2004-11西安交通大学高等代数

1、西安交通大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目:爲署彳敎站恢澈目编号：卅I 考试时间：/月71 Hf午（注：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上和其它草福纸上一律无效）I.打了农匕简下芒孙人2 l 4 I A入1=?2.芯A （g分）1.2 A、B、C分对诊k匕如、“s厮纭阵点工分恋昭诂帀伉:o o Ao e ocooAC-3C = B C =?5ix+i） 3人 A*5二？2 彼An（； ） ”何二込但+ 迄朮于.二U跖技宀 八电P 记H二S严* Q”為,【3严风，小如農未由勺/作丸心孑自可丿. 求旷辺尿3够教.彳B讥知锻A*”R树紐儿记：S彳打必巩 施 l畑L SM）

2、力严说孑轨可； 2井羽A沖旬阵（；J时，汰S说基锻.玄（也夕丿我心为i习鸟减P上凶向代掳问,TV 偏如兹濾 并石莊viv紂规r7,禽尼：于t二耳,（孔粘y亍丫3寸谿支孩力 “珂：T I殆&翰门足联诒国希射b 2忒同下芟召力可曲坤1冷荷幺？说人对）&珂祐阵A沏#U I，田右在农瑞心人A .上4玲弟緘玄减f立鼻-Z齐貝兀屮幻占沖3皮5屈玄写叙隅 右在*諒靭献畑川如吏锋UM屮幻十5幻护0 =八22分丿拔G为黛孩说砂旳昭鸽逐力阵鏘利/诫跆1-贰向G殆亍蕊阵3乘贩差dRM群？肌如-2般义中S加。 :翊龙A、8&G/疽A国沪兀；文乞R甩& 询衣百赫T。*创疣匕躲&确川*：.试问G帀站九葩卿庇城翹務濒Mk詞

3、？沖9扛祕列找A応如也皿用渊釣秋如）裁加虽吋M王 寸蔼乞徉A上0 s姒天华u）朮也#（加丿w气（妙.（斷:幻命右妙厲 叹圾丿创离勿艮人詁翻该壇犬证旳:拓劝2屜仇思鈿尢凶勿？ A必药喘肉疋-（遡豕：A呦將紅（5徇芟m2前報-）4皿用人8皿祇曲叫丿咧宜除A-B1H曲问, cW（A） _（W？ 0艾中：緘、dJ绒Jt話A、3韵务了列笫页（共I页）西安交通大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题:441考试时间：I月巧日R午（注：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上和其它草稿纸上一律无效）.（12分）求由下述行列式所表示的一元多项式/（工）的最高次帶项:/(x) =a2an务 a小Xa】

4、%4X VX5VXXX其中：为数域P中的数.二（12分）设/为可逆阵,馮v为H维列向量，证明：当满足条件l +弦0时,矩阵A + uvt必可逆.（其中:/表示卩的转置，下同）（12分）证明；对任意2eP（P表示数域，下同），下述两个五阶方阵必相似.V 1z11 22与B =1 AA 1271 乙上述中没有写出的元素均为0.U!（18分）求入“为何值时，下述线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解?在有无穷多解时，求其通解.+ x2 + x3 +x4 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 = 1 -x2 + (兄一 3)x3 _ 2x4 = p3x, +2x2 +xs + av4 = -1（18分）

5、设MePe,定义由P到自身的映射T为：对任意XePnr有T（X）=X4（1）简要证明丁是线性变换;（2）试问T是否可逆？为什么？（a Q3）已知/= , n = 2,求 T 在基n,I2,E21,E22下的矩阵.r S）其中：E叮i = 1,2 ,丿= 1,2为亿力元是1,其余元是0的二阶方阵.六、（15分）设Px4为数域P上次数小于4的一元多项式全体.（1）证明：向量组F, 3x3 +x2, -5x3 + 2x2 +x , 7x3 - 3x2 + 2x +1构成 PjxL 的基底.（2）求多项式/（x） = 4 + 3x + 2x2 +x在上述基底下的坐标.七、（15分）设AgP mxn，证

6、明:/的秩rank（A） - r的充要条件是存在m xr列满秩阵F及yx乃行满秩阵G,使得A = FG八、（12分）设加=（勺）呦为实对称阵,证明:若/为正定阵，则有妣（/）冬402如（其中：det（/）表示/的行列式）九、（12分）设护为n维欧氏空间/的一个子空间，记0 丄=x|xPF,xg/证明：（1）护丄构成卩的子空间，且炉丄丄0;（2）y = WW.十、（12分）设/ =（勺）X”,满足：（1）勺二 0=1,2,1,2,工勺=1, （ = 12尸I证明：（1）兄=1必是/的特征值;（2）/1的实特征值的绝对值均不超过1.、（12分）设S为有理数域Q上二阶方阵全体集M2（Q）的一个子集，

