第四章持续期与凸性ppt课件

1、 第四章 继续期与凸性第一节 继续期第二节 凸性第三节 继续期与凸性的运用 .第一节 继续期利率与债券价钱的关系基点价值Price Value of a Basis Point价钱动摇的收益率价值Yield Value of a Price Change金额继续期Macaulay 继续期修正继续期有效继续期关键利率继续期组合继续期 .利率与债券价钱的关系.基点价值Price Value of a Basis Point定义：基点价值是要求的到期收益率变动一个基点所对应的债券价钱的变化额。例4-1：期限5年，票面利率9%半年支付，价钱为100。求该债券的基点价值。.基点价值Price Value

2、 of a Basis Point目前的到期收益率为9%。到期收益率添加1个基点，为9.01% ,债券新的价钱基点价值 = $100 - $99.9604 = $0.0396.价钱动摇的收益率价值Yield Value of a Price Change定义：价钱动摇的收益率价值，是指债券价钱发生一定金额变化通常是1/32 of $1所对应的到期收益率变化的幅度。例4-2：期限5年，票面利率9%半年支付， 收益率为9% (b.e.b.)，对应价钱为$100。价钱动摇的收益率价值 = 9% - 8.992% = 0.008%,.影响价钱-利率敏感性的主要要素归还期票面利率利率程度例4-3： 4个

3、债券，每个债券的到期收益率为9% (b.e.b)，半年支付。价钱分别为$100、$100、$84.175、 $63.1968。 .例4-3new yld BP change 9% 5yr 9% 20yr 5% 5yr 5% 20yr 6 -30012.8 34.6713.73 39.95 8 -1004.06 9.94.35 11.26 8.9 -100.4 0.930.42 1.05 9.01 1 -0.04 -0.092 -0.042 -0.14 9.5 50 -1.95 -4.44 -2.09-5.01 10 100 -3.86 -8.58 -4.13-9.64 12 300-11 -2

4、2.6 -11.9-25.1.例 4-3.继续期 继续期包含了关于债券到期收益率、票面利率和到期时间的信息。继续期是债券或者是债券组合在一个时点上的特征，继续期与时俱进。继续期是大多数避险战略中的重要内容。.金额继续期.金额继续期假设到期收益曲线是程度的，并且平行挪动.金额继续期定义：金额继续期是市场利率变化1个百分点100个基点导致债券价钱变化的金额。 经济含义.金额继续期例4-4: 20年债券, 面值100, 票面利率10%, 1年支付.term yield% discount fct PV t(PV)0 11 8.50560.9216 9.21619.21612 8.67530.8467

5、 8.467216.93433 8.83770.7756 7.756423.26934 8.99270.7086 7.086228.34465 9.14040.6458 6.457632.28816 9.28070.5871 5.871435.22827 9.40.5327 5.327237.29068 9.53910.4824 4.824438.59559 9.6570.4362 4.361939.256810 9.76750.3938 3.937939.378811 9.87050.3551 3.550739.057212 9.96590.3198 3.198238.378213 10.0

6、5370.2878 2.878337.418214 10.1340.2589 2.588836.243315 10.20670.2327 2.327434.911716 10.27180.2092 2.092033.472517 10.32920.1880 1.880531.967718 10.3790.1691 1.690630.431019 10.42120.1521 1.520628.890620 10.45570.8 15.0532301.0648total 100.0866911.63金额继续期 911.63.Macaulay(比率) 继续期.Macaulay 继续期经济含义(倍数而

7、不是期限).例 4-5period cash flow PV$14.5% PV t(PV)1 3 0.9569 2.8712.8712 3 0.9157 2.7475.4943 3 0.8763 2.6297.8874 3 0.8386 2.56110.0635 3 0.8025 2.40712.0376 3 0.7679 2.30413.8227 3 0.7348 2.20415.4318 3 0.7032 2.10916.8769 3 0.6729 2.01918.16810 103 0.6439 66.325663.246Price 88.131 765.895金额继续期=765.9,

