计算机控制系统计全书教案完整版电子教案整本书教案最全单元教学设计1-9章全

1、PAGE PAGE - 430 -计算机控制系统席爱民 编著第1章绪 论1.1 概述可以这样说，没有计算机的参与，现代化的自动化系统是不可能实现的。随着微电子学、计算机技术革命性的发展，当今所构成的自动控制系统都是建立在计算机基础之上的。要获得比模拟控制系统更好的控制性能，使控制系统具备新的功能，只有使用计算机控制系统。计算机具有信息储存记忆、逻辑判断推理和快速数值计算功能，是一种强大的信息处理工具，其应用己经渗透到人类活动的各个领域，强有力地推动着技术与科学的全面进步。随着计算机技术的迅猛发展，计算机在工业控制中的应用也越来越广泛。如今计算机控制已广泛应用于各行各业技术工程和各类工业生产制造

2、过程的控制中。学习本书的目的：本书将侧重系统讲述有关计算机控制系统的分析及设计的基本理论和方法，以及一些较为实用的计算机先进控制算法。实际上目前全部的控制系统都是基于计算机控制，因此懂得计算机控制是很重要的。如果将计算机控制系统仅仅看作模拟控制系统的近似是很不够的。因为那是没有看到计算机控制的全部潜在能力。很好地掌握计算机控制系统，就能够充分发挥计算机控制的全部潜能。计算机控制系统存在着一些模拟控制系统所没有的相应现象，本书的主要目标就提供了解、分析和设计计算机控制系统扎实的基础理论知识，这对于从事控制系统方面的工程技术人员来说是很重要的。本章概述：计算机控制系统的组成、类型、特点、任务以及计

3、算机控制的发展概况及趋势；了解过程自动化的任务，进一步明确计算机控制系统的类型、特点。1.1.1计算机控制系统典型计算机反馈控制系统如图1.1所示。系统中存在着两种截然不同的信号，即模拟连续信号及数字离散信号。因而对于计算机控制系统的分析和设计就不能完全采用连续控制理论，需要有相应的离散控制理论与之图1.1 典型计算机反馈控制系统相适应。不同类型信号混合的分析有时是困难的，然而，在大多数的情况下，描述系统在采样点上的表现就足够了。1.1.2计算机控制系统组成计算机控制系统是由硬件和软件两部分组成的。 1、 硬件组成 计算机控制系统的硬件主要由主机、外部设备、过程输入输出设备和被控对象组成，如图

4、1.2所示。 现分述如下: 主机 由中央处理器（CPU）和内存储器（RAM和ROM）通过系统总线连接的主机是计算机的核心，也是整个控制系统的核心。 外部设备 图1.2 计算机控制系统的硬件组成框图 常用的外部设备有四类:输入设备、输出设备、外存储器和通信设备。输入设备:常用的是键盘，用来输入（或修改）程序、数据和操作命令。输出设备：通常有打印机、CRT显示器等，它们以字符、曲线、表格、图形等形式来反映被控对象的运行工况和有关控制信息。外存储器: 通常是磁盘（包括硬盘和软盘）。它们兼有输入和输出两种功能，用来存放程序和数据，作为内存储器的后备存储器。通信设备: 用来与其它相关计算机控制系统或计算

5、机管理系统进行联网通信，形成规模更大，功能更强的网络分布式计算机控制系统。 过程输入输出设备过程输入输出（简称I/O）设备是计算机与被控对象之间信息联系的桥梁和纽带，计算机与被控对象之间的信息传递都是通过I/O设备进行的。I/O设备分为过程输入设备和过程输出设备。过程输入设备：包括模拟输入通道（简称A/D通道）和开关量输入通道（简称DI通道），分别用来将测量仪表测得的被控对象各种参数的模拟信号和反映被控对象状态的开关量或数字信号输入计算机。过程输出设备:包括模拟输出通道（简称D/A通道）和开关量输出通道（简称DO通道）。D/A 通道将计算机产生的数字控制信号转换为模拟信号，再经保持器后输出，驱

6、动执行装置对被控对象实施控制；D0通道将计算机产生的开关量控制命令直接输出驱动相应的开关动作。 被控对象一般来说，被控对象是连续模拟环节，而计算机输出数字信号，该信号经D/A转换、保持器后成为连续信号，加到被控对象上。在以后的分析中，我们将保持器、执行机构以及被控对象看作一个整体，称为广义被控对象。2、软件组成 计算机控制系统的软件通常由系统软件和应用软件两大软件组成。 系统软件系统软件通常由计算机厂家和软件公司研制，可以从市场上购置。 应用软件一般情况下，应用软件由计算机控制系统设计人员根据所确定的硬件系统和软件环境来开发编写。应当指出，计算机控制系统中的控制计算机（简称控制机或工控机）跟通

7、常用作信息处理的通用计算机（如PC机），不仅在结构上而且在技术性能方面都有较大差别。控制机可靠性一般要求整机系统及其功能模板的平均无故障时间 MTBF（Mean Time Between Failures），分别为l年和10年以上。1.2 计算机控制系统的类型、特点1.2.1 计算机控制系统的类型 计算机控制系统按照其功能或工作任务分类，可以分为以下几种类型。1. 计算机监测与操作指导系统图1.3 计算机监测与操作指导系统计算机不参与控制。计算机按照预先建立的数学模型和控制优化算法，通过计算给出的相应控制命令由CRT显示输出，控制命令执行与否由操作人员凭经验决择；另一种是计算机按照预先存放的在