7、有试问S对于矩阵的乘法是否构成Abel群？为什么?西安交通大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题考汛科目：高導代数与线性代数科目编号：441考试时间：/月疗日 2）中，对于给定的kJ lkln）计算当丿严】且几二介时，与齐和构成的逆序并有多少个.2）计算行列式_10 00X-1* 000X o0%00 X:1-1100 oX |二、20 分）.1）设B为H阶方阵，且满足才F = E , （ + ？二加十B证明:AB = 0（、2）若宀,证明：4 =2心虫三、（20分）设T为P，（P为数域，下冏）的线性变换，满足Gr + y_2、T(y）经x + yz严y-2形1）求T的零度与秩；2）求T

8、.的零空间（核）与象空闾（值域）.匹、（15分）人与匕分别是下述两个齐次线性方程组：X, t-2x;nxlt =0 与 刊二七=.=乙的解空间，证明:五、（15分）设mxn阶矩阵4与3的行向董组均为同一个齐次线性方程组 的基础解系，证明：存在/阶可逆的方阵P使A = PB六、（15分）设0,a是欧氏空间卩的一个标准正交向量组，如果对任 意“ w卩都有证明：,勺,卫是7的一个标准正交基.七、（15分）设？是数域P上的71维线性空间，T是y到自身的线性变换，k 是某个正整数，证明：Wu （T-AI/w = 0er zeP是丁的不变子空间，其中：I是/上的恒卷变换.八、（】0分）设人B是两个HE谑矩

9、阵，并且0是正定的，则1）必存在満秩变换丸偿两个Hermite Z.次型肌 衣 和同讨变 为标准形.2）A的特征值为多项式/（4） = det（肋-A）的根.九、（10分）证須：、两秩菲阵虫的逆戶阵矿1可以写成川的多项式.即有多项 式（刃存在，使得十、（10分）设, V K是线性空间卩的三个韭平凡于空间，证明：在卩中存在向jta,使a色*, a “2, a 同时成立.西安交通大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：也呼洱紳礦斗目编号：4区一、(20分)计算题(1)求=?Dn =(2)己知求几的值,使得向量0可由向盍组aaa3线性表出*并写出表示式.二-(20分)设R为实数域，欧

10、氏空间R的两个子空间分别为:%=9,0,6説“+厂6=0, vz = 90 询 w+ 5 = 0=2a(1)求n右和芥+冬的一个基；VV4将(1)所求K n乙的这个基扩充为r4的一个标准正交基.三、(20分)己知和阶方阵虫=(勺烏当沁2时.det(吋(Q) = (det) ,设矩阵A的伴随矩阵为，1 000、讷=0 1001 010卫 -308并且ABA1 =BA+3Ef求矩阵.四、(15 分)设 /(x) = 3x3 -2x2 + 6x + 2,g(x) = x2 -x 4- 2w(x), v(x) /(x)u(x) + g(x)v(x)=(/(x),g(x)五、15分）证明：在线性空间定义

11、中，其中3）、4）两条，即O）在？中存在零元素即对所有的处都有 or+0 =0 + a 二 a对所有的aw?,都存在负元素使a + 0 = 0 + a =0 可换成等价条件：对7中任意两个元素-定存在乂北使* a + x = 0 T是V -W的线性变换, 若存在炉的删“满足丁2“1八。表示JZ到？的恆等变换）：4*证明：T是1-1的（即单射九丁2是映上的（即满射）；（2）试问是否可逆映射？为什么？七、（15分）设4 = 訂卄列满秩，证明血（屮&.）工0兄为线性变换L人（10分）设7为有限维线性空间，L为？到自身的一个线性变乗 一华征值，证明：l属于;L的不同畅的广文特征向舷线性关九5分）设询正

12、定矩阵，证明：珀detadetf）十、.（10分）设“WC，视4为C *的线性变换；证明：N（A）丄 RQH）且 C = N（A） R（护）其中：C为复敦域，）为仙零空间（即核），帥为伸象空间（即値域）.西安交通大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题、 考试科目:聽恭和铢女逸I科巨编号：3比考试时间：I月z。吕孑午（注：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上和其它草稿纸上一律无效）一、（20 分）、 （ .（1）在四阶行列式中找岀一切含有如,.a”的二阶子式的代数余子式;（2）设Q是一个并阶行列式，其元素满足是共純复数，证明：D是买数；二、（20 分）（1）设片阶方阵.4满足屮为/

