx|0 x2，故选C.(2)设全集Ux|

51、x是三角形，Ax|x是锐角三角形，Bx|x是钝角三角形，则(UA)(UB)_.答案x|x是直角三角形解析根据三角形的分类可知，UAx|x是直角三角形或钝角三角形，UBx|x是直角三角形或锐角三角形，所以(UA)(UB)二、交、并、补的综合运算例2已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)，U(AB)解如图所示Ax|2x3，Bx|3x2，Ux|x4，UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4，ABx|2x2，ABx|3x3故(UA)Bx|x2，或3x4，A(UB)x|2x3，U(AB)x|x3，或3x4反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给

52、集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解在解答过程中常常借助于Venn图来求解这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算解答过程中要注意边界问题跟踪训练2已知全集Ux|x10，xN*，A2,4,5,8，B1,3,5,8，求U(AB)，U(AB)，(UA)(UB)，(UA)(UB)解方法一AB1,2,3,4,5,8，U1,2,3,4,5,6,7,8,9，U(AB)6,7,9AB5,8，U(AB)1,2,3,4,6,7,9UA1,3,6,7,9，

53、UB2,4,6,7,9，(UA)(UB)6,7,9，(UA)(UB)1,2,3,4,6,7,9方法二作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果三、与补集有关的参数的范围问题例3设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围解方法一(直接法)：由Ax|xm0 x|xm，得UAx|xm因为Bx|2x4，(UA)B，所以m2，即m2，所以m的取值范围是m2.方法二(集合间的关系)：由(UA)B可知BA，又Bx|2x4，Ax|xm0 x|xm，结合数轴：得m2，即m2.延伸探究1将本例中条件“(UA)B”改为“(UA)BB”，其他条件不变，则m的取值范围又是什

54、么？解由已知得Ax|xm，所以UAx|xm，又(UA)BB，所以m4，解得m4.2将本例中条件“(UA)B”改为“(UB)AR”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解由已知Ax|xm，UBx|x2或x4又(UB)AR，所以m2，解得m2.反思感悟由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解跟踪训练3已知集合Ax|xa，Bx|x0若A(RB)，求实数a的取值范围解Bx|x0，RBx|1x0，要使A(RB)，结合数轴分析(如图)，可得a1.即实数a

55、的取值范围是a|a11设集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM等于()AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6答案C解析U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，UM3,5,62设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)等于()Ax|0 x1 Bx|0 x1Cx|x1答案B解析UBx|x1，所以A(UB)x|0a，Bx|x1，若A(RB)，则实数a的取值范围是_答案a|a1解析RBx|x1，A(RB)，a1.5设全集UR，集合Ax|x0，By|y1，则UA与UB的包含关系是_答案UAUB解析先求出UAx|x0，UBy|y1x|x1UAUB.1知识清单：(1)全集和补集的概念及

56、运算(2)并、交、补集的混合运算(3)与补集有关的参数的求解2方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合3常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍1设UR，Ax|10 Bx|1x0Cx|x1，或x0 Dx|x1，或x0答案A2(2019全国)已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则BUA等于()A1,6 B1,7C6,7 D1,6,7答案C解析U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，UA1,6,7又B2,3,6,7，BUA6,73集合Ax|1x2，Bx|x1 Bx|x1Cx|1x2 Dx|1x2答案D解析由Ax|1x2，Bx|x1可知RBx|x

57、1A(RB)x|1x24已知U为全集，集合M，N是U的子集若MNN，则()A(UM)(UN) BM(UN)C(UM)(UN) DM(UN)答案C解析MNN，NM，(UM)(UN)5已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是()Aa|a1 Ba|a2答案C解析RBx|x1或x2，如图所示A(RB)R，a2.6已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_.答案6,8解析U2,3,6,8，A2,3，UA6,8(UA)B6,82,6,86,87设全集Ia，b，c，d，e，集合Ma，b，c，Nb，d，e，那么(IM)(IN)_.答案解析(IM)(IN)I(

58、MN)II.8已知全集UR，Ax|1xb，UAx|x1，或x2，则实数b_.答案2解析因为UAx|x1，或x2，所以Ax|1x2所以b2.9已知集合Ax|3x6，Bx|2x9(1)求AB，(RB)A；(2)已知Cx|axa1，若CB，求实数a的取值范围解(1)显然ABx|3x6Bx|2x9，RBx|x2或x9，(RB)Ax|x2或3x6或x9(2)CB，如图所示，则有eq blcrc (avs4alco1(a2，,a19，)解得2a8，a的取值范围为a|2a810已知Ax|1x3，Bx|mx13m(1)当m1时，求AB；(2)若BRA，求实数m的取值范围解(1)m1，Bx|1x4，ABx|1x

59、3，当B时，即m13m得，meq f(1,2)，满足BRA，当B时，使BRA，即eq blcrc (avs4alco1(m13m，,13m1，)或eq blcrc (avs4alco1(m3，)解得m3，综上所述，m的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(mblc|rc (avs4alco1(mf(1,2)或m3).11定义差集ABx|xA，且xB，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C(AB)可表示下列图中阴影部分的为()答案A解析如图所示，AB表示图中阴影部分，故C(AB)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.12已知全集U1,2,3,4,5，集合Ax|x23x20

60、，Bx|x2a，aA，则集合U(AB)中元素的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析A1,2，B2,4，所以AB1,2,4，则U(AB)3,5，共有2个元素13设集合Ax|0 x4，By|yx2，则R(AB)_.答案x|x4解析Ax|0 x4，By|y0，ABx|0 x4，R(AB)x|x414已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_答案mn解析(UA)(UB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又UAB中有m个元素，故AB中有mn个元素15设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：X*YU(XY)对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于()