（高考物理）高考物理总复习C

1、31 固体的有关性质32 固体的热膨胀33液体性质34液体的外表张力35典型例题分析3。1 根本磁现象3。4 磁场对运动电荷的作用3。3 磁场对载流导体的作用3. 1、初期量子理论3、2 量子力学初步第三讲 固体和液体31 固体的有关性质固体可以分为晶体和非晶体两大类。岩盐、水晶、明矾、云母、冰、金属等都是晶体；玻璃、沥清、橡胶、塑料等都是非晶体。(1)晶体和非晶体晶体又要分为单晶体和多晶体两种。单晶体具有天然规那么的几何外形，如雪花的形状总是六角形的。并且，单晶体在各个不同的方向上具有不同的物理性质，即各向导性。如力学性质(硬度、弹性模量等)、热性性质(热胀系数、导热系数等)、电学性质(介电

2、常数、电阻率等)、光学性质(吸收系数、折射率等)。如云母结晶薄片，在外力作用下很容易沿平行于薄片的平面裂开，但在薄片上裂开那么要困难得多；在云母片上涂一层薄薄的石蜡，然后用烧热的钢针去接触云母片的反面，那么石蜡将以接触点为中心、逐渐向四周熔化，熔化了的石蜡成椭圆形，如果用玻璃片做同样的实验，熔化了的石蜡成圆形，这说明非晶体玻璃在各方向的导热系数相同，而晶体云母沿各方向的导热系数不同。因多晶体是由大量粒(小晶体)无规那么地排列组合而成，所以，多晶体不但没有规那么的外形，而且各方向的物理性质也各向同性。常见的各种金属材料就是多晶体。但不管是单晶体还是多晶体，都具有确定的熔点，例如不同的金属存在着不

3、同的熔点。非晶体没有天然规那么的几何外形，各个方向的物理性质也相同，即各向同性。非晶体在加热时，先逐渐变软，接着由稠变稀，最后成为液体，因此，非晶体没有一定的熔点。晶体在加热时，温度升高到熔点，晶体开始逐渐熔解直到全部融化，温度保持不变，其后温度才继续上升。因此，晶体有一定的熔点。(2)空间点阵图3-1-1ABCD图3-1-2晶体与非晶体性质的诸多不同，是由于晶体内部的物质微粒(分子、原子或离子)依照一定的规律在空间中排列成整齐的后列，构成所谓的空间点阵的结果。图3-1-1是食盐的空间点阵示意图，在相互垂直的三个空间方向上，每一行都相间的排列着正离子(钠离子)和负离子(氯离子)。晶体外观的天然

4、规那么形状和各向异性特点都可以用物质微粒的规那么来排列来解释。在图3-1-2中表示在一个平面上晶体物质微粒的排列情况。从图上可以看出，沿不同方向所画的等长直线AB、AC、AD上，物质微粒的数目不同，直线AB上物质微粒较多，直线AD上较少，直线AC上更少。正因为在不同方向上物质微粒排列情况不同，才引起晶体在不同方向上物理性质的不同。组成晶体的粒子之所以能在空间构成稳定、周期性的空间点阵，是由于晶体微粒之间存在着很强的相互作用力，晶体中粒子的热运动不能破坏粒子之间的结合，粒子仅能在其平衡位置(结点处)附近图3-1-3做微小的热振动。晶体熔解过程中达熔点时，它吸收的热量都用来克服有规那么排列的空间点

5、阵结构，所以，这段时间内温度就不会升高。例题:NaCl的单位晶胞是棱长10m的立方体，如图7-1-3。黑点表示Na位置，圆圈表示Cl位置，食盐的整体就是由这些单位晶胞重复而得到的。Na原子量23，Cl原子量，食盐密度g/m。我们来确定氢原子的质量。在一个单位晶胞里，中心有一个Na，还有12个Na位于大立方体的棱上，棱上的每一个Na同时为另外三个晶胞共有，于是属于一个晶胞的Na数n=1+=4，Cl数n=4。晶胞的质量m=4(m+m)原子质量单位。a=4(23+35.5)m，得m10kg。32 固体的热膨胀几乎所有的固体受热温度升高时，都要膨胀。在铺设铁路轨时，两节钢轨之间要留有少许空隙，给钢轨留

