有限元分析理论

1、有限概述在现代先进制造领域中，最常见也是最基本的问题是计算和校验零部件的强度、刚度以及对机器整体或部件进行动力分析等。虽然人们运用力学原理已经得到了它们的基本方程和边界条件，但是能用方法求解的只是少数方程性质比较简单，边界条件比较规则的问题。绝大多数工程技术问题很少有解。这类问题的解决通常有两种：一种是引入简化假设，使达到能用解法求解的地步，求得在简化状态下的解，这种方法并不总是可行的，通常可能导致不正确的解答。另一种途径是保留问题的复杂性，利用数值计算的方法求得问题的近似数值解。随着电子计算机的飞跃发展和广泛使用，已逐步趋向于采用数值方法来求解复杂的工程实际问题，而有限是这方面的一个比较新颖

2、并且十分有效的数值方法。有限是根据变分法原理来求解数学物理问题的一种数值计算方法。由于工程上的需要，特别是高速电子计算机的发展与应用，有限发展起来，并得到越来越广泛的应用。才在结构分析矩阵方法基础上，迅速地有限所以能得到迅速的发展和广泛的应用，除了高速计算机的出现与发展提供了充分有利的条件以外，还与有限本身的所具有的优越性分不开的。其中主要有：可完成一般力学中无法解决的对复杂结构的分析问题。引入边界条件的办法简单，为编编通用化的程序带来了极大的简化。3）有限不仅适应于复杂的几何形状和边界条件，而且能应用于复杂的材料性质问题。它还成功地用来求解如热传导、流体力学以及电磁场、生物力学等领域的问题。

3、它几乎适用于求解所有关于连续介质和场的问题。有限的应用与电子计算机紧密相关，由于该法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用高速电子计算机所提供的方便。因而，有限已被公认为工程分析的有效工具，受到普遍的重视。随着机械产品日益向高速、高效、高精度和高度自动化技术方向发展，有限在现代先进制造技术的作用和地位也越来越显著，它已经成为现代机械产品设计中的一种重要的且必不可少的工具。有限的基本及计算步骤有限是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点

4、之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然

5、，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。用有限求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为：1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元

6、的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图 1 所示，三角形有三个结点 i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量 u，v 和两个结点力分量 Fx，Fy。三个结点共六个结点位移分量可用列阵()e 表示：e=u v u v u v Tiijjmm同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵Fe 表示：Fe=FixTFiy Fjx Fjy Fmx Fmy应用弹性力学虚功原理出结点位移与结点力之间的关系Fe=kee（1）式中ke单元刚度矩阵。图 1三角形平面单元3）整体分析。整体分析是对各个单元组成的整体进行分析。它的目的是要建立起一个线性方程组，来揭示结点外荷载与结

7、点位移的关系，从而用来求解结点位移。有了式（1），就可用结点的力平衡和结点变形协调条件来建立整个连续体的结点力和结点位移的关系式，即K=R（2） 式中K整体刚度矩阵；全部结点位移组成的列阵；R全部结点荷载组成的列阵。在这个方程中只有是未知的，求解该线性方程组就点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。到各结点的位移。将结用有限不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程M+C+K=F式中 M整体质量矩阵； C整体阻尼矩阵；K整体刚度矩阵；整体结点位移向量；F整体结点荷载向量。求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力等。另一方

8、面，在处理大型结构分析中（如飞机、桥梁等），普遍采用子结构法、p 型或 h 型有限元模型以及边界，从而提高了计算速度，降低了计算工作量。有限有限由于有限的应用及现状的应用1是主要从事固体力学问题的学者们创建、发展并使之成熟到一定程度的，因此，在固体力学中的应用远比任何其它学科为多。图 2 表示有限在固体力学中应用的基本范围。在这些问题中的材料可以承受温度变化，也可以是各向同性、各向异性、正交异性或复合材料。图 2 有限元在固体力学中应用示意图曾将有限应用于变温度场的弹塑性动力学问题3，用子结构法解决杆板块单元的机构动力分析问题6，以及构件在弹塑性区的变形问题4等，其结果都比较令人满意。虽然有限

9、于结构工程，但发展却超出了这一领域，而成为科学技术中一种标准计算工具。在许多领域中已广泛地使用了有限，其中主要有：在流体力学方面，有限应用于流体动力学、热传导、位势流等，如流体动力润滑、湍流、传热、广义流体、粘性层流等在空气动力学应用方面，有限不仅可以用于可压缩粘性和无粘性流问题，而且还可以用在跨音速流和激波的处理上，以及对大气中对流和扩散问题，即天气预报问题的分析中发挥巨大的作用。在地质力学方面，有限的应用已引起土力工程的很多方向的彻底变化，它以常规方式对非常难解的边值问题的应力进行分析。例如，坑道周围的应力、土坝和深埋结构的响应、海上对海浪和地动载荷的响应、以及海上工程的非线性动力响应分析