13、7纶举位阵，以下同），证明：A与A2I均可逆，并求f和（4十2/）0（2）设虫、B为某数域F上的两个丹阶方阵，证明det(H=血t（F十泻疋航：出）三、（20分）在几何空间卅中（1）求基底 u - （1,0,0）, u2 = （1,1,0） u3 =通过过度矩阵d -I 0、A = 01-1? 0 1Z所得到的新的基底；(2)设映射 0： R)p R，对任意 a = (atbfc) e Ry, cpS = -b ,.b c ,d),证明卩是疋到疋的同构映射.四、15分）求齐次线性方程组 2x, +工2 _兀3 一“ =0 丹+勺_勺.=0的解空间（作为疋的子空间）的一组标准正交基，并将其扩充为

14、疋的一个标准产交茎亠J 五、（15分）设S是酉空间/的一个非空子集合，记= x|x 5, re/证明：是子空间，且Su（S）丄，并举例说明S = （S丄）丄不一定成立.六、（15分）没川维线性空间卩上的线性变换T的矩阵A = Q）“”满足屮*,证明：（1）T在其象空间上够导肖变换为恒等变换：（2）&与矩阵 工0、相似，其中厂为某一正整数.七、（15分）证明：.（1）方阵/的特征值全为零的充分必要条件是育自然数上，使Ak =0； TOC o 1-5 h z （2）若A =0,.则detC4 + Q = l-八、10分）设方阶方阵的元素均为整数有逕数o=为既约分数（即 ppH，且p与g互质），证明

15、线性方程组AX = bX只有零解.九、（10分）证明：兀阶矩阵虫与一对角矩阵相似的充分必要条件是&的任一特征值心三以.4）,都有.rankXtI -A） = rank （A J - A）2）十、（10分）设/ =gXrBX是两个正定二次型，其中Z =（旬）B = ）呦,令矩阵Q = ）”“的QJ）元中=aby （f,八1,2,n）,作二次型hXTCXf证明：方也是正定二次型.西安交通大学2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：818科目名称：高等代数20 分)计算行列式：a + Pa0K00a + PaK00Dn =0a+BK00000K a+Ba000KBa+B二(20分)已知a

16、】=(0,1,0)r ,a2= (-3,2,2)，是线性方程组X x? + 2 X3 = 1 3X + X? + 4 X3 = 1 aX + bx? + ex? = d 的两个解，求此方程组的全部解三(20)当t取什么值时，下面二次型是正定的：f (x1 , x2 , x3) = x12 + 4x22 + x32 + 2tx1 x2 + 1 0 x1 x3 + 6x2 x3四(15分)设3阶实对称矩阵A有特征值&=-1,入=入=1，A的属于特征值-1的特征向量刍=(0,1,1)丁，矩阵B = A3 -2A + E，其中E为3阶单位阵(下同)， 问：筍是否为B的特征向量？求B的所有特征值和特征向

17、量；求矩阵B .a 0 ex 00五(15分)设，W =a 0 0,a, b, e g R, W2=0 J 0,x, J, Z g Re b 00 z z求 W1+ W2；记W = W + W2，试求空间W3使得M3(R) = WW3 (其中M3(R)为实数域 上3阶矩阵全体)，并说明理由.六(15分)设向量组a1,a2,K,ar线性无关，而a1,a2,K,ar,0,y线性相关.证明： 要么0与y中至少有一个可被a，a2,.,a”线性表出，要么a，a2,.,a”,0与 a，a2,.,a” ,y 等价.七(15分)设A为n x (n +1)阶常数矩阵，X为(n +1) x n阶未知数矩阵.试证明

18、矩 阵方程AX = E有解的充要条件为r(A) = n .八(10)若a，a2是数域F上的二维线性空间V2(F)的基，b和丁是V2(F)上的线 性变换，且满足cra1 = 0,oa2 = 02T(a +a2) = 0 + 02,r(a1 -a2) = 01 - 02试证：b = T .九(10)设A和B是两个n阶实正交矩阵，并且det(A) = -det(B).证明r(A+ B) 1，其中DetA表示A的行列式。&己知n阶方阵A与n阶方阵无公共的特征根，求Ax=xB只有零解。(B A)9.己知B为n阶正定矩阵，A为n阶矩阵且秩A=r,证明分块矩阵| TI的秩为n+r。I AT 0 丿西安交通大学2011年硕士生入学考试高等代数试题 HYPERLINK mailto: 一.1.计算行列式 TOC o 1-5 h z x3 + 1x31x3 + 1 x311-.x3 + 1x31x3 + 1/ 0 1 0 0 0 0 1 02.求阶方阵的幕Pm，其中P=.0 0 0 . 1 1 0 00丿二设4为实数域上的阶方阵，记S(A) = x|Ax = xA,x G Rn,证明：S(A)为Rnxn的子空间.若A是一主对角线上元素为1, 2