6、出体胀的余地。一个物体受热膨胀时，它会沿三个方向各自独立地膨胀，我们先讨论线膨胀。固体的温度升高时，它的各个线度(如长、宽、高、半径、周长等)都要增大，这种现象叫固体的线膨胀。我们把温度升高1所引起的线度增长跟它在0时线度之比，称为该物体的线胀系数。设一物体在某个方向的线度的长度为，由于温度的变化T所引起的长度的变化。由实验得知，如果T足够小，那么长度的变化与温度的变化成正比，并且也与原来的长度成正比。即=T式中的比例常数称作线膨胀系数。对于不同的物质，具有不同的数值。将上式改写为.。所以，线膨胀系数的意义是温度每改变1K时，其线度的相对变化。即：式中的单位是1/，为0时固体的长度，为时固体的

7、长度，一般金属的线胀系数大约在/的数量级。上述线胀系数公式，也可以写成下面形式如果不知道0时的固体长度，但时固体的长度，那么时的固体长度为于是，这是线膨胀有用的近似计算公式。对于各向同性的固体，当温度升高时，其体积的膨胀可由其线膨胀很容易推导出。为简单起见，我们研究一个边长为l的正方体，在每一个线度上均有：。因固体的值很小，那么相比非常小，可忽略不计，那么式中的3称为固体的体膨胀系数。随着每一个线度的膨胀，固体的外表积和体积也发生膨胀，其面膨胀和体膨胀规律分别是 考虑各向同性的固体，其面胀系数、体胀系数跟线胀系数的关系为=2，=3。例1:某热电偶的测温计的一个触点始终保持为0，另一个触点与待测

8、温度的物体接触。当待测温度为t时，测温计中的热电动势力为其中-1,mv-2。如果以电热电偶的热电动势为测温属性，规定下述线性关系来定义温标，即。并规定冰点的，汽点的，试画出的曲线。分析:温标以热电动势为测温属性，并规定与成线性关系。又与摄氏温标温度t之间的关系，故与t的关系即可求得。系数a和b由规定的冰点和汽点的值求得。解:，得出与t的关系为。规定冰点的，t0100200300400100400/3图3-2-1规定汽点的t=100，代入，即可求得系a与b为b=0,于是，和t的关系为曲线如图3-2-1所示，与t之间并非一一对应，且有极值。例2:有一摆钟在25时走时准确，它的周期是2s，摆杆为钢质

9、的，其质量与摆锤相比可以忽略不计，仍可认为是单摆。当气温降到5时，摆钟每天走时如何变化？钢的线胀系数 -1。分析:钢质摆杆随着温度的降低而缩短，摆钟走时变快。不管摆钟走时准确与否，在盘面上的相同指示时间，指针的振动次数是恒定不变的，这由摆钟的机械结构所决定，从而求出摆钟每天走快的时间。解:设25摆钟的摆长，周期，5时摆长为，周期，那么由于，因此，说明在5时摆钟走时加快在一昼夜内5的摆钟振动次数，这温度下摆钟指针指示的时间是。这摆钟与标准时间的差值为t，33液体性质331、液体的宏观特性及微观结构液体的性质介于固体与气体之间，一方面，它像固体一样具有一定的体积，不易压缩；另一方面，它又像气体一样

10、，没有一定的形状，具有流动性，在物理性质上各向同性。液体分子排列的最大特点是远程无序而短程有序，即首先液体分子在短暂时间内，在很小的区域(与分子距离同数量级)作规那么的排列，称为短程有序；其次，液体中这种能近似保持规那么排列的微小区域是由诸分子暂时形成的，其边界和大小随时改变，而且这些微小区域彼此之间的方位取向完全无序，表现为远程无序。因而液体的物理性质在宏观上表现为各向同性。液体分子间的距离小，相互作用力较强，分子热运动主要表现为在平衡位置附近做微小振动，但其平衡位置又是在不断变化的，因而，宏观上表现为液体具有流动性。332、液体的热膨胀液体没有一定的形状，只有一定的体积，因此对液体只有体膨

11、胀才有意义。实验证明，液体的体积跟温度的关系和固体的相同，也可以用下面的公式表示：式中是在0时的体积，是液体在t时的体积，是液体的体胀系数，一般液体的体胀系数比固体大12个数量级，并且随温度升高有比拟明显的增大。液体除正常的热膨胀外，还有反常膨胀的现象，例如水的反常膨胀，水在4时体积最小，密度最大，而4以下体积反而变大，密度变小，直到0时结冰为止，正是由于水的这一奇特的性质，使得湖水总是从湖面开始结备，随着气温下降，冰层从湖面逐渐向下加厚，也亏得这一点，水中的生物才安然地度过严冬。333、物质的密度和温度的关系固体和液体的体积随温度而变化，这将引起物体的密度变化，设某物体的质量为m，它在0时的

