数学分析3数分参考答案

1、17.2华南师范学数学科学学院, 东州 510631例题例 1 设 S 为锥面 z = x2 + y2 被柱面 x2 + y2 = 2ax (a 0) 割下的部分, 求I =(x2y2 + y2z2 + z2x2)dS.S解: 曲 S 在 xy 平上的投影为 D = (x, y) | x2 + y2 2ax, 见图 17.2. 在直坐标系中计算,xyz = , z = ,1 + z + z =2,22xyxyx2 + y2x2 + y2由公式(?)I = x2y2 + (x2 + y2)22dxdy.x2 +y2 2ax作极坐标变换, 则2a cos /2d(r4 cos2 sin2 + r4

2、)rdrI=2/20()/22a cos 1 (cos2 sin2 + 1) rd6=2 60/2/2 2 62cos6 (cos2 sin2 + 1)d(2a)6=/2/2cos6 (cos2 cos4 + 1)d(2a)62=60()29 =2a6.27! 9! 5! 6! 26=(2a)+38! 210! 282例 2 设 S 是x2 + y2 z 1 的边界曲面, 求(x2 + y2)dS.S解: 记 S = S1 S2, 其中22S1 : z = 1, (x, y) D = (x, y) | x + y 1,S2 : z = x2 + y2, (x, y) D.12则在 S 上,1

3、+ z + z = 1; 在 S 上,1 + z + z =2, 因此222212xyxy(x2 + y2)dS=(x + y )dS +(x2 + y2)dS22SS1S2(x2 + y2)2dxdy(x2 + y2)1dxdy +=x2 +y2 1x2 +y2 1= (1 + 2)(x2 + y2)dxdyx2 +y2 12 1r3drd= (1 +2)00= (1 + 2)2 1 = (1 + 2).2422例 3 利用公式 (17.2.2) 求例 1 中的积分.解: z = x2 + y2, 球坐标系中的 =, 因此 S 的参数4111x = 2 r cos , y = 2 r sin

4、 , z = 2 r, (r, ) D.又 S 的边界曲线 z =x + y ,22的球坐标表为x2 + y2 = 2ax,r2 sin2 = 2ar sin cos . =4于是D = (r, ) , 0 r 2 2a cos . 22计算得r2E =, F = 0, G = 1,2最后得到()2 2a cos /21 1r r cos sin + r dr4424224I=d/2029 =2a6.282思考题1. 写出第型曲积分的主要性质.k解: 性质 1 (线性性质) 若fi(x, y, z)dS(i = 1, 2, , k) 存在, ci(i = 1, 2, , k) 为常数, 则ci

5、fi(x, y, z)dSi=1SS也存在, 且kkcifi(x, y, z)dS =cifi(x, y, z)dS.i=1i=1SS3性质 2 (积分路径可加性) 若分片曲线 S 由曲面 S1, S2, , Sk 首尾相接成, 且f (x, y, z)dS (i =Si1, 2, , k) 都存在, 则f (x, y, z)dS 也存在, 且Skf (x, y, z)dS =f (x, y, z)dS.i=1SSi性质 3 (单调性) 若f (x, y, z)dS 与g(x, y, z)dS 都存在, 且在 S 上 f (x, y, z) g(x, y, z), 则SSf (x, y, z)

6、dS g(x, y, z)dS.SS性质 4 (绝对可积性) 若f (x, y, z)dS 存在, 则|f (x, y, z)|dS 也存在, 且SS f (x, y, z)dS |f (x, y, z)|dS. SS性质 5 (积分中值定理) 若f (x, y, z)dS 存在, S 的弧长为 L, 则存在常数 c, 使得Sf (x, y, z)dS = cL,S其中 inf f (x, y, z) c sup f (x, y, z).SS22. 说明公式 (17.2.1) 是公式 (17.2.2) 的特殊情形.解: 在公式 (17.2.1) 中的曲 z = z(x, y) 可视为如下参数程

7、表x = x,y = y,z = z(x, y),S :(x, y) D,即在公式 (17.2.2) 中有 u = x, v = y, 从可计算得到= x2 + y2 + z2 = 1 + z2,EF Guuux= xuxv + yuyv + zuzv = zxzy,= x2 + y2 + z2 = 1 + z2.vvvy故有222EG F = 1 + z + z ,xy从结论得证.2习题41. 计算下列第型曲积分.(1)(x + y + z)2dS, 其中 S 为球 x2 + y2 + z2 = 1;S(2)(x4 y4 + y2z2 z2x2 + 1)dS, 其中 S 是锥 z2 = x2