8、特定工况下的操作方法顺序，再根据被控对象实际工况和流程，逐条输出操作信息，用以指导操作。 2. 计算机直接数字控制系统 计算机直接数字控制系统，简称DDC（Direct Digital Control）系统，是指用计算机代替常规模拟控制器，直接对被控对象进行控制的系统。其中DDC反馈系统结构如图1.1所示。计算机控制系统需要另有与之相应的理论和方法来处理。关于如何处理计算机控制系统的数学描述、分析和设计问题的理论与方法，正是本书后面要讲述的主要内容。 3. 计算机顺序控制系统 这种系统中，计算机根据被控对象运行状态，严格按照预定的时间先后顺序或逻辑顺序产生相应的操作命令，并以开关量形式输出，使

9、被控对象各个环节或部件按照预定的规则顺序协调动作来完成相应的生产加工任务。这种系统常用于机械加工过程和连续生产过程中的启动、停止以及故障联锁保护阶段，数控机床就是一种典型的计算机顺序控制系统。市面上出售的各种类型可编程控制器，又称PLC（Programming Logical Controller）就是专门用于顺序控制系统的控制计算机。图1.4 计算机监督控制系统 4. 计算机监督控制系统计算机监督控制系统简称SCC（Supervisory Computer Control）系统,是由DDC系统加监督级构成的，其结构如图1.4所示。两级计算机监督计算机和控制计算机。在小规模计算机控制系统中监督

10、级功能也可用DDC级同一台计算机通过软件来实现。 5. 集散型控制系统 集散型控制系统又称为分散控制系统，简称DCS（Distributed Control System）,其结构如图1.5所示。 该系统是运用计算机通信技术，由多台计算机通过通信网互相连接而成的控制系统，因而它具有网络分布结构。 图1.5 DCS控制系统 DCS自上世纪70年代中期出现以来，其技术和应用发展很快，如今已成为计算机工业控制系统的主流，也代表了今后工业企业综合自动化的发展方向。自上世纪70年代中期以来，许多国外仪表公司己陆续推出了各种类型的DCS产品，如美国Honeywell公司的DTCS3000,Foxboro公

11、司的SPECTRUM，日本横河公司的CENTUM-XL都是较为典型的具有控制管理集成功能的DCS产品。我国十多年来已有很多石化、冶金、电力等大中型企业先后引进了DCS，并获得了成功的应用。1.2.2计算机控制的主要特点 计算机控制相对于模拟控制的主要特点可以归纳为: 计算机控制利用计算机的存储记忆、数字运算和CRT显示功能，可以同时实现模拟变送器、控制器、指示器、手操作器以及记录仪等多种模拟仪表的功能，并且便于监视和操作。 计算机控制利用计算机快速运算能力，通过分时工作可以用一台计算机同时控制多个回路；并且还可以同时实现DDC、顺序控制、监督控制等多种控制功能。 计算机控制利用计算机强大的信息

12、处理能力，可以实现模拟控制难以实现的各种先进复杂的控制策略，如最优控制、自适应控制、多变量控制、模型预测控制以及智能控制等，从而不仅可以获得更好的控制性能，而且还可实现对于难以控制的复杂被控对象（如多变量系统、大滞后系统以及某些时变系统和非线性系统等）的有效控制。 计算机控制系统调试、整定灵活方便，系统控制方案、控制策略以及控制算法及其参数的改变和整定，只通过修改软件和键盘操作即可实现，不需要更换或变动任何硬件。 利用网络分布结构可以构成计算机控制、管理集成系统，即DCS，实现工业生产与经营的管理、控制一体化，大大提高工业企业的综合自动化水平。 计算机控制系统中同时存在连续型和离散型两类信号，

13、系统中必有A/D和D/A转换器实现连续信号与离散信号相互转换。连续系统控制理论不能直接用于计算机控制系统分析和设计。1.3 计算机控制的发展概况及趋势 计算机控制的发展同计算机本身的发展有着紧密的联系，计算机每更新换代一次，计算机控制就前进一步，上一个新台阶。随着计算机的发展，计算机控制系统大约分以下几个时期：早期1955直接数字控制（DDC）时期1962小型机时期1967微型机时期1972数字控制的广泛应用1980分散控制19901959年3月，世界上第一个规模较大的过程计算机控制系统在德克萨斯州的一个炼油厂正式投入运行，取得成功。该系统控制26个流量，72个温度，3个压力和3个成分。美国人

14、这一开创性的工作，唤起了人们对计算机控制的极大兴趣，使计算机厂家看到了新的市场，使工业界看到了新的自动化工具，使学术界发现了新的研究课题。因而有力地推动了计算机控制和计算机本身的进一步发展。1958年前后计算机的平均故障间隔时间MTBF为50l00小时。上世纪60年代初，随着半导体技术的兴起，半导体计算机取代了电子管计算机，计算机的可靠性和其它性能指标都有较大的提高，计算机的MTBF大约为1000小时。 计算机控制的大发展是从上世纪70年代初出现微型计算机开始的。随着大规模集成电路（LSI）技术的突破，微型计算机于197l年问世。微型计算机的出现使得计算机控制进入了一个崭新的发展阶段。 上世纪

15、80年代以后，随着超大规模集成电路（VLSI）技术的飞速发展，计算机朝着超小型化、软件固化和控制智能化方向发展，同时测量仪表、执行装置等自动化仪表也向计算机智能化方向发展。前期DCS中的每个现场控制器一般要控制8个以上的回路。上世纪80年代中后期又推出了将DCS低层控制级的现场控制器和智能化仪表设备用现场通信总线互联构成新型分散控制系统，称之为现场总线控制系统，简称FCS（Fieldbus Control System）。参看图1.6。图1.6 现代计算机控制系统（FCS）FCS中的一个现场控制器可以只控制一二个回路。FCS具有开放性、互操作性和彻底分散性等特点，并且易于同上层管理级以及国际互