8、meaning?Macaulay 继续期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含义 4.35 倍.修正继续期含义?.有效继续期例4-6： 票面利率为9%，期限 20 的非含权债券，价钱 134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降 20 个基点，债券价钱将分别为 .59 和131.84，因此.有效继续期有效继续期存在的意义有些证券的现金流量是不确定 (例如MBS)，而继续期的定义是债券价钱相对于市场利率的敏感性。由于现金流量不确定，因此无法运用规范的继续期公式。.债券继续期的特征分析的都是无权债券附息债券的继续期小于期限本身票面利率越高，继续

9、期越短零息债券的继续期等于期限本身比率,Macaulay市场收益率上升，继续期下降.利用继续期估计债券价钱变化例 4-7： 20 年， 5%票面利率(半年支付，到期收益率9% (b.e.b.)， P=63.1968，D = 10.87年, DM = 10.87/(1.045) = 10.40假设到期收益率从9%添加到9.10%，预测价钱会这样变化 -10.40(.0010) = -1.04% 实践价钱变化-1.03%假设到期收益率从9%添加到11%，预测价钱会这样变化 -10.40(.020) = -20.80% 实践价钱变化 -17.94%.普通性结论在市场利率变化较小时，继续期可以相对准确

10、地估计债券价钱的变化。继续期的图形解释.传统继续期目的的缺陷假定程度的到期收益曲线并且平行挪动到期收益曲线变化的种类程度挪动85% 的国债收益曲线变动收益曲线变陡5%的国债收益曲线变动蝴蝶状变化3-4%的国债收益曲线变动债券被以为是非含权的.关于继续期的普通方法继续期的普通方法是指思索到多种要素发生变化后，债券价钱变化的总量。用线性数学模型表示为:.关键利率继续期(1992 by Thomas Ho)利率继续期rate duration)：即期利率的一定幅度变化导致债券价钱变化的金额。对应即期利率曲线上的每一点都存在一个即期利率继续期假设全部即期利率都变化一样的基点，那么债券价钱变化的总金额就

11、是继续期。关键利率继续期：关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价钱的变化。 11 个关键利率： 3 个月, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其他利率继续期可以用线性估计。.例 4-8有三个关键利率 2年、 16年、 30年。关键利率继续期 就是零息债券的继续期，零息债券的期限就是关键利率的期限。有两个组合组合2年债券16年债券30年债券 A 50 0 50 B 0 100 0D2 = 2D16 = 16D30 = 30.例 4-8组合A的关键利率继续期D2 = (50/100)*2=1D16 = 0D30 = (50/100)*30=15Deffec

12、tive=16组合B的关键利率继续期D2 = 0D16 = (100/100)*16=16D30 = 0Deffective=16.例 4-8全部即期利率下降10基点组合 A2年关键利率下降10个基点，组合价值上升 0.1%30年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.5%总共上升1.6%，这与运用有效继续期 Deffective=16 来计算的结果一样组合 B16年关键利率下降10个基点，组合价值上升1.6%总共上升1.6%，与这与运用有效继续期 Deffective=16 来计算的结果一样.例 4-82年即期利率上升10个基点，30年即期利率下降10个基点组合 A2年关键利率上升10 个基

13、点，组合价值下降 0.1%30年即期利率下降10个基点，组合价值上升 1.5%总共上升 1.4%，这与运用有效继续期 Deffective=16计算出来的结果不同组合 B没有变化!.例 4-82年即期利率下降10 个基点，30即期利率上升10个基点组合 A2年即期利率下降10个基点，组合价值上升 0.1%30年即期利率上升10个基点，组合价值下降 1.5%总共下降 1.4%，与运用有效继续期Deffective=16计算出来的结果不同portfolio B没有变化!.组合的继续期组合继续期是单个债券继续期的加权总和金额或加权平均有效等假设债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的继续期计

14、算所根据的到期收益率是不同的。例 4-9： 由两个债券构成构成的组合， P(1) = $8,000， DM(1) = 4.3； P(2) = $12,000， DM(2) = 3.6 Dportfolio = (8/20)(4.3) + (12/20)(3.6) = 3.88.第二节 凸性凸性的定义与特征凸性的计算.凸性的定义与特征凸性衡量的是收益率-价钱曲线弯曲的程度。非含权证券都有正的凸性正的凸性是受欢迎的，会给投资者带来额外的利益。凸性会随着到期收益率的添加而降低。.凸性的几何解释正凸性负凸性.凸性的计算金额凸性(经济含义?).例4-10period cash flow PV$14.5%