12、体积为，那么0时该物体的密度是。设物体在t时密度，体积，那么。又有，式中是固体或液体的体膨胀系数，代入表达式得。3，温度计的水银指示线要移动多远？(水银的体胀系数/)解：查表可得石英的线胀系数/，那么其体胀系数为/。与水银的体胀系数/相比很小可忽略不计，所以当温度升高时，可以认为石英泡的容积不变，只考虑水银的膨胀，水银体积的增量水银体积的增量V，这是在水银指示管中水银上升的体积，所谓水银指示线移动的长度，就是水银上升的高度，即说明有些仪器，例如液体温度计，就是利用液体体积的热膨胀特性作为测量依据的。由于体胀系数与测量物质的种类有关，而且即使是同种物质，还与温度及压强有关，因此在使用这些仪器时，

13、应考虑到由于的变化而引起的测量误差。例如一支水银温度计，在冰点校准为0，在水的沸点校准为100，然后将二者间均分100份，刻上均匀刻度。严格地说，这种刻度是不准确的。由于值随温度的升而增大，所以在高温处刻度应该稀一些，在低温处应该密一些；如果均匀刻度，那么在测高温时读数会偏高，而在低温时读数会偏低。不过这种差异并不大，一般可以忽略。34液体的外表张力341、外表张力和外表张力系数液体下厚度为分子作用半径的一层液体，叫做液体的外表层。外表层内的分子，一方面受到液体内局部子的作用，另一方面受到气体分子的作用，由于这两个作用力的不同，使液体外表层的分子分布比液体内部的分子分布稀疏，分子的平均间距较大

14、，所以外表层内液体分子的作用力主要表现为引力，正是分子间的这种引力作用，使外表层具有收缩的趋势。液体外表的各局部相互吸引的力称为外表张力，外表张力的方向与液面相切，作用在任何一局部液面上的外表张力总是与这局部液面的分界线垂直。外表张力的大小与所研究液面和其他局部的分界线长度L成正比，因此可写成ABCD图3-4-1式中称为外表张力系数，在国际单位制中，其单位是N/m，外表张力系数的数值与液体的种类和温度有关。342外表能我们再从能量角度研究张力现象，由于液面有自动收缩的趋势，所以增大液体外表积需要克服外表张力做功，由图3-4-1可以看出，设想使AB边向右移动距离x，那么此过程中外界克服外表张力所

15、做的功为式中S表示AB边移动x时液膜的两个外表所增加的总面积。假设去掉外力，AB边会向左运动，消耗外表自由能而转化为机械能，所以外表自由能相当于势能，凡势能都有减小的趋势，而，所以液体外表具有收缩的趋势，例如体积相同的物体以球体的外表积最小，所以假设无其他作用力的影响，液滴等均应为球体。例 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm，3线长1cm，假设在图中A点滴下某种杂质，使外表张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B点，求每根线的张力：水的面表张力系数=0.07N/m。12TTF1F2图3-4-3AB123图3-4-2A滴入杂质后

16、，形成图3-4-3形状，取圆心角为的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和外表张力共同作用下平衡，那么有，式中代入后得。B中也滴入杂质后，线3松弛即，形成圆产半径cm，仿上面解法得。343、外表张力产生的附加压强外表张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界面的面积是，底面积是S，底面上的A点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为：在S面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于S面，大小可表示为 。在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球

17、面相切的外表张力的作用，这些外表张力的水平分力相互抵消，故合力也与S面垂直，大小为球冠形液块的重力mg，但因A点极邻近液面，所以截块很小，mg的数值可忽略。SAR图3-4-4根据小液块的力学平衡条件可得将及R、f的表示式代入上式可得应该指出是上式是在凸液面条件下导出的，但对凹液面也成立，但凹球形液面(如液体中气泡的外表)内的压强p小于外部压强，另外，对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄，液膜的内外两个外表的半径可看成相等，易得球形液泡内部压强比外部压强大数值。例 当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜，见图3-4-5所示。图3-4-5(1)曲率半径和，求把肥

18、皂泡分开的薄膜的曲率半径。(2)考虑的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂泡的半径是什么？在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么？我们假定，肥皂泡里的超压只与外表张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。解 ：(1)设肥皂液的外表张力系数为，那么液泡内的超压为，因此半径小的液泡内的超压大，泡内气体的压强也就比拟大，所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的泡一边凸出。设中间隔膜的曲率半径为，那么该曲面产生的附加压强为，为了使中间状态的隔膜保持平衡，应有即。O1O2A图3-4-6(2)当时，隔膜的曲率半径，即是一个平面，在界线上任取一点A，它受到两个球面及薄膜的外表张力、均跟各面相切，