10、等。在生物力学方面，有限为处理实际生物力学问题提供服务，如冲撞致伤的、矫形进行外科学、牙齿力学、心脏力学、肠分析，并已取得了丰硕的成果。以及血液等等，都已经广泛地使用有限在交叉学科以及耦合应用方面，有限已成功地用于诸多系统耦合作用中，如结构与结构的相互作用，结构与流体相互作用，结构与土壤相互作用，流体与流体相互作用，流体与土壤相互作用，以及热效应与结构响应之间的耦合，同时还可以考虑耦合的静态与动态问题。有限除了在以上几个方面得到广泛的应用，还在飞机、汽车和船舶结构，钢与钢筋混凝土桥梁和建筑，结构和水库，水库和坝系统的响应，塑性设计，断裂力学，半淹没结构动力学，复合材料，振荡翼面，声纳传感器，声

11、和电磁场，磁铁设计，核反应堆通量计算，大气、湖和潮区中污染物的扩散，表面波，点火和燃烧，化学反应等方面都有一些比较重要的和比较成应用。虽然这些应用也许不太为人熟知，但都说明了有限通用性和广泛应用价值。的的现状12有限随着电子计算机速度、容量的提高，现在商品化有限元程序越来越广泛地被人们所接受。人们不必再在编写程序上花费大量的精力。不仅如此，商品化有限元程序的发展，还使用户能够摆脱手工网格划分，逐点输入结点坐标和单元联接信息，而且通过屏幕菜单方式得到了良好的人机环境和在计算结果分析上的鲜明的视觉效果。现在的商品化有限元程序一般分为三个部分，即前处理部分、处理部分和后处理部分。它们通过互交式计算机

12、图形集中到 CAD/CAM 系统。各部分特点为：处理部分，都设有与 CAD/CAM 程序包（如 AutoCro/ENGINEER 等）的接口，可以直接这些程序产生的几何模型，并允许用户快速生成所希望的单元网格模型，自动进行网格划分，自动输入结点信息和单元信息，并核实用户所确定的网格，如图 3 所示。图 3 由边界曲线自动生成的网格在有限元处理部分，现在商品化有限元程序一般具有静力分析，动力分析，线性分析，非线性分析，塑性分析，以及对断裂力学、热应力与蠕变、结构稳定性、振动、疲劳、热传导、流体力学、电磁场等的分析及优化设计等功能。在后处理部分，为了提供用户解释有限元分析结果的能力，出现了很多用图

13、形提取和绘出结果的方法，如：位移后形状；等值图（见图 4）；矢量显示图；动画图；结果的临界显示；设计规范的自动校核；7）结果的自动生成。图 4 温度场云图并可通过色彩来增加显示效果，使用户能够清楚地看见各层应力，温度变化等的分布。下面介绍一些比较流行的商品化有限元程序。ADINA/ADINAT 自动动力增量非线性有限元程序。该系统可以对结构和热传导问题及其它场问题进行有效的有限元分析。在它的开发过程中的指导是，用少量而且有效的单元，广泛的材料模型库和通用而有效的数值分析，为结构和热传导系统的模拟提供最大的能力。ANSYS 结构、热传导和静电磁场分析的通用有限元程序。它可应用二维、三维系统有限元

14、静力、动力、性、非线性分析。通过把热分析的输出与结构的输入直接相连，可进行热应力分析。另外，包含前、后处理部分，并能支持广泛的图形显示设施。NASTRAN NASA 结构分析程序。其功能包括热应力分析、瞬态荷载与随机激振的动态响应分析，实特征值与复特征值的计算，以及稳定性分析，还有一定的非线性分析能力。可用于各种计算机系统。COSMOS/M 面向微型计算机的结构有限元程序。其目标是以微型计算机的代价完成原需要在中小型和大型计算上才能完成的有限元分析计算。其分析模块包括静力、动力、线性、非线性、振动、疲劳、流场、电磁场、温度场、优化设计等，可广泛适用于航空航工程、土木建筑等领域5、6。械另外，还有一些著名的商品化有限元程序，如 SKA、EAL 等。表 1 和表 2 为一些程序的分析范围和功能。由于各商品化程序开发者仍在不断地更新老版本，所以在使用时应根据说明来选择合适的程序。表 1 有限元程序的分析范围有限元技术是现代大型工程结构分析的有力，随着科学技术的发展，今后大型商品化有限元分析程序将成为工程结构设计所必备的工具。表 2 有限元程序的功能程序名前后处理单元种类荷载情况各向同性材料正交异性材料多层材料非均质材料与温度