15、 t*PV t*t*PV1 3 0.95692.87 2.872 3 0.91575.49 10.993 3 0.87637.89 23.664 3 0.838610.06 40.985 3 0.802512.04 60.186 3 0.767913.82 82.947 3 0.734815.43 108.008 3 0.703216.88 134.989 3 0.672918.17 163.5410 103 0.6439663.256632.50 765.907260.63金额凸性=7260.63/4 = 1945.凸性的计算比率凸性修正凸性.凸性的计算有效凸性.有效凸性例 4-11yiel

16、d=6%,V0 =134.67, yield=6.2%,V+ =131.84, yield=5.8%,V- =.59 .有效凸性当 yield 6%添加到 8%.凸性引入与债券价钱估计的准确性当市场利率变化很小时，利用继续期可以相对准确地估计出债券价钱的变化。例如，有一个20年期的附息债券，面值为9363.03，年票面利息为1009.09。到期收益率曲线与前面例子一样。该债券的金额继续期为900，现价为10000.03。假定到期收益率曲线程度上升1个基点，债券价钱将下降到9991.03，下降幅度为9元。类似地，假设到期收益率曲线程度下降1个基点，债券价钱将上升9元，到达10009.03。根据继

17、续期，计算债券价钱动摇。由于金额继续期为900。那么，到期收益率变化一个基点，债券价钱变化应该为900*0.01=9。.凸性引入与债券价钱估计的准确性当市场利率变化幅度很大时，用继续期估计债券价钱会产生一定的误差。例如，到期收益率曲线平行上升200个基点，可以根据债券价钱计算公式计算得到债券的新价钱应该为8420.47，下降1579.56元。假设到期收益率曲线平行下降200个基点，债券的新价钱应该为12073.67，上升2073.64元。根据继续期，计算债券价钱动摇。由于金额继续期为900，那么，到期收益率变化200个基点2个百分点，债券价钱变化应该为900*2=1800。因此，当市场利率变化

18、很大的情况下，用继续期来估计就有较大的误差。.二、凸性的引入与债券价钱估计的准确性假设运用继续期和凸性，那么债券价钱估计精度会有所提高。本例中债券的凸性为122.36。因此，债券价钱变化为1555.28,与1579.56曾经很接近了.第三节 继续期与凸性在风险管理中的运用继续期与平衡点免疫避险继续期与凸性在组合风险管理 .继续期与平衡点例 4-12. 他在0时点上购买票面利率7%的债券，价值 $1000。该债券期限10年，一年支付利息一次。他的投资期为7.5年。该债券继续期为7.5年。在时点7.5,他累积的财富将大致相等,而不论在0时点市场利率发生了怎样的变化.关于继续期作为平衡点的举例假设在

19、零时点利率为7%:假设在债券购买(零时点)后利率立刻降到 4%.关于继续期作为平衡点的举例假设在债券购买(零时点)后利率立刻上升到10%为什么?价钱风险被再投资风险抵销. 免疫免疫的目的是让来自投资组合的收益满足负债的支付,而在投资后不用再添加额外资本.简单地,免疫就是使资产和负债的现金流量相吻合( “cash matching)在不特别限制投资选择的情况下, 免疫较为容易实现.谁来运用 退休基金寿险公司商业银行.免疫步骤(1) 找到负债的继续期.(2)选择一个组合,该组合修正继续期等于前面负债的继续期.(3) 选择每个证券投资的数量,使得组合的现值等于负债的现值.(4) 当市场利率发生变化,

20、或者负债归还,调整投资组合.例4-13: 单一负债的免疫假定他10年后必需归还$1931,到期收益率是程度的, 为10%.负债的现值负债的继续期 = 10 years20年期债券,面值$1000,票面利率7%(一年支付),价钱 $745,继续期大约为10年.例 4-13: 假设到期收益曲线在投资后立刻发生变化:Yield Bond Value Liability Value 4% $1409 $1305 6% 1115 1078 8% 902 895_ 10% 745 745_ 12% 627 622 14% 536 521 16% 466 438.例4-13如今假定利率不是一次性的变化,而是