16、联网实现互联构成多级网络控制系统。当前，PLC功能日臻完善，如具备了多种控制算法功能、通信功能等，并且运行可靠，因此在过程控制级大多选用PLC作为控制器。值得注意的是，当前一些自动化公司推出企业资源计划实用软件ERP（Enterprise Resource Planning），其基本功能具有：物料管理、生产规划、财务、销售、企业情报管理等，有些ERP还具备一些扩展功能，如供应链管理、顾客关系管理以及电子商务等。将ERP安装到FCS系统上，可以大大提高企业管理水平。FCS系统由于采用了当前最有发展前途的现场总线，从现场到控制室节约大量的电缆，而且信息传递可靠。FCS的可靠性更高，成本更低，设计安

17、装调试使用维护更简便。因此，FCS已成为现今计算机控制系统发展的新潮流。 1.4 计算机控制理论的发展尽管在计算机控制系统中，目前主要应用采样系统理论，但是该理论中的许多问题早些时候都已经出现。本节我们讨论采样系统理论发展的一些主要思想，许多都是连续时间系统思想的扩展。现在对以下问题的发展简述如下：采样定理奈奎斯特（Nyquist）最早探讨了其关键问题，他证明了要想把正弦信号从它的采样值复现出来，就必须对正弦信号每周期至少采样两次。1949年香农（Shannon）在他的重要论文中完全解决了这个问题，成为理解离散时间系统所产生某些现象的基础。差分方程采样数据分析理论与数值分析密切相关。积分可用数

18、值求和来近似计算。许多优化问题都能够用差分方程来描述。普通微分方程就是通过差分方程来近似积分的。例如，数值积分算法中的步长调整就可以视为一个采样数据控制问题。变换方法在第二次世界大战期间和战后时期，许多研究致力于雷达系统分析。因为雷达天线每旋转一周，就获得一次目标位置检测量，所以这类系统是天然的采样系统。这就产生一个问题，如何去描述这些新的系统。由于当时变换理论已成功地应用于连续时间系统中, 人们很自然试图为采样系统建立一种类似的理论。最早霍尔维茨（Hurewicz）在1947年介绍了序列的变换，定义为最优控制 在20世纪50年代后期，控制理论还有几项重要进展。贝尔曼（Bellman）(195

19、7)和庞特里亚根（Potryagin）等人(1962)证明了许多设计问题可化为最优化问题。最优控制要解决的问题可以归结为： 利用最优控制的办法，寻找最优设定值或者最优的工况； 设计出最优调节器，计算机参与在线控制，保证工况稳定在设定值上。由于最优控制通常需要繁杂的数学运算，需要精确的数学模型。尽管最优控制的理论研究达到了相当高的水平，但在工业中应用尚不多见。随着大批性能优良、价格低廉的微型计算机的投放市场，以及数字滤波、系统辨识的深入研究，最优控制将会越来越广泛地应用到实际工程中去。系统辨识所有控制系统的分析和设计都是以过程动态模型为基础的。建立在拉氏变换基础上的经典控制理论的成功，是由于可以

20、通过频率响应以确定过程的传递函数。随着系统辨识方法的进步，数字控制也得到同样的发展。这就是可以通过实验的方法确定过程的脉冲传递函数或差分方程，脉冲传递函数、差分方程是分析和设计数字控制系统的基础。自适应控制用数字计算机来实现一个控制器时，就能够实现比较复杂的控制算法。自然包括参数估计方法和控制设计算法。用这种方法可以获得自适应算法，即确定数学模型，实行控制系统的在线设计。自适应控制的研究起源于上世纪50年代中期。上世纪70年代，自适应控制的工业应用得到论证，取得了重要的进展。微处理器的出现使得算法成本降低，上世纪80年代早期出现了商用自适应调节器。这就激发了理论上的研究和重要产品的开发。自动调

21、整控制器参数通常是手工整定的。经验证明，手工调整两个以上参数是困难的。从用户观点来看，在控制器内设有调节工具是很用的。这样的系统类似于自适应控制，然而,它们更容易设计和使用。基于计算机的控制器很容易引入整定工具。上世纪80年代中期工业应用中就出现了这样的系统。智能控制上世纪80年代兴起的智能控制理论，发展迅速，能够解决更复杂的工程控制问题，特别是那些难以建立被控对象精确数学模型的问题。到了上世纪90年代，智能控制的研究势头异常迅猛，其应用已经扩大到面向军事、高科技领域和日用家电产品等领域。绝大多数工业过程计算机控制系统至今仍然沿用传统的PID反馈控制律，以致控制系统的性能提高和功能的发挥受到较

22、大的限制。改进这种局面，需要在以下研究方面加大步伐： 自上世纪60年代以来，在计算机控制推动下，控制理论也有了很大发展，先后形成了最优控制、多变量控制、系统辨识、自组织自适应控制、鲁棒控制、预测控制以及智能控制等一系列先进控制理论和方法，特别是上世纪80年代兴起的智能控制，其前景诱人，引起控制界的广泛关注。为此，需要进一步加强先进控制理论，尤其是智能控制应用的研究，发展各种使用简便的先进控制策略。在计算机控制取得进步的同时，相信在控制理论方面的研究会进一步深入发展及完善。 基于上述原因，要不断提高控制水平，发挥计算机控制系统的更大潜在功能，就要加速发展计算机控制理论与技术方面的教育，培养更多从

23、事计算机控制的研究、开发和应用工作的专业人才。1.5 本书的安排本书讨论的是采用计算机作为标准控制部件的数字控制系统，即计算机控制系统。由于系统中采用了计算机，要处理的是离散数字信息，因此，计算机控制系统从信息处理角度看也可以叫做数字控制系统。相对连续控制系统而言，计算机控制系统也可以叫做离散控制系统。本书由第2章开始，首先讨论计算机控制系统中信号的类型，并通过对离散信号的频谱分析引出采样定理。第3章介绍计算机控制系统的数学基础Z变换。重点介绍Z变换定义及其重要性质和定理。第4章讲述计算机控制系统的数学描述及脉冲传递函数，引出描述离散系统的差分方程及脉冲传递函数的概念，讨论离散系统方框图变换方