19、如图3-4-6所示。由于是同一种液体，故三力大小，平衡时它们的方向彼此夹120角，应组成等边三角行，“球幅的高度d=r/2，所以每过过渡泡的体积为而压强设生成过渡泡前的肥皂泡半径为R，那么生成大泡半径为，那么依据玻意耳定律有假设考虑到，那么泡内气体总体积可认为不变，故可近似得出说明对此题，比拟有意思的是，泡内超压p比大气压小得多时，气体的总体积保持不变。344、浸润和不浸润液体与固体接触的外表，厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。在附着层中的液体分子与附着层外液体中的分子不同。假设固体分子对附着层内的分子作用力附着力，大于液体分子对附着层的分子作用力内聚力时，那么附着层内的分子所受的合力

20、垂直于附着层外表，指向固体，此时假设将液体内的分子移到附着层时，分子力做正功，该分子势能减小。固一个系统处于稳定平衡时，应具有最小的势能，因此液体的内局部子就要尽量挤入附着层，使附着层有伸长的趋势，这时我们称液体浸润固体。反之，我们称液体不浸润固体。固体液体固体液体图3-4-7在液体与固体接触处，分别作液体外表的切线与固体外表的切线，在液体内部这两条切线的夹角，称为接触角。图3-4-7中，液体与固体浸润时，为锐角；液体与固体不浸润时，为钝角。两种理想情况是=0时，称为完全浸润；=时，称为完全不浸润。例如：水和酒精对玻璃的接触角0，是完全浸润；水银对玻璃的接触角140，几乎完全不浸润。由于液体对

21、固体有浸润和不浸润的情况，所以细管内的液体自由外表呈现不同的弯曲面，叫做弯月面。假设液体能浸润管壁，管内液面呈凹弯月面；假设液体不能浸润管壁，管内液面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁，那么=0，弯月面是以管径为直径的凹半球面；液体完全不浸润管壁，那么=，弯月面是以管径为直径的凸半球面。水水银b 图3-4-7图3-4-8h图3-4-10例 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器，其中分别装有一定量的水和水银，如图3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时，试分别画出这两个容器中液体的形状。分析：在失重情况下，液体的形状取决于外表张力和与玻璃浸润情况。解：由于水银对玻璃是不浸润的，附着层面积要

22、尽量小，水对玻璃是浸润的，附着层面积要尽量大，因此将形成如图7-4-8所示的形状。345、毛细现象管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时，管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁，管内液面高于管外液面；如果液体不浸润管壁，管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图3-4-9所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为r，液体的外表张力系数为，接触角，管内液面比管外液面高h。那么凹形液面产生的向上的外表张力是，管内h高的液柱的重力是，固液注平衡，那么：对于液面不浸润管壁的情况，上式仍正确，此时是钝角，h是负值，表示管内液面低于管外液面。如果液体完全浸润管壁=0，为凹半球弯月面，外表张力沿

23、管壁身上，。例 在两端开口，半径1mm的玻璃毛细管内装满水，然后把它竖直放置，这时留在管中水柱有多长？水的外表张力系数。解：水能完全浸润管壁，留在管内的水柱重量应与上下两个弯月面的外表张力相平衡。注意：上弯月面=0，下弯月面=。于是35典型例题分析AB薄膜d图3-5-1例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两局部(如图3-5-1)。为了演示液体的外表张力现象，刺破左边的膜，线AB受到外表张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(ld/2)，肥皂液的外表张力系数为。解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形

24、状不确定)，不难推测，在ld/2的情况下，线会形成长度为ABTTCD图3-5-2的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的外表张力的共同作用下处于平衡状态，显然式中为在弧线上任取一小段所受的外表张力，指各小段所受外表张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r，与x轴的夹角均为方，显然而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样所以因此说明对此题要注意薄膜有上下两层外表层，都会受到外表张力的作用。例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和外表张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸

25、出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180计算，水银密度，水银的外表张力系数。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？图3-5-3分析：取圆饼侧面处宽度为x，高为h的面元S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的外表层中，由于外表张力的作用使水银外表有收缩到尽可能小的趋势。上下两层外表张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。S两侧外表张力可认为等值反向的。解：由于090,有 例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓和

26、那么依旧翻开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)假设A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。假设A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和 KB图3-5-4图3-5-5B泡之间的平衡是不稳定的。(2)假设A泡和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为，A泡和B泡的半径均为。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次到达平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。假设因扰动使A泡缩小，那么泡半径增大，外表张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新到达平衡。对于A泡因扰动