21、:a) 利率立刻降到 4%,并不断坚持9年.b)在9.5年后利率涨到16%.他可以看到,组合与负债不能很好匹配了.这能证明免疫这种战略不行吗?当然不能! 一旦市场利率发生变化,组合就得重新免疫.例 4-13 在利率变化后,债券价钱与继续期为为了再免疫:出卖债券买新债券或者债券组合,其继续期为10年.用债券组合免疫一组负债目的:找到最高到期收益率的债券组合来免疫一组知负债投资组合的修正继续期和现值, 必需与负债的修正继续期和现值相匹配.例 4-14:免疫一组负债负债:1 year $1002 years $2003 years $50第一步:根据当期市场中债券的到期收益率计算出负债的现值和继续期

22、，从而得到免疫曲线immunization curve.例 4-14:免疫一组负债IRR PV 继续期 修正继续期6% $314.32 1.833 1.7297% $308. 96 1.830 1.7108% $303.75 1.826 1.6919% $298.69 1.822 1.67210% $293.76 1.818 1.653.例 4-14:免疫一组负债第二步:分析哪些债券可以用来构建组合,对于每一种债券,都计算出到期收益率和继续期 利率 期限 $100面值 IRR 继续期 修正继续期 8 1 101.41 6.5% 1 .939 6.7 2 100.73 6.3% 1.937 1.

23、822 9 5 107.34 7.2% 4.268 3.981 8.5 8 102.87 8.0% 6.1475 5.692.第三步:将债券和免疫曲线画出 (修正 继续期 vs. 到期收益率).例 4-14本图可以通知我们哪种债券组合可以产生最大的 IRR.在本例中,1年期债券与8年期债券的组合或许会产生最高的到期收益率.也可以采用其他组合.他建议哪个组合?剩下的事情是决议每种债券投资的数量,使得: 1) 组合的现值等于负债的现值. 2)继续期相等.例 4-14根据知的到期收益率,负债修正继续期大约为1.7年. 1年期和8年期债券的组合权重为: X(0.939) + (1 X)(5.692)

24、= 1.7这意味着 84%投资于1年期债券,而16%投资于8年期债券. .例 4-15我们假设1年期债券的票面利率为6%,每年支付一次;4年期债券的票面利率为8%,每年支付一次.即期利率折现率为10%。投资者负债是5年期分期付款，每年支付100。如何免疫负债?.例 4-15time cashflow discout f. PV t*PV0 01 0 01 1000.9091 90.91 90.912 1000.8264 82.64 165.293 1000.7513 75.13 225.394 1000.683 68.3 237.215 1000.6209 62.09 310.46Total

25、379.07 1029.26.例 4-151年期债券的继续期time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0 01 106 0.909196.36 96.36.例 4-154年期债券的继续期 time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0 01 80.90917.27 7.272 80.82646.61 13.223 80.75136.01 18.034 1080.683 73.77 295.58total 93.66 334.1.例 4-15负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债券,$267.86 投资于

26、4年期债券.相关问题再免疫的频率?除了继续期之外,还要得到什么?如何免疫一串负债?在实际中,免疫战略的效果如何?.再举例假定投资者的净权益为50000。目前，投资者的资产包括305个单位的3年期零息债券面值为12892.53。投资者的负债包括300个单位的20年期附息债券年票面利息为1009.09，面值为9363.03。投资者希望持有20年的附息债券，但情愿调整3年期零息债券的头寸。投资者也情愿购买或者发行20年期的零息债券面值为73074.31。.债券价钱.投资者调整前的资产负债表305个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值3050000 价值3000000 权益50000

27、.继续期计算.组合调整.投资者调整后的资产负债表200个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值2000000 价值3000000105个单位的20年期附息债券价值1050000 权益50000.继续期战略的根本方法投资者为了让他的权益资本到达一个既定的利率风险目的用继续期来表示，希望调整他的资产和负债，他可以：调整组合中资产和负债以使权益有一个理想的继续期，即权益的市场价值等于组合中资产的价值减去负债的价值.2. 用继续期 和凸性来避险例 4-15: 做市商的资产组合的避险一公司债券做市商在某买卖日末尾拥有5年期公司债券面值$1mm，票面利率 6.9%半年支付，价钱为平价。该债

