发散思维妙证连篇不等式

1、发散思维 妙证连篇江西 谭殿韧在高中数学中.不等式的证明没有固定的模式可以套用.它方法灵活多变.技巧性强.综合性强.特别在不等式中,几乎与函数，三角函数,向量及立体几何等所有知识点联系起来。以下面一道不等式题为例，希望能帮同学们开拓视野.打开思路.(一)应用不等式的性质证明;1)应用已知”1”化简方法1:由不等式可知.左边为二次的,右边为常数.为了达到比较的目的.右边也要化成二次的,于是可以利用如下:证明:所以:(当”a=b=c”时”=”成立)2)应用分析法方法2 :要证即 即证 展开有:() 又 (), 明显成立故命题得证。3应用不等式的性质方法3：因为， 由+得： 以上就是用一般的性质来证

2、明.我们还可以用减元换元来证明. (二)应用减元换元法证明1)应用减元法证明方法4:当b=且a=-时.”=”成立即时,”=”成立2)应用一般换元法证明方法5:分析:利用.可以令再运算即可设,则有: 即 ”=”成立)方法6:设 =+s2+t2+r2当且仅当s=t=r=0时取等号， x2+y2+z2.3)应用三角函数换元法证明方法7:除了应用不等式的性质证明及应用减元换元法证明外,还可以应用函数来证明.现举例如下:(三)应用构造函数来证明!)设字母为变量构造函数方法8:分析: ,可以利用减少字母数. a+b+c=1即要证明即证明可以令左边为:即求即可证明: , 令 (当x=时,”=”成立)2)构造

3、二次函数构造二次函数的恒成立模型方法9:分析:要证 即证明:构造二次函数法: 即, 所以: 构造二次函数的一般模型方法10:另: 构造函数.化简即可得方法11构造凸函数，则有：，故又，故 (四)构造空间向量:方法12:设, 且又由向量公式: 又故(五)应用解析几何-方法13:分析:构造空间坐标,则表示一个平面,如右下图而令= 其中R表示在平面上找一点使得球Y的半径最短即原点到平面的最短距离,即过原点作平面的垂线,利用等体积方法求即可。证： 由题知为等边三角形，可求得 由有：R=则 (六)应用立体几何方法14：设长方体的边长依次为a,b,c.且则体对角线为我们知道当长方体为正方体时，即此时体对角

4、线最短，故由有：除了以上方法外,我们还有另一种方法-柯西不等式(六) 应用柯西不等式方法15:介绍柯西不等式:对任意实数有: 其中当且仅当= 时, ”=”可以取等号即.或其中当且仅当= 时, ”=”可以取等号即.(证明柯西不等式: 设()对恒成立 且 , 则 )于是有: 即: 不等式的证明在高中是个难点,这里方法多,题目一般比较难,除了以上我们介绍的方法外,还有比较法,反证法,放缩法等方法.练习;试用以上各种方法证明下列问题:(1) (2) (通信地址：江西余干蓝天实验学校335100 谭殿韧)例2 证明若x,y,zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，则x,y,z,0,。证法一由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得：x2+y2+(1xy)2=整理成关于y的一元二次方程得：2y22(1x)y+2x22x=0yR，故04(1x)242(2x22x)0解之得：0 xx0,同理可得：y,z0,证法二 设x=+x，y=+y,z=+z，则x+y+z=0于是故，x，x0, ，同理，y,z0, 证法三 反证法设x、y、z三数中若有负数，不妨设x0，=x2+y2+z2x2+=+x2=x2x+，矛盾。设x,y,z三数中若有最大者大于，不妨设x，则：=x2+y2+z2x2+