27、稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。假设A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，那么泡半径变小，外表张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续开展。总之，当A泡和B泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当时，A泡半径最小。假设再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。解：(1)见上面的分析。(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，

28、图3-5-5，有解得例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构如图1-5-6(a)所示，平 图3-5-6面上原子间距为m，假设石墨的密度为，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，石墨中的原子数是个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是晶胞的底面积是 说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有

29、，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。例5、用圆柱形的杯子做“覆杯实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的外表张力系数为，纸板重为mg，大气压为，水的密度为，那么为了保证“覆杯实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？dFOFR图3-5-7图3-5-8图3-5-9解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。其中虚线表示整体轮廓，实线那么划出其一小片分析其受力，图3-5-9那么是俯视平面图

30、。设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为l，那么它受力如下：f附着层水对凹面的外表张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为，方向垂直于l水平向外。和划出局部相连的凹面其他局部的水对该液面的作用力，方向沿圆周切线方向，大小为，两力合力大小为F液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为(其中为大气压，p为内部水压强)。mg图3-5-10在受力平衡的条件下应有得 如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有即 p是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，假设杯内气体压强为，原来装水后空气层厚度为h，那么 进行覆杯实验后，硬纸板是盖住

31、杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即，体积，“覆杯放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d(即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为，压强就变为，由玻意耳定律得 把代入可求得板重为mg时，水层最大厚度 由式可得将式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d值代入了。说明当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，那么大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件适宜，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于)与水、板重之和。然而，气压减小量是与

32、气体体积增大量有关，而体积增大那么决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度那么与外表张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。3。1 根本磁现象由于自然界中有磁石()存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁钴镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，那么两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N表示)；指南的一端称南极(S表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极

33、位于地理北极附近。 1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在根源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流，这就是物质磁性的根本来源。 一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。3。2 磁感应强度321、磁感应强度、毕奥萨伐

34、尔定律将一个长L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力和IL的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。 真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的要运用一个称为毕奥萨伐尔定律的实验定律。毕萨定律告诉我们：一个电流元IL(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为的P点所产生的磁场的磁感强度大小为，为顺着电流IL的方向与方向的夹角，的方向可用右手螺旋法那么确定，即伸出右手，先把四指放在I

35、L的方向上，顺着小于的角转向方向时大拇指方向即为的方向。式中K为一常数，K=韦伯/安培米。载流回路是由许多个IL组成的，求出每个IL在P点的后矢量求和，就得到了整个载流回路在P点的。P图3-2-1如果令，特斯拉米安，那么又可写为称为真空的磁导率。下面我们运用毕萨定律，来求一个半径为R，载电流为I的圆电流轴线上，距圆心O为的一点的磁感应强度。OIRP图3-2-2在圆环上选一I，它在P点产生的磁感应强度，其方向垂直于I和所确定的平面，将分解到沿OP方向和垂直于OP方向，环上所有电流元在P点产生的的和为零，B= 线性一元叠加在圆心处，322、 由毕萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度(

36、1)无限长载流直导线为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。I图3-2-3长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r处的磁感强度 或 式中称为真空中的磁导率，大小为。(2)无限长圆柱体无限长载流直导线 r为所求点到直导线的垂直距离。半径为R，均匀载有电流，其电流密度为j的无限长圆柱体当rR，即圆柱体内 当rR，即圆柱体外 (3)长直通电螺线管内磁场图3-2-4长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示n为螺线管单位长度的匝数(4)螺绕环的磁场与长

37、直通电螺线管内磁场的磁场相同。I(a)I(b)图3-2-5323、磁感应线和磁通量为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度的方向；第二，通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度的大小。图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，但凡感线为闭合曲线

38、的场都不可能是保守场。PI2I图3-2-6磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有奉献，就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置，电流的大小，(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a、b连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度和的方向都不在一直线 上，不可能互相抵消；在a、b连线上，a左边或b右边的位置上，和的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上，和才有可能互相抵消，设离a距离为的P处合磁感应强度为零(图3-2-6)(矢量式)=，b 图2-3-7通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，

39、1韦伯=1特斯拉1米。图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面的磁通量为；而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为：(角即是两个平面S和S的夹角，也是S面的法线与的夹角)。而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元的磁通量求出后求和，即：324、磁场中的高斯定理考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它说明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N极或S极存在。325、典型例题图3-2-8例1：图3-2-8所示，两互相靠

