134课题学习　最短路径问题

1、数 学新课标（RJ） 八年级上册第十三章轴对称新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究13.4课题学习 最短路径问题新 知 梳 理 知识点 最短路径问题 13.4 课题学习最短路径问题类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两点两线型的线段和最小值问题；(3)造桥选址问题方法：借助轴对称或平移知识，化折为直，利用公理“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题重难互动探究探究问题一两点一线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习最短路径问题例1 如图1343，牧童在A处放马，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且ACBD，若点A到河岸CD的中点的距离为50

2、0米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？ 13.4 课题学习最短路径问题解析 根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”，连接AB，得到最短距离为AB，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出AB的值13.4 课题学习最短路径问题归纳总结 依据：两点之间，线段最短；到平面内两个点距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上；三角形两边之和大于第三边方法：求两点的距离和最小应作出一点的对称点，然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点探究问题二两点两线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习最短路径问题例2 如图1344，在锐角AOB内有

3、一定点P，试在OA，OB上确定两点C，D，使PCD的周长最短 13.4 课题学习最短路径问题解：PCD的周长等于PCCDPD，要使PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PCCDPD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E，F，则PCD的周长等于线段EF的长作法：如图1344，作点P关于直线OA的对称点E；作点P关于直线OB的对称点F；连接EF分别交OA，OB于点C，D.则C，D就是所要求作的点13.4 课题学习最短路径问题证明：连接PC，PD，则PCEC，PDFD.在OA上任取异于点C的一点H，连接HE，HP，HD，则HEHP.PHD的周长HPHDPDH

4、EHDDFEDDFEF，而PCD的周长PCCDPDECCDDFEF，PCD的周长最短归纳总结 求几条线段的和最小的问题，往往利用轴对称将这几条线段转化到同一条线段上，利用“两点之间，线段最短”选用最佳方案探究问题三造桥选址问题13.4 课题学习最短路径问题例3 如图1345，荆州护城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使ADDEEB的路程最短？解析 由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADDEEB通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答，这就是“造桥选址问题”13.4 课题学习最短路径问题解：作AFCD，且AF河宽，作BGCE，且BG河宽，连接GF，与河岸相交于E，D.过D作DDCD于D，过E作EECE于E，DD，EE即为桥证明：由作图可知，AFDD，AFDD，则四边形AFDD为平行四边形，于是ADFD，同理，BEGE，由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图1345所示位置时，ADDEEB最短13.4 课题学习最短路径问题归纳总结 此类题考查了轴对称