8、 + y2 被柱 x2 + y2 = 2x 割下部分;S(3)|xyz|dS, 其中 S 是曲 |x| + |y| + |z| = 1;z2dS, 其中 S 是锥 z = x2 + y2 在球 x2 + y2 + z2 = R2 内的部分.S(4)S解: (1) 解法:在 S 上有 x2 + y2 + z2 = 1, 于是()(x + y + z)2dS=x + y + z + 2xz + 2xy + 2yz d222SSS(1 + 2xz + 2xy + 2yz)dS.(1)=S记 S = S1 S2, 其中S1 S2: z = 1 x2 y2, (x, y) D = (x, y) | x2

9、 + y2 1,: z = 1 x2 y2, (x, y) D.在曲 S1 上, 有xy1z = ,z = ,1 + z + z = 22,xyxy1 x2 y21 x2 y21 x2 y2从有1 + 2xz + 2xy + 2yzdSS1()1dxdy=1 + 2xy + 2x 1 x 2y + 2y1 x y 2221 x2 y2D(+ 2xy + 2x + 2y) dxdy.1(2)=1 x2 y2D在曲 S2 上, 有xy1z = ,z = ,1 + z + z = 22,xyxy1 x2 y21 x2 y21 x2 y25从有1 + 2xz + 2xy + 2yzdSS2()1dxd

10、y1 + 2xy 2x 1 x y 2y1 x y 2222=1 x2 y2D ( + 2xy 2x 2y) dxdy.1(3)1 x2 y2D把 (2) 和 (3) 代 (1) 中, 有(+ 2xy) dxdy.1(1 + 2xz + 2xy + 2yz)dS = 21 x2 y2SD作极坐标变换 x = r cos , y = r sin ,则 D 与 = (r, )|0 r 1, 0 2 对应, 于是有 ( ) dxdy12xy+ 1 x2 y21 x2 y2D()21 1d+ 2r sin cos rdr2=1 r200()21 rd+ 2r sin cos dr31 r2=00()2

11、11 11d 21 r2 d(1 r ) +(sin 2) (r )d23=000()12 41r 1 r+ sin 2d=2 4000()21221 + sin 2+cos +sin d=43301= | cos 2| 22 004= 2.因此, 有(1 + 2xz + 2xy + 2yz)dS = 4.S解法:因为 S 的参量x = sin cos , y = sin sin , z = cos , 其中 (, ) D = 0, 0, 2, 且有F = x x + y y + z z = 0, G = x + y + z = sin ,E = x2 + y2 + z2 = 1,2222 6

12、于是有(x4 y4 + y2z2 z2x2 + 1)dSx2 + y2 + z2 + 2xz + 2xy + 2yzdSS=S1 + 2xz + 2xy + 2yzdS=S()1 + 2 sin cos sin + 2 sin cos cos + 2 sin sin cos EG F dd2=2D22()d1 + 2 sincos sin + 2 sin cos cos + 2 sin sin cos sin d2 =00()2dd +2 sincos sin d +2 sincos cos d +2 sinsin cos d3 2 2 =00000()sin sin 2 332 cos |

13、+ sin 2 2 + 2 cos + 2 sin d= 03330000232 +sin 2d=40()3cos 22 =2 +44. 20=(2) 记 S = S1 S2, 其中S1 : z = x2 + y2, (x, y) D = (x, y) | (x 1)2 + y2 1,S2 : z = x2 + y2, (x, y) D.在曲 S1 上, 有xyz =,z =,1 + z + z =2,22xyxyx2 + y2x2 + y2于是有(x4 y4 + y2z2 z2x2 + 1)dSS1)x + 1) 1 + z + z dxd4422222222=(x y + y (x + y

14、 ) (x + yyxyDdxdy =2dxdy.=1 2DD在曲 S2 上, 有xyz = z = 22,1 + z + z =2,xyxyx2 + y2x2 + y27于是有(x4 y4 + y2z2 z2x2 + 1)dSS2=(x y + y (x + y ) (x + y )x + 1) 1 + z + z dxd4422222222yxyDdxddxdy.=1 2y =2DD注意到 D 是半径为 1 的圆, 所以dxd1 = , 所以2y = D(x4 y4 + y2z2 z2x2 + 1)dSSd442 22 2(x y + y z z x + 1)=+SS1S2= 2 2dxd

15、y = 22.D(3) S 图形如 (1) 记 S = S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8, 其中,图 1: 曲 |x| + |y| + |z| = 1S1 : z = 1 x y, (x, y) D1 = (x, y) | 0 y 1 x, 0 x 1,S2 : z = 1 + x y, (x, y) D2 = (x, y) | 0 y 1 + x, 1 x 0, S3 : z = 1 x + y, (x, y) D3 = (x, y) | x 1 y 0, 0 x 1,S4 : z = 1 + x + y, (x, y) D4 = (x, y) | x 1 y 0, 1 x 0