40、近且垂直的长直导线，分别通有电流强度和的电流，试确定磁场为零的区域。分析：建立图示直角坐标系，用安培定那么判断出两电流形成的磁场方向后，可以看出在、两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。解：设P(x、y)点合磁感强度为零，即有得 这就是过原点的直线方程，其斜率为I/I。AIBIO图3-2-9例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。分析：磁感强度B可以看成圆环上各局部(将圆环视为多个很小长度局部的累加)的奉献之和，因为对称性，圆环上各局部电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。

41、3。4 磁场对运动电荷的作用341、洛伦兹力载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。根据安培定律，而电流强度与运动电荷有关系，角既是O图3-4-1电流元与B的夹角，也可视为带电粒子的速度与之间的夹角，长导线中有粒子数，那么每个电子受到的力即洛伦兹力为洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动()方向垂直，即与、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定那么判定。但应注意，这里所说的粒

42、子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。342、带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下：如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。ABOAA图3-4-2带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个根本公式。(1)向心力公式：(2)轨道半径公式：(3)周期、频率和角频率公式，即：，(4) 动能

43、公式：如图3-4-2所示，在洛伦兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不管沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A点到B点，均具有下述特点：(1)轨道圆心(O)总是位于A、B两点洛伦兹力(f)的交点上或AB弦的中垂线与任一个f的交点上。(2)粒子的速度偏向角等于盘旋角，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的两倍，即。磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的，但任何一个带电粒子运动的速度()都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分解，得vvvfBr图3-4-3到和两个分速度。根据运动的独立性可知，这样的带电粒子一方面以在磁场方向上作匀速运动，一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为的匀速圆周运动。实

44、际上粒子作螺旋线运动(如图3-4-3)，这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期，其运动规律：螺旋运动盘旋半径：螺旋运动螺距：343、霍尔效应图3-4-4将一载流导体放在磁场中，由于洛伦兹力的作用，会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。如图3-4-4所示，电流I在导体中流动，设导体横截面高h、宽为d匀强磁场方向垂直与导线前、后两外表向外，磁感强度为B，导体内自由电子密度为n，定向移动速度由于洛伦兹力作用，自由电子向上外表聚集，下外表留下正离子，结果上下外表间形成电场，存在电势差U，这个电场对电子

45、的作用力方向向下，大小为当F与洛伦磁力f相平衡时，上、下外表电荷到达稳定，那么有图3-4-5如果导电的载流子是正电荷，那么上外表聚集正电荷，下外表为负电势，电势差正、负也正好相反。下面来分析霍尔电势差，求出霍尔系数。在图3-4-5中，设大块导体的长和宽分别为L和d，单位体积自由电荷密度为n，电荷定向移动速率为，那么电流。假定形成电流的电荷是正电荷，其定向移动方向就是电流方向。根据左手定那么，正电荷向上积聚，下外表附近缺少正电荷那么呈现负电荷积聚，上正下负电压为，正电荷受到跟磁场力反向的电场力的作用。电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用，当最后到达平衡时，可得。可见，理论推导的结果跟实验结果完全

46、一致，系数。既然k跟n有关，n表征电荷浓度，那么通过实验测定k值可以确定导体或半导体的电荷浓度n，半导体的n值比金属导体小得多，所以k值也大得多。此外根据左手定那么还可知，即使电流I就是图3-4-6中的流向，如果参与流动的是正电荷，那么电压就是上正下负；如果参与定向移动的是自由电子，那么电压就是上负下正了。霍尔电势的上下跟半导体是p型的还是n型的有如此的关系：上正下负的是p型半导体，定向载流子是带正电的空穴：上负下正的是n型半导体，如果k值小得多就是金属导体，定向载流子是自由电子。344、磁聚焦运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术。如图3-4-7，电子束经过a、b板上恒定电场加速后，

47、进入c、d极板之间电场，c、d板上加交变电压，所以飞出c、d板后粒子速度方向不同，从A孔穿入螺线管磁场中，由于大小差不多，且与B夹角很小，那么图3-4-7由于速度分量不同，在磁场中它们将沿不同半径的螺旋线运动。但由于它们速度分量近似相等，经过后又相聚于点，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫做磁聚焦现象。磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜。345、复合场中离子的运动xyPQ图3-4-81电场和磁场区域独立磁场与电场不同，磁场中，洛伦磁力对运动电荷不做功，只改变带电粒子速度方向，所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为：匀速圆周运动、螺旋运动、匀速直线运动。而电场中，电荷受到电