24、法。第5章介绍计算机控制系统特性分析及系统稳定性判定方法。第6章、第7章讨论有关数字控制器设计问题。第六章对各种离散化方法都作了详细的讨论，同时，本章还对当前用的较多的数字PID控制器的设计和改进进行了详细的论述。第7章讲述离散域直接设计方法。它是根据所要求的性能指标以及过程的脉冲传递函数，直接设计出数字控制器。这种设计方法目前正在大力探讨和发展。第8章内容为数字控制器的实现问题，根据实现方框图，可以编写控制程序。不仅如此，第8章的内容，也是学习第9章内容的基础知识。第9章讲述计算机控制系统的状态空间分析方法和设计。之所以将计算机控制系统的状态空间分析和设计方法单独成立一章，是因为在学习了前面

25、的基础知识后，再学习第9章就不感到困难。第2章 计算机控制系统的信号特征数字计算机只能接受和处理二进制代码，这些二进制代码可以表示某一种物理量的大小或某个数值，称为数字信号。实际系统中的被控制量大都是一些在时间上连续的信号，一般称为模拟量或连续量。因此计算机控制系统也可以称为数字控制系统、离散控制系统或采样控制系统，而模拟控制系统也称为连续控制系统。本章首先介绍离散时间控制系统中信号类型，并从频域角度研究离散模拟信号的特性。2.1 信息变换原理2.1.1数字控制系统方框图及系统信息图2.1 计算机控制系统中前后的信息转换关系在DDC（Direct Digital Control）系统中，数字计

26、算机主要起着控制器的作用。系统方框图及信号形式如图2.1所示。 名词说明： 连续信号指在时间上是连续的，在幅值上也是连续的信号，在数学上可以用连续函数表示。 离散模拟信号指在时间上是离散的，而在幅值上表示连续量大小的信号。数字信号在时间上是离散的，而在幅值上也是离散（已经被量化）的信号。2.1.2 采样过程及理想采样信号的特征1、采样过程所谓采样，就是一种作用或过程，取某种东西的一小部分用于测试或分析。在计算机控制系统中，将连续信号转变成离散信号。采样过程如图2.2所示。连续信号通过采样开关后变成一组脉冲序列，“*”表示在时间上是离散的。脉冲宽度代表采样一个信号所需要的时间(即采样开始到结束

27、图2.2 采样过程的时间)，相邻两次采样之间间隔时间T称为采样周期，通常比脉宽大得多。理想采样过程：当时 图2.3 理想采样过程有限宽度的脉冲序列可以近似看成理想脉冲序列，如图2.3所示。理采样间隔大小可以是随机的，也可以按规定规律变化。如图2.4所示。今后我们讨论的采样信号都是指均匀采样。若计算机控制系统中各点采样的采样周期都相同，称为单速率采样系统；若一个系统中有几种采样周期，则称为多速率采样系统。2、理想采样信号的特性 理想采样信号的时域数学描述图2.4 采样形式（a）均匀采样；（b）非均匀采样；（c）随机采样图2.3所示的理想采样信号可以看成是连续信号调制一组脉冲序列的幅度调制脉冲信号

28、，如图2.5所示。其中，为单位脉冲周期函数。 图2.5 脉冲幅度调制器 （2.1）由t=0时刻开始，则 （2.2）式（2.2）不仅描述了采样信号的基本特征，更重要的是给出了被采样的连续信号和采样信号在时域中的关系。由式（2.2）不难理解，理想采样信号可以看作连续信号对单位脉冲序列调制的结果，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，连续信号为调制信号，单位脉冲序列为载波信号，理想采样开关就是单位脉冲发生器，每隔时间T瞬时接通一次，就相当于产生一个单位脉冲。 理想采样信号的特性分析采样信号损失了连续信号采样时刻之间的变化信息；损失信息的多少与采样周期T和连续信号的变化速度快慢有关。采样信号能否完全反映

29、连续信号的变化规律，或者说能否包含中的全部信息?采样信号的信息损失和采样周期T有何关系?为此，下面就这两个问题对采样信号在频域中予以定量分析。对采样信号进行频域分析就是研究它的频谱特性。由式（2.1）可知，是一个周期为T的周期函数，所以它可以展开成指数型富氏（Fourier）级数，即 （2.3）式中：为采样角频率（简称采样频率）；为富氏系数。因为在时间内，仅在t=0处值等于1，其余均为零，并且=1所以， （2.4）因而得： （2.5）将（2.5）式代入（2.2）式，则有 （2.6）对上式的作拉氏变换，得 （2.7）令代入式（2.7），便得到采样信号的富氏变换 （2.8）上式就是采样信号的频率特

30、性表达式，又称的频谱函数，而频谱函数的模称为的振幅频谱，简称为频谱。因此，的频谱写成下式 图2.6 理想采样器输入输出信号频谱和（a）连续信号频谱 （b）、（c） 满足采样定理的离散信号频谱（d）不满足采样定理的离散信号频谱= （2.9）它给出了采样信号与连续信号在频域中的相互关系，从而找出信号和信号之间的内在信息关系。式（2.9）说明：采样信号的频谱是以采样频率为周期的频率的周期函数；在频率轴上是以采样频率为间隔的，与连续信号频谱（图2.6(a)所示）形状相似的无穷个分频谱，n=0,1, 2,之和组成的，如图2.6中（b）,（c）,（d）所示。式（2.9）中，的项正比于连续信号的频谱称为主频