16、, S5 : z = x + y 1, (x, y) D5 = D1S6 : z = x + y 1, (x, y) D6 = D2 S7 : z = x y 1, (x, y) D7 = D3 S8 : z = x y 1, (x, y) D8 = D4.8利 S 的对称性及被积函数的对称性有|xyz|dS = 8|xyz|dS,SS1在 S1 上,zx = 1,|xyz|dS=zy = 1,1 + z + z =3,22xyxy(1 x y) 3dxdyS1D1x1xdx3y(1 x y)dy=00()1x1 y (1 x)23ydx=3x 2300361x(1 x) dx3=03=.12

17、0于是3.3|xyz|dS = 8=12015S2R(4) 曲 S 在 xy 平上的投影为 D =(x, y), 注意到锥程 z =x + y 满 22x + y 22 2xyz = ,z =,1 + z + z =2,22xyxyx2 + y2x2 + y2于是S =2(x2 + y2)dxdyz d2SD作极坐标变换 有则 D 与 = (r, )x = r cos , y = r sin 2R, 0 2对应, 于是0 r 222 2R22(x2 + y2)dxdy=dr r dr2002 2RD4r =2 2 4028R4.=22. 求 f (t) =f (x, y, z)dS, 其中x2

18、 +y2 +z2 =t2z x2 + y2,x2 + y2,0,f (x, y, z) =z x2 + y2.9解: 球 S := (x, y, x) | x2 + y2 + z2 = t2 如图 2所.,图 2: 曲 S1 和 S2记 S = S1 S2, 其中S1: (x, y, z) S| z 0, 球的密度为 1.解: 先求上半球 z =a x y2 + y2 = ax 截取部分的积.222S 在 xy 平上的投影为 D = (x, y)| x2 + y2 ax, 所以xyaz = , z = 22,1 + z + z =,xyxya2 x2 y2a2 x2 y2a2 x2 y2,作极

19、坐标变换 x = r cos , y = r sin 则 D 与 = (r, ) 0 r a cos , 2 211对应, 因为球的密度为 1, 于是有 a1dSdxdy=a2 x2 y2SD a cos a2d rdr=a2 r202 a cos aa2a2dd(a2 r2)=a2 r202 a cos 2d=(2 a r )22 202 2a(a a| sin |)d=2 02a(a + a sin )d + a(a a sin )d=22a ( cos )|+ a ( + cos )|0022=22a2( 2).2 + y2 = ax 截取部分的重坐标.其次求上半球 z =a x y22

20、2由对称性可知, y0 = 0.由重坐标公式xdSax1dxdy Sx =d01Sa2( 2)a x y222DS作极坐标变换 x = r cos , y = r sin 则 D 与 = (r, )20 r a cos , 对应, 且有 2 ax1dxdy a2( 2)a2 x2 y2D a cos ar cos 2d rdra2 r2=02ar22= acos da2 r2 dr02 ()a cos a22 cos r a2 r2 + a2 arcsin(cos )d= 02)0 ()(23acos2 sin + (+ ) d + cos2 sin + ( ) d=22202 cos3 co

21、s 20a3a33+sin + sin + cos +sin sin cos =+ 23223220a34= 322a3=.312于是2a312z3 a2( 2)x0 =;3( 2)(3) 由重坐标公式zdaa2 x2 y2S11dxdy dxdy Sa2 x2 y2z =d01Sa2( 2)a( 2)DDS作极坐标变换 x = r cos , y = r sin 则 D 与 = (r, )20 r a cos , 对应, 且有 2a cos 2dxdydrdr=02Dr2 a cos 2d = 202 2a2cos2 d=22 2cos2 da2=01 a2 2 =2a24=.于是a21az

22、0 =4 a( 2)4( 2) .=() 2za综上所述, 重坐标为., 0,23( 2)4( 2)(x, y)4. 设=0, 利公式 (17.2.1) 推出公式 (17.2.2).(u, v)解: 因为 , 存在 x = x(u, v),y = y(u, v)u = u(x, y),v = v(x, y)(x, y)(u, v)=0, 则由反函数存在定理且且有ux = xu, uy = yu, vx = xv, vy = yv,于是z(u, v) = z(u(x, y), v(x, y) = z(x, y),zx = zuux + zvvx,zy = zuuy + zvvy,于是(4)1 + z + z =1 + (z u + z v ) + (z u + z v ) ,2222u xv xu yv yxy(x, y)(u, v)xuyu= = x y x y ,(5)J =u vv uxyvv13于是利坐标变换 x = x(u, v),y = y(u, v),则利 (4), (5)及式 (17.2, 1),f (x, y, z)dSSf (x, y, z(x, y)1 + z + z dxd22=yxyDxyf (x(u, v), y(u, v)