48、场力作用，电场力可能对电荷做功，因而改变速度大小和方向，但电场是保守场，电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题，是分开独立处理。例：如图3-3-8所示，在平面内，yO区域有匀强电场，方向沿-y方向，大小为E，yO区域有匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B，一带电+q、质量为m的粒子从y轴上一点P由静止释放，要求粒子能经过x轴上Q点，Q坐标为(L，O)，试求粒子最初释放点P的坐标。分析：解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。从y轴上释放后，只受电场力加速做直线运动，从O点射入磁场，然后做匀速圆周运动，半圈后可能恰好击中Q点，也可能返回电场中，再减速、加速做直线运动

49、，然后又返回磁场中，再经半圆有可能击中Q点，。那么击中Q点应满足的条件。2空间区域同时存在电场和磁场电场和磁场正交如图3-4-9所示，空间存在着正交的电场和磁场区域，电场平行于纸面平面向下，大小为E，磁场垂直于纸面向内，磁感强度为B，一带电粒子以初速进入磁场，图3-4-9，设粒子电量+q，那么受力：洛=方向向上，F电=qE方向向下。假设满足：=qE=E/B那么带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动，这是一个速度选择器模型。假设粒子进入正交电磁场速度，那么可将分解为，粒子的运动可看成是与两个运动的合运动，因而粒子受到的洛伦兹力可看成是与的合力，而与电场力qE平衡，粒子在电场中所受合力为，结果粒子的

50、运动是以的匀速直线运动和以速度所做匀速圆周运动的合运动。例：如图3-4-10正交电磁场中，质量m、带电量+q粒子由一点P静止释放，分析它的运动。分析：粒子初速为零释放，它的运动轨迹是如图3-4-10所示的周期性的曲线。初速为零，亦可看成是向右的与向左-两个运动的合运动，其中大小为：=E/B图3-4-10所以+q粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移一个周期向右移动距离L即PP之距为图3-4-11代入，得： 最低点Q点速度 电场和磁场平行如图3-4-11所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E、B一带电+q粒子以初速射入场区(或B)。那么带电粒子在磁场力

51、作用下将做圆周运动，电场力作用下向上做加速运动，由于向上运动速度分量始终与B平行，故粒子受洛伦磁力大小恒为，结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m/qB的匀速圆周运动和沿E方向匀加速直线运动的合运动，即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。电场力、洛伦磁力都与方向垂直，粒子做匀速圆周运动。例如电子绕原子核做匀速圆周运动，电子质量m，电量为e，现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场，磁感强度大小为B，而电子轨道半径不变，电场力3倍与洛伦磁力，试确定电子的角速度。在这里电子绕核旋转，电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力，即电+洛=而f洛可能指向圆心，也可能沿半径向外的，因而可能是或典型例题例1在如图3-4-

52、12所示的直角坐标系中，坐标原点O固定电量为Q的正点电荷，另有指向y轴正方向(竖直向图3-4-12上方向)，磁感应强度大小为B的匀强磁场，因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的点为圆心作匀速圆周运动，其轨道平面(水平面)与平面平行，角速度为，试求圆心的坐标值。分析：带电微粒作匀速圆周运动，可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况下除非与O不重合，必须要考虑第三个力即重力。只有这样，才能使三者的合力保证它绕在水平面内作匀速圆周运动。解：设带电微粒作匀速圆周运动半径为R，圆心的纵坐标为y，圆周上一点与坐标原点的连线和y轴夹角为，那么有 带电粒子受力如图3-4-13所示，列出动力学

53、方程为mg=F电cos (1)图3-4-13f洛-F电 (2)f洛= (3)将(2)式变换得f洛-F电 (4)将(3)代入(4)，且(1)(4)得消去R得 图3-4-14例2如图3-4-14所示，被1000V的电势差加速的电子从电子枪发射出来，沿直线方向运动，要求电子击中在方向、距离枪口5cm的靶M，对以下两种情形求出所用的均匀磁场的磁感应强度B1磁场垂直于由直线与点M所确定的平面。2磁场平行于TM。解： 1从几何考虑得出电子的圆轨道的半径为(如图3-4-15) 图3-4-15按能量守恒定律，电荷Q通过电势差U后的速度v为 即 作用在电荷Q上的洛伦磁力为 这个力等于向心力 故所需的磁感应强度为

54、 用上面的半径和速度值，得到 由于，所以 B=0.0037T2在磁场施加的力与速度垂直，所以均匀恒定磁场只改变电子速度的方向，不改变速度的大小。我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量：沿磁场B方向的和垂直磁场的，因为在磁场的方向上，磁场对它没有作用力(图3-4-16)。图3-4-16电子经过d/时间后到达目标M。由于磁场B和垂直的速度分量，电子在圆轨道上运动，由得到圆半径为电子在目标M的方向上也具有速度，结果是电子绕B方向作螺旋线运动。电在在d/时间内，在绕了k圈后击中目标。K是一个整数。圆的周长为 由于绕圆周运动的速度是，故绕一周的时间是 这个值乘上整数k，应等于 d/因此，所需的磁感