31、谱，为比例因子，也称为采样增益，其余n0的各项称为旁频谱，它们的形状均与相似，仅相差一个比例因子，在频率轴上同相隔。由图2.6可以看出，如果连续信号的频谱是有限带宽的，即存在上限频率，当时，如图2.6（a）所示；采样频率（或），那么相应的采样信号的频谱如图2.6（b）、（c）所示，相邻分频谱互不重叠，采样信号的频谱在频段内就包含了连续信号频谱的全部频率成分。 可以设想，如果用一个理想低通滤波器(其频率特性为门形，在频段内，其幅值为常数1，如图2.6（b）、（c）所示)滤掉频段以外的所有的旁频谱的频率成分，那么，就可以得到连续信号的完整频谱，如图2.6（b）、（c）中矩形方框所示。这就意味着，在

32、上述条件下，采样信号通过理想低通滤波器就能够完全精确地恢复原有连续信号。由此可以判断，当上述条件满足时，采样信号就包含了连续信号的全部信息，或者说信号能够反映信号的全部变化规律。由图2.6可以看出,如果上述条件不满足，即采样频率），那么相应的采样信号频谱如图2.6(d)所示，相邻分频谱之间就出现部分重叠（称为“混叠”现象），在这种情况下，采样信号频谱中就不会包含连续信号频谱的全部频率成分，而仅包含 在频段内的频谱成分。而在和频段内，由于主频谱和旁频谱重叠，使得在这两个频段内的频率成分畸变。因而在此情况下，无论如何都无法从中获得连续信号的完整频谱。这就意味着无法由信号精确恢复原有连续信号。所以在

33、这种情况下，采样信号就不会包含连续信号变化的全部信息，只能近似地大体上反映的变化状况。由经过低通滤波所恢复的连续信号的波形与原有连续信号相比将会有明显失真。当采样频率取得越小于2，的频谱中的主频谱与旁频谱之间的重叠范围就越宽，相应采样信号的信息就越多，由恢复的连续信号的失真就越严重。通常称这种现象为“混叠效应”。 工程上为了避免出现“混叠效应”，通常取采样频率远大于2，使得的频谱中的主频谱与旁频谱在频率轴上拉开较大的距离，如图2.6（b）所示，拉开的距离越大，产生“混叠效应”的可能性就越小。如果被采样的连续信号中含有高频干扰信号，为了防止“混叠效应”出现，造成有用的低频信号失真，工程上常采用前

34、置高频滤波器先对连续信号进行滤波，滤除或衰减中的高频干扰成分，然后进行采样。2.1.3 采样定理1、香农（Shannon）采样定理如果对一个具有有限频谱的连续信号进行连续采样，当采样频率满足下式关系，即 （2.10）则采样信号能无失真地复现原来的连续信号。上式中，连续信号的最高频率；采样频率。2、采样周期T的选择采样周期T的大小对系统的影响。结合工程经验来进行折中选取采样周期T。常用方法有如下几种: 直接按照工程经验选取表2.1工业过程对象采样周期的选取参考表监控物理量采样周期（sec）备注流量15优先选用2s压力110优先选用6s液面510温度1020成分1030 按照开环系统频率特性截止频

35、率选取 图2.7 控制系统的频率特性（a）预期开环频率特性；（b）预期闭环频率特性对于电机控制系统，尤其是快速随动系统，采样周期T的选取较为严格，应该认真仔细考虑，常根据控制系统的动态品质指标来选取。假如控制系统预期开环频率特性如图2.7（a）所示，则闭环系统预期频率特性如图2.7（b）所示。在一般情况下，闭环系统的线性连续部分的频率特性都具有低频滤波器的性质。当控制系统的输入信号频率高于谐振频率时，将会很快地衰减。反馈理论指出，很接近它的开环频率特性的截止频率，超过的分量都被系统连续部分的低通滤波特性大大地衰减掉了。根据经验，模拟校正环节的功能用数字计算机来实现时，选择的采样频率为 （2.1

36、1）按上式可以得出系统的采样周期 （2.12） 按开环传递函数选取 （2.13）其对应的脉冲响应函数中的基本分量为，（）（）,其中，为时间常数，为阻尼振荡角频率，为阻尼振荡周期。由此可以近似了解系统动态过程中信号的最快变化速度或最高的频率分量，因而可以作为采样周期选取的依据。采样周期的最大值为 一般选取采样周期为 （2.14） 按照开环系统阶跃响应上升时间选取图2.8 系统典型阶跃响应（a）过阻尼系统；（b）欠阻尼系统设开环系统稳定，其单位阶跃响应为图2.8所示。两种典型情况:(a)为过阻尼系统;(b)为欠阻尼系统。对于过阻尼系统，取单位阶跃响应到达其稳态值的63.2 %的时间(相当于一阶系统

37、的时间常数) ，如图2.8（a）所示。对于欠阻尼系统，取单位阶跃响应第一次到达其稳态值的时间，如图2.8（b）所示。我们知道，阶跃响应的初始阶段反映了响应中的高频分量，所以按照选取采样周期T，就相当于按照响应中的高频分量的周期选取T，一般 （2.15）2.2采样信号的恢复与保持器数字计算机作为控制系统的信息处理装置，将信息处理的结果输出一般有两种方式，一种是直接数字输出，就是直接以数字形式输出。另一种情况是需要把数字信号转换成模拟信号输出。保持器的作用表现在两方面：一是由于采样信号仅在采样开关闭合时刻有输出，而在其余时刻输出为零，所以，在两次采样开关闭合的中间时刻，存在一个采样信号如何进行保持