28、券流动性很差，因此出卖该债券会蒙受很大的损失。而隔夜持有该债券也有很大风险，由于假设市场利率上升，该债券价钱会下降。替代出卖该公司债券的做法有不少，其中之一是卖空 流动性很强的国债。.例 4-16:做市商的资产组合的避险市场中有下面债券:10年期，利率 8%的国债，价钱P = $1,109.0面值 $1,0003 年期，利率6.3% 的国债，价钱P = $1,008.1 面值 $1,000a.为了避险，应该卖空多少10年期国债？假设卖空3年期国债，卖空多少？b. 假设一切 债券到期收益率一夜之间上升 1%，该做市商在了解本人的卖空头寸之后，本人的买卖结果如何？c. 假设他要卖空这两种国债，那么

29、10年期和3年期国债各卖空多少？.例 4-16: 做市商的资产组合的避险为了回答 (a):1. 找到被避险债券的修正继续期2. 找到卖空债券的修正继续期3. 找到避险系数 hedge ratios对于5年期公司债券而言，票面利率6.9%,平价买卖,因此y = 6.9% b.e.b., Dm = 4.1688对于10年期国债而言，票面利率 8%,价钱1109.0 , y=6.5% b.e.b, Dm=7.005对于3年期国债而言,票面利率 6.3% ,价钱1008.1, y = 6.00% b.e.b., Dm = 2.70010年期国债卖空数量 x, solves: x(7.005) = $1

30、mm(4.1688). x = $593,861.53年期国债卖空数量 y, solves: y(2.7) = $1mm(4.1688). y = $1.54072 mm.例 4-16: 做市商的资产组合的避险( b): 假设全部债券的到期收益率一夜之间都上升了1%, 看一看做市商了解卖空头寸后的买卖结果5年期公司债券 yield = 7.9%, = P= $959.344/$1000. 多头损失 = $1mm(1-.959344) = $40,65610年期国债yield = 7.5% = P= 1034.74/$1000.1034.74/1109 = .933. (1-.933)(593,

31、861.5) = $39,765.7 (赢利).3年期债券 yield = 7% = P= 981.35/$1000.981.35/1,008.1 = .97346. (1-.97346)(1,540,720) = $40,891 (赢利.).例 4-16: 做市商的资产组合的避险c. 假设他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？为了避险,被避险公司债券的价值应该等于避险债券价值,而且资产和负债的继续期应该相等:x(7.005) + (1-x)(2.7)=4.1688 x为10年期国债卖空的比重.继续期与凸性在投资组合中的运用其他要素都一样,凸性被以为是好的,对投资者是有价值的

32、.如何获得?Barbells vs. BulletsBullet payment = 一次性支付Barbell payments = 现金流量两头分布给定到期收益率和修正继续期,票面利率越低,凸性越小.与此相关, bullets的凸性比 barbells来得小这导致一种投资战略,即在其他要素都一样的情况下,选择 barbells 要优于 bullets.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略有以下国债,均为平价买卖:Bond Coupon(%) Maturity (yrs) Yields Dm m A 8.5 5 8.5 4.00 19.81 B 9.5 20 9.5 8.8

33、8 124.2 C 9.25 10 9.25 6.43 55.45.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略 两种国债组合战略:(a) 只投资于 C (bullet strategy)(b) 投资于A 和 B ,组合的金额继续期等于 C. 也就是A 投资 50.2% ,B 投资 49.8%,由于: .502(4.00) + .498(8.88) = 6.43.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略组合经理期望在市场利率变化后,barbell 表现得好一些.所以该经理或许情愿舍弃一点收益率,而获得较高的凸性.因此, bullet的到期收益率为 9.25%.假定

34、barbell的到期收益率是两个债券的加权平均,因此 barbell的到期收益率为:.502(8.5%) + .498(9.5%) = 8.998%在本例中,该经理为获得凸性曾经舍弃了一些收益率.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略% yield ch. level shift flattening Steepening -5.0 -7.19 -10.69 -3.89 -4.0 -4.00 -6.88 -1.27 -3.5 -2.82 -5.44 -0.35 -2.0 -0.59 -2.55 1.25 -1.0 0.06 -1.54 1.57 0.0 0.25 -1.06