55、应强度为 k=1时，电子转一圈后击中目标：k=2时，电子转两圈后击中目标，等等。只要角度相同，磁场方向相反与否，无关紧要。用给出的数据代入，得 B=k图3-4-17例3一根边长为a、b、c(abc)的矩形截面长棒，如图3-4-17所示，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒放在垂直于c边向外的磁场B中，电流I所产生的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子，在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度，其中为迁移率。确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。计算夹c边的两外表上相对两点之间的电势差。如果电流和磁场都是交变的，且分别为，)，求(2)中电势差的直流分量的表达式。数据：电子

56、迁移率，电子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.610-19C分析： 这是一个有关霍尔效应的问题，沿电流方向，导体内存在电场，又因为霍尔效应，使得电子偏转，在垂直电流方向产生电场，两侧面间有电势差的存在解： (1)因为 所以电场沿方向分量沿c方向的分量 总电场大小：电场方向与边夹角，=(2) 上、下两外表电势差(3)加上交变电流和交变磁场后，有前面讨论的上、下外表电势差表达式，可得：=图3-4-18因此的直流分量为 直=例4如图3-4-18所示，空间有互相正交的匀强电场E和匀强磁场B，E沿+y方向，B沿+z方向，一个带正电+q、质量为m的粒子(设重力可以

57、忽略)，从坐标圆点O开始无初速出发，求粒子坐标和时间的函数关系，以及粒子的运动轨迹。图3-4-19分析：正离子以O点起无初速出发，受恒定电场力作用沿+y方向运动，因为速度v的大小、方向都改变，洛伦兹力仅在xOy平面上起作用，粒子轨迹一定不会离开xOy平面且一定以O为起点。既然粒子仅受的两个力中一个是恒力一个是变力，作为解题思路，利用独立性与叠加原理，我们设想把洛伦兹力分解为两个分力，使一个分力跟恒电场力抵消，就把这个实际受力简化为只受一个洛伦兹力分力的问题。注意此处不是场的分解和抵消，而是通过先分解速度到达对力进行分解和叠加。我们都知道，符合一定大小要求的彼此正交的匀强复合电磁场能起速度选择器

58、作用。受其原理启发，设想正离子从O点起(此处)就有一个沿x轴正方向、大小为的始终不变的速度，当然在O点同时应有一个沿-x方向的大小也是的速度，保证在O点，那么，沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可写成。因任一时刻，所以，或改写成：。始终的三个速度和都在xOy平面上，其物理意义是：正离子在复合场中受的两个真实的力()和F(E)的矢量和，可以用一个洛伦磁力分力来代替，这样做的一个先决条件是把正离子运动看成以下两个分运动的合成：沿+x方向的=E/B的匀速直线运动；在xOy平面上的一个匀速圆周运动，其理由是：是平面力，轨迹又是平面的不是三维空间的，所以必与垂直，在O点就是-，之后不对离子作功，大小

59、不变，充当向心力。这个圆周运动特征量是：，。解：t=0时刻，正离子位于O点，此时起离子具有两个速度：一是速度方向始终不变、大小为=E/B的速度。由这个速度引起的洛伦磁力跟电场力抵消。另一个速度是在O点时沿-x方向的大小为E/B的速度，该速度引起的洛伦磁力指向(0，+)点，这点就是t=0时的圆心。之后该圆心以速率沿平行于x轴正向的方向无滑动开始平动，正离子是该圆周上的一个点，且t=0是恰好就是该圆与x轴的切点即坐标原点，此后，正离子相对圆心以角速度顺时针绕行。在xOy平面上，粒子的轨迹被称为旋轮线，其坐标值随时间的变化为参数方程：z=0 (1) (2) (3)有一定数学能力的人不妨尝试把参数t消

60、去得出y与x的关系式，用来表示其轨迹的方法。点评：设想一个轮子沿地面做无滑动的滚动，轮子边缘用红颜料涂上色，观察这个边缘所得的运动轨迹就是旋轮线。ABRI1I2图3-2-10解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻，如图3-2-10所示，那么二段圆环电流 磁感强度B可以是圆环每小段局部磁场的叠加，在圆心处，可表达为，所以：因 故，即两局部在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。3。3 磁场对载流导体的作用331、安培力一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长L，电流强度为I，磁场的磁感应强度为B，电流I和磁感强度B图3-3-1间的夹角为，那么该