38、的问题，从数学上来讲，就是解决两个采样点之间的插值问题；二是保持器还要完成一部分滤波器的作用。2.2.1理想滤波器如图2.9所示，理想低通滤波器的频率特性满足以下方程： 图2.9 理想滤波器的幅频特性 （2.16）满足式（2.16）关系的理想特性滤波器，在物理上无法实现。因此，必须找出在特性上与理想滤波器相近的实际滤波器，保持器就是这样一类实际滤波器。从保持器的特性来看，它是一种在时域内的外推装置，具有常值、线性、二次函数（抛物线）型外推规律的保持器。能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过去时刻的采样值实行外推，而不能按将来采样值来进行外推。例如，在相邻两个采样时刻和之间的信号，必须用在以前

39、的，等采样时刻的数值来估计。数学上两点之间的函数可以用下述幕级数展开式表示： （2.17）式中 （2.18） （2.19） （2.20）式（2.19）、式（2.20）的计算可用，来估计。一、二阶导数的一种简单估计式为 （2.21） （2.22）如此等等。从这些导数近似表达式中可见，导数阶次越高，所需的延迟脉冲的数目越多。延迟数目越多，估计精度就越高，但时间延迟对反馈系统的稳定性有严重影响。为此，目前常利用（2.17）式的第一项来重构信号，由于它是多项式中零阶项，所以通常称为零阶外推插值。又因为在区间内保持不变，故又称为零阶保持器（Zero Order Holder）,常用ZOH来表示。若利用（

40、2.17）式前两项来估计,这种装置通常称为一阶外推插值（或一阶保持），它在数字仿真时常会用到。2.2.2 零阶保持器零阶保持器时域方程为 （2.23）图2.11 零阶保持器的输入输出信号由上式可以看出，零阶保持器是按常数外推的，而且只依赖现时刻的序列值外推，当下一时刻到来时，就换成下一时刻的序列值继续外推。离散信号序列的每个值，k=0,1,2,经零阶保持器外推后都将持续保持一个采样周期T。对应的零阶保持器输出是一个方波，其幅值等于对应的序列值，宽度为一个采样周期T。离散信号通过零阶保持器外推后就恢复成阶梯形连续信号，如图2.11所示。图2.12 零阶保持器脉冲过渡函数保持器的另一个作用就是有一

41、定的滤波作用。现在来研究零阶保持器的频率特性，评价它的滤波特性 。首先求出零阶保持器的传递函数，若零阶保持器的输入为单位脉冲函数，其输出必在一个采样周期T内保持为常数1的方波信号，其脉冲过渡函数如图2.12所示。 （2.24）式中为单位阶跃函数。对式（2.24）求拉普拉斯氏变换，即 （2.25）其频率特性为 （2.26） 因为，所以（2.26）式又可改写为 （2.27）对应的幅频特性为 （2.28）图2.13 零阶保持器频率特性曲线 （a）幅频特性 （b）相频特性零阶保持器的幅频和相频特性曲线如图2.13所示。图2.13(a)为幅频特性，可以看出，在频率等于采样频率整数倍处，等于零，随着频率的

42、增大幅值减小。在等于3/2，5/2，出现不希望有的峰值。在=/2处，幅频特性最陡峭，的幅值等于0.637T，基本上表现为一阶低频滤波器特性。当然，零阶保持器的幅频特性不是常数，因此，系统中引入零阶保持器，必然会引起系统的频谱失真。 零阶保持器相频特性如下： （2.29）其中，或。 由式（2.29）可以看出，零阶保持器的相频特性由两部分组成，和或 。当频率由0，2，23，变化时，幅频特性中的值正、负交替变化，则相频特性有180的突变，相频特性曲线如图2.13(b)所示。因此，零阶保持器的相频特性在处不连续。零阶保持器的特性如下：零阶保持器确有低通滤波特性。在的低频段范围与理想低通滤波器特性相近，

43、在的高频段，虽然呈现较大衰减特性，但与理想低通滤波特性差别很大，显然不能完全滤除中全部高频分量。由式（2.29）可以看出，零阶保持器的相频特性存在较大的负相移，负相移与采样频率成反比（与采样周期T成正比），最大可达180。因此在计算机控制系统中引入零阶保持器将使整个控制系统增加负相移，使系统闭环稳定性下降，所以进行系统分析、设计时，必须予以考虑。在条件许可下，适当提高采样频率可以减小零阶保持器产生的负相移。2.2.3 一阶保持器一阶保持器的外推公式由（2.17）式的前两项组成，即 （2.30）式中 一阶保持器是基于现时刻和前一时刻的两个序列值，按照线性函数外推的。外推的线性函数斜率（即随时间变

44、化速度）等于前一时刻到现在时刻之间的序列值平均变化速度即。对于离散信号依次出现的序列值，一阶保持器输出的连续信号都是从现时刻出现的序列值出发，并按照前一时刻到现时刻之间的序列值平均变化速度，随着时间线性变化，直到下一时刻来到时，再改从下一时刻出现的序列值出发，并按照现在时刻到下一时刻之间的序列值平均变化速度，随时间线性变化，如此不断外推下去。这样，离散信号通过一阶保持器外推后恢复成锯齿状分段连续信号，如图2.14所示。图2.14 一阶保持器输入输出信号 由图2.14可以看出，一阶保持器输出的外推部分与两个采样值有关，其中一个是现在时刻的采样值，另一个是前一时刻的采样值。如果在外推规律中考虑更高

45、阶的差分，就势必牵连前面多个采样周期的采样值，所以，差分的阶数越高，涉及的采样值就越多，因而高阶保持器能在经过多个采样周期之后更逼真地复现原连续信号，但反应慢，相位滞后严重，这对信号系统的稳定性是非常不利的，故在闭环离散控制系统中一般不采用高阶保持器。 图2.15一阶保持器的单位脉冲响应现在我们来分析一阶保持器的频率特性，首先求一阶保持器的传递函数。参看图2.15(a),设一阶保持器的输入为单位脉冲函数，即则，由式（2.30）可知在间隔内，一阶保持器的外推公式为 （2.31）因为，因此单位脉冲响应为 （2.32）在间隔内，一阶保持器的外推公式为 （2.33）在此间隔的脉冲响应为 （2.34）因