35、1.48 2.0 -0.31 -1.18 0.49 2.75 -0.73 -1.46 -0.05 3.00 -0.88 -1.58 -0.24 3.75 -1.39 -1.98 -0.85.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略.例4-17: Bullet vs. Barbell 战略Flattening意思是5年期到期收益率比程度挪动多涨 25 个基点,而20年期到期收益率比程度挪动少涨25个基点Steepening意思是5年期到期收益率比程度挪动少涨 25 个基点,而20年期到期收益率比程度挪动多涨25个基点上表阐明的是在6个月的持有期间,bullet 收益金额减去 ba

36、rbell收益金额后的结果留意 barbell 战略不是永远好于bullet ,为什么?.凸性在固定收益证券投资中的运用普通债券的凸性是个正数，因此凸性的存在改善了债券价钱的风险情况。因此，Grantier, J. B.写了一篇“凸性与债券表现，越弯越好(Grantier J. B.Convexity and bond performance: The benter the better, Financial Analyst Journal Vol. 44 1988.)的文章。 固定收益证券管理中存在着努力实现组合凸性最大化的动机。 参见 Douglas,L.G. Bond risk anal

37、ysis :a guide to duration and convexity, New York Institute of Finance,1990含权证券的凸性特征与传统固定收益证券不同，这也给投资者利用这些证券的凸性进展组合管理提供了时机。债券的凸性与时间效应是一对矛盾。当债券的凸性效应高时，时间效应就比较差。而当凸性效应较差时，时间效应就比较好。因此，不能简单讲，凸性越大越好。.凸性的引入与利率风险逃避例如，有这样两种债券A、B。 归还期 票面利率价钱 到期收益率 金额继续期 比率继续期 金额凸性 投资额面值额A 10 10% 1026.85 9.6% 6935.9 6.75 1252

38、07 45.2144.03B 1 10% 1013.76 8.5% 1013.8 1.0 1014 19.3719.11组合 64.58.凸性的引入与利率风险逃避投资者有100万元的负债，5年后到期，可以计算出这笔负债的现价为64.58。负债的继续期为5。投资者用A、B两种债券进展避险，那么因此，A债券投资45.21万元，B债券投资19.37万元。那么A债券购买面值为44.03万元，B债券购买面值19.11万元。 .凸性的引入与利率风险逃避组合的价值与负债的价值相等，组合继续期与负债的继续期也相。那么能否实现避险呢？当到期收益率曲线平行上升20个基点时，负债的价值为639877元，资产的价值为

39、639971元。资产价值超越负债价值94元。到期收益率曲线平行下降20个基点时，负债的价值为651711元，资产的价值为651835元。资产价值超越负债价值124元。当市场利率变化幅度增大时，比如到期收益率曲线平行上升1个百分点时，负债的价值为616974元，资产价值为617373元，资产价值超越负债价值399元。当到期收益率曲线平行下降1个百分点时，负债的价值为676177元，资产价值为676768元，资产价值超越负债价值591元。.凸性的引入与利率风险逃避上面的例子阐明，不论市场利率发生什么样的变化，组合资产价值决不会小于负债的价值，而且利率变化幅度越大，不论是向哪个方向变化，组合资产超越

40、负债的价值就越多。只需在利率不发生变化的时候，资产价值与负债价值相等。.凸性的引入与利率风险逃避分析其中的缘由，不难了解，组合资产的凸性远远大于负债的凸性，本例中，资产的凸性为 ，负债的凸性为 16140000阐明在市场利率下降时，资产价值的上升会超越负债价值的上升；而当市场利率上升时，资产价值的下降幅度小于负债价值的下降幅度。正由于如此，组合资产的凸性越大，对投资者就越有利。可以用图形来表示。上例阐明，仅仅思索继续期是不够的，由于市场利率随时会发生变化，因此有必要让组合资产的继续期等负债的继续期的前提下，让争取让组合凸性极大。.凸性的引入与利率风险逃避假设确定了资产组合，并且组合的凸性超越了负债的凸性，在未来相当长的时间里市场利率不发生变化，组合资产与负债价值随着时间的变化而变化，但变化结果如何呢？继续利用上例的资料，假定利率期限结果在未来1年时间里不发生变化，那么一年后组合的价值为707692元，而负债的价值为708600元。组合的值为.凸性的引入与利率风险逃避这阐明，资产组合一年后添加61892元，而负债添加62800元，负债价值添加超越资产价值添加900元。意味着，假