46、为都等于零，所以其它间隔内的响应为零。参看图2.15（b）。图2.15(b)中的实线表示出一阶保持器的脉冲响应函数。单位脉冲响应函数可以分解为图2.15(c)所示的函数，与之和，即 （2.35）, （2.36）为单位阶跃函数。 （2.37) （2.38）上面三式的拉普拉斯氏变换分别为 = =由此可得，一阶保持器的传递函数为 （2.39） 一阶保持器的频率特性为 （2.40）因为 所以 （2.41）其幅频特性为 （2.42）相频特性为 （2.43）一阶保持器的幅频和相频特性曲线如图2.16所示。由图表明： 一阶保持器同样具有低通滤波特性。对于低频分量不仅没有衰减，反而有所增强； 而对高频分量有较

47、大衰减，但衰减量均比零阶保持器的衰减量小。所以一阶保持器恢复的连续信号中含有较强的高频率分量； 一阶保持器相频特性只在很低频率范围内，相移小于零阶保持器产生的相移，而对于高频分量，其相移比零阶保持器产生的相移都大。 图2.16 一阶保持器的频率特性与零阶保持器相比，一阶保持器的频率特性在和段内有峰值，高频分量较零阶保持器更容易通过，因此输出纹波较大。另外在较高的频率部分相位滞后较严重，这对反馈系统是不利的，因为开环传递函数的高频特性通常影响着系统的稳定性。由于以上原因加之一阶保持器结构复杂，所以虽然一阶保持器对输入信号有较好的复现能力，但实际上较少采用。第3章 z 变换要研究一个实际的物理系统

48、，首先要解决它的数学模型和分析工具问题。计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。表3.1列出了线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照表。表3.1 分析方法对照表线性连续控制系统线性离散控制系统微分方程差分方程拉氏变换Z变换传递函数脉冲传递函数状态方程离散状态方程 由以上说明可知，Z变换是分析离散系统的重要数学工具，而且具有许多类似于拉普拉斯变换性质的数学变换。与拉普拉斯变换的主要区别是，它并不对连续函数进行运算，而是对离散函数进行运算。因而本章内容是介绍Z变换的定义、性质以及Z反变换等。为下列章节学习奠定基础。3.1 Z变换定义3.1.1 Z变换定义及表达式连续信号的拉普拉斯变

49、换是复变量的代数函数。对计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换。连续信号通过采样周期为T的理想采样后的采样信号是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，由（2.2）式可知 （3.1）因为的拉氏变换为 （3.2）所以式（3.1）的拉普拉斯变换式为 （3.3）从（3.3）式明显看出，是s的超越函数，因此，用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化，为此，引入另一复变量“z”,令 （3.4）代入（3.3）式，得 （3.5）（3.5）式是的单边Z变换。若（3.5）式中流动变量k从，则称为双边Z变换。由于控制系统中研究的信号都是从研究时刻开始算起，所以使用的都是

50、单边Z变换,这里简称为Z变换。表示的Z变换式符号有多种，如、 等等，但它们都表示同一个概念，都是指对脉冲序列函数的Z变换。（3.1）式、（3.3）式和（3.5）式在形式上完全相同，都是多项式之和，对应的加权系数相等，在时域中的、S域中的以及Z域中的均表示信号延迟一拍。在实际应用中，所遇到的采样信号的Z变换幂级数在收敛域内都对应有一个闭合形式，其表达式是一个“”的有理式 （3.6）若用同除分子和分母，可得“”的有理分式,即 （3.7）在讨论系统动态特性时,Z变换式写成因子形式更为有用，式（3.7）可以改写成 （3.8）其中；分别是的零点和极点。3.1.2 简单函数的Z变换 下面，我们将讨论几个简

51、单函数的Z变换。值得注意的是，我们假设函数在时不连续,而时函数是连续的。在此情况下，我们设定，而不是间断点的平均值。1. 单位脉冲函数 表达式 求的Z变换。 因为 根据Z变换定义 （3.9） 2.单位阶跃函数 表达式 求的Z变换。 根据上面的假设，。再由Z变换的定义可知 （3.10）注意到如果，则级数收敛。在求Z变换时，变量Z是个假设算子，不必去确定使收敛时Z的范围，只要知道有这个范围存在就足够了。用这种方法求时间函数的Z变换，除了的极点外，在整个Z平面都是成立的。 注意： （3.11）常叫做单位阶跃序列。 3.单位斜坡函数 表达式 则 因而它的Z变换可以求出 （3.12）4.指数序列表达式

52、式中为常数。根据Z变换定义，则有 （3.13） 5. 指数函数 表达式 因为 则 （3.14） 6. 正弦函数 表达式 注意指数函数的Z变换，而可以表示成下式 因而 (3.15）例3.1 求余弦函数的Z变换表达式 解：我们可以按照求正弦函数Z变换的方法来求余弦函数的Z变换。 例3.2 求阻尼正弦函数的Z变换表达式 解 例3.3 求 的Z变换 解 当被求函数变量是以给出时，求它的Z变换的一种方法是：先把利用拉普拉斯反变换求出，然后将离散化求出，再求其Z变换。另一种方法是将表示成部分分式，再利用Z变换表求其Z变换。其它的方法以后介绍。 现在我们利用第一种方法，先求的拉氏反变换 因此 表3.2 Z变

53、换表序号或1 123456789101112131415 16171819202122232425注：当时； 当时 图3.1 两个不同的时间函数和值得注意的是,如果函数的Z变换为，则的反变换就不一定必须等于。参看图3.1，单位阶跃函数与另一函数的Z变换有相同的表达式，显然。由此可见，Z变换式只与它的Z反变换之间有一一对应的关系,而与时间连续函数之间无一一对应关系。 Z变换的重要性质和定理 和拉普拉斯变换一样，Z变换由其定义出发也可以导出一系列关于Z变换的性质和定理，这些性质和定理对扩大Z变换应用都有重要作用。下面将介绍一些Z变换基本性质和定理。在这里，我们设定的Z变换存在，且对于时=0。乘以常

54、数如果的Z变换为，则 （3.16）式中是一个常数。 证明 由Z变换定义线性性质 由Z变换的定义可知，Z变换是线性变换，即，、为任意常数如果则它的Z变换为 （3.17） 证明 根据Z变换定义 实位移定理若 时，且，则 （3.18） （3.19）式中为零或正整数。 证明 先证明（3.18）式。 （3.20）令,代入式（3.20），则有 因为时，因而我们可以将求和的下限由=-改为=0。则因此，Z变换式乘以，相当于时间函数延迟。 现在来证明式（3.19）。 该性质表明，超前拍（一个采样周期T称为一拍）信号的Z变换不是简单地将的Z变换乘以拍超前因子，还必须减去，这是因为的第一个采样值为，即时的采样值，而

55、的采样值为。只有当的前拍采样值均为零时，才和延迟拍信号的Z变换有相似的表达式，即。 例3.4 求图3.2所示函数的Z变换。解 图3.2所示函数为由式（3.18）可知 图3.2 延迟4个采样周期的单位阶跃函数例3.5 求的Z变换。解 例3.6 设式中，时。求的Z变换。解 首先注意到 因此， 上式两边取Z变换得 则 4.复位移定理 如果的Z变换为，则的Z变换为 （3.21）证明 因此，只要用代替中的就可以得出的Z变换。例3.7 求的Z变换。 解 设 则，所以根据复位移定理 5初值定理 如果的Z变换为，且存在，则或的初值可由下式求出： （3.22） 证明 根据Z变换定义当时，除第一项外，其余各项都变

56、为零，所以（3.22）式成立。 例3.8 如果的Z变换为，求的初值。 解 利用初值定理 参考例3.3，注意到相应于的Z变换，因而，这和初值定理得到的结果相同。 6.终值定理 如果的Z变换为，而在Z平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点，则 （3.23）证明 根据Z变换定义 因此 当时，上式两边取极限，则有因为时，所以，上式为 初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式获得相应的采样时间序列的初值和终值。这两个定理在作系统分析时经常用到。 例3.9 已知，用终值定理求的值。 解 我们注意到，本题中的是的Z变换。将代入中，则有 计算结果与用终值定理求出的是一样的。 7.复域微分定理 如果的Z变换为

57、，在Z平面上收敛于一定区域。则 （3.24） 证明 由Z变换定义， 上式两边对Z微分，得 再对上式两边同乘以，变得 该定理表明，在时间域信号与相乘，对应于Z域中的Z变换对Z的微分运算。 同样，上面方程两边再对Z求微分，则有 上面方程两边同乘以 则有 即 这里算子表示运用两次。同理可有 （3.25） 例3.10 用微分定理求单位斜坡函数 的Z变换。 解 因为 所以， 8复域积分定理 若,且极限存在，则 （3.26） 证明 令，则根据Z变换定义，有 上式两边对Z微分，得上式两边作积分，有 即 由初值定理可知 因此该定理表明，在时域中，与相除，对应在Z域中Z变换的积分运算。 例3.11 已知，用复域

58、积分定理求的Z变换。 解 设 则 因为 所以 本题只是说明利用复积分定理可以求出的Z变换。 9.时域离散卷积定理 两个时间序列（或采样信号）和，相应的Z变换分别为和，当时，=0，的卷积记为*，其定义为 （3.27）或 （3.28）则 （3.29） 证明 令 则 因而因为 当时，所以 本节中，我们讨论了Z变换的重要性质及定理。为了方便起见，把这些性质及定理总结列表3.3。表3.3 Z变换的重要性质及定理序号或或123或4567891011121314151617181920213.3 Z反变换 与Z变换相反，Z反变换是将Z域函数变换为时间序列或采样信号。如前所述，Z变换仅仅是描述采样时刻的特性，

59、所以Z反变换直接求得的只是时间序列信号。当事先已知对应的采样周期T时，就可以按照已知的采样周期T确定所求得的时间序列，即。 的Z反变换记为 （3.30）式中表示Z反变换符号。求Z反变换的方法很多，常用的基本方法有下列三种：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分法。 在使用这些方法时，和通常的情况一样，我们设定当时，或等于零。3.3.1幂级数展开法由Z变换的定义式（3.5）可知观察上式，只要用某种方法将要作Z反变换的展成幂级数形式，即可获得对应的时间序列。 若是以或的有理分式形式，即 （3.31）时，可以直接将分子除以分母把展开成的幂级数。 下面举例说明怎样使用这种方法。 例3.12 已知 求解

60、 首先将写成多项式之比 ，分母去除分子： 把这个式子同Z变换定义式比较，我们可以得到 由上面的例子可以看到，在求反变换时，并不知道采样周期T的数值，因而反变换求出的是序列，而不是或序列。若给定对应的采样周期T，则对应的采样信号为 编程计算：由式（3.31）所表示的有理分式，可以展开成幂级数时，可以用下面导出的迭代算式直接计算幂级数各项系数。令 （3.32）其中幂级数各项系数是待定的。于是上式中，按照等式两边的同次项系数相等，可得 （3.33）由上面方程组可导出待定系数的迭代式 (3.34)按照（3.34）编制计算机程序，由计算机计算，则十分简便。3.3.2 部分分式法 查表法：Z变换的线性性质