2022年中考全等三角形专题

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。1. 等腰三角形“ 三线合一” 法：合一” 的性质解题也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“ 三线2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“ 截长法” 或“ 补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条

2、线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 , 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创

3、造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“ 三线合一” 的性质解题，思维模式是全等变换中的“ 对折” 法 构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转”法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角

4、的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“ 平移” 或“ 翻转折叠”5)截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法： 在求有关三角形的定值一

5、类的问题时，接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等常把某点到原三角形各顶点的线段连例 1、已知，如图ABC中， AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _. ABDC例 2、如图，ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF，D是中点，试比较BE+CF与 EF 的大小 . AEF例 3、如图，ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. BDCABDEC应用：1、 以 ABC 的 两 边 AB 、 AC为 腰 分 别 向 外 作 等 腰 Rt ABD 和 等 腰 Rt ACE ，BAD CAE 90 , 连接 DE，M、N分别是

6、BC、DE的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时，AM 与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD绕点 A沿逆时针方向旋转 (0 AD+AE. ABDEC四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60 ， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD AE O2、如图，BDCABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的长 . ABEGCFD 应用：1、如图，

7、 OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60 ，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。B M B E F D E F D O P 图 N A 图 C A 图 C (第 23 题图 ) 五、旋转例 1 正方形 ABCD

8、中，E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 . A DFBEC例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F 。（1）当MDN 绕点 D转动时，求证DE=DF。B（2）若 AB=2，求四边形DECF的面积。AEMCFAN例 3 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200，以 D为顶点做一个0 60 角，使其两边分别交AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；AMNB CD应用：1 、 已 知 四 边 形 A B C D中 ， A B A

9、 D， BC CD ， AB BC ，ABC 120，MBN 60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明BAMBAMADEMEEBCFNDCFNDFCN（图 1）（图 2）（图 3）2、已知 :PA=2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD,使 P、D两点落在直线AB的两侧

10、 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3、在等边 ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N，D 为 ABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M 、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC 、MN 之间的数量

11、关系是； 此时Q；DN 时，猜想（ I）问的两个结论还L（II）如图 2，点 M 、N 边 AB 、AC 上，且当 DM成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M 、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN= x，则 Q= （用 x 、L 表示）参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“ 希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _. 解：延长 AD至 E 使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD4 B D C例 2、如图，ABC中， E、F 分别在

12、AB、AC上， DEDF，D是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大小 . A解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“ 三线合一” 法 ) 延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG，EG, E显然 BGFC，F在 EFG中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 B D CEG EF 在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图，ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. ABDEC解：延长 AE至 G使 AG 2AE，连 BG，DG, 显然 DGAC，GDC=ACD 由于 DC=AC，故ADC=DAC 在 ADB与 ADG中，

13、 BDAC=DG，AD AD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDC ADG 故 ADB ADG，故有 BAD=DAG，即 AD平分 BAE 应用：Rt1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABCRtABD 和 等 腰ACE ，BADCAE90 ,连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时，AM 与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD绕点 A沿逆时针方向旋转 (0 90) 后，如图所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：（1）ED

14、2AM，AMED；证明：延长AM 到 G，使MGAM，连 BG，则 ABGC 是平行四边形N H E D ACBG，ABGBAC180又DAEBAC180ABGDAE再证：DAEABGA C DE2AM，BAGEDAB M 延长 MN 交 DE 于 H BAGDAH90HDADAH90GAMED（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA 至 F，使ACFA，FA 交 DE 于点 P，并连接 BFN C E DABA，EAAFD FBAF90DAFEAD在FAB 和EAD 中FAAEBAFEADP BADAFABEAD（SAS）A B M BFDE，FAEN90FPDFAPEAENFBDE又CAAF

15、，CMMBAM /FB，且AM1FB2AMDE，AM1DE2二、截长补短1、如图，ABC 中， AB=2AC，AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CDAC 解：（截长法）在 AB上取中点 F，连 FD ADB是等腰三角形，F 是底 AB中点，由三线合一知 DF AB，故 AFD90 ADF ADC（SAS）ACD AFD90 即： CDAC 2、如图， AD BC，EA,EB分别平分 DAB,CBA，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AFAD，连 FE ADE AFE（SAS）ADE AFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故 ECB

16、EFB FBE CBE（AAS）故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC 3、如图，已知在ABC内，BAC 60 0，C 40 0，P，Q分别在 BC， CA上，并且 AP，BQ分别是 BAC ，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP A解：（补短法 , 计算数值法）延长 AB至 D，使 BD BP，连 DP 在等腰BPD中，可得 BDP40B从而 BDP 40 ACP QP ADP ACP（ASA）故 ADAC 又 QBC40 QCB 故 BQ QC BD BP C从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD，BD平分ABC ，AD求证：AC1

17、800解：（补短法）延长BA至 F，使 BFBC，连 FD BDF BDC（SAS）故 DFB DCB ，FDDC 又 ADCD 故在等腰BFD中BCDFB DAF 故有 BAD+BCD1805、如图在ABC中， ABAC， 1 2，P 为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC A1 2P解：（补短法）延长AC至 F，使 AFAB，连 PD BDC ABP AFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知PB PCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=例 2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且 BD=CE，求证： AB+ACAD+

18、AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMN EMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60 ， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD，DC+AE =AC A证明 (角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60 度, 则 BAC+BCA=120

19、 度; E AD,CE 均为角平分线 , O则 OAC+ OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. BDC在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE= OAF .则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 则 COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故 OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图，ABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF

20、的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的长 . 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD，DC BEGACDG垂直平分 BC，故 BD DC 由于 AD平分 BAC， DE AB于 E，DFAC于 F，故有ED DF DF故 RT DBERT DFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AE AE（ a+b） /2 BE=(a-b)/2 应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60 ，AD、CE 分别是 BAC

21、、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。B M B O P E F D E F D 图 N A 图 C A 图 C (第 23 题图 ) 解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FEFDBCB C （2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。证法一： 如图 1，在 AC 上截取AGAE，连结 FG 12，AF 为公共边，AEFAGFAFEAFG，FEFGB60， AD、CE 分别是BAC

22、 、BCA 的平分线2360E F D AFECFDAFG60CFG6034及 FC 为公共边1 4 CFGCFD2 3 FGFDA G 图 1 FEFD证法二： 如图 2，过点 F 分别作FGAB于点 G，FH于点 H B60， AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线A B 可得2360，F 是ABC 的内心E G F D GEF601，FHFGH 又HDFB11 4 GEFHDF2 3 图 2 C 可证EGFDHFFEFD五、旋转例 1 正方形 ABCD中，E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 . 证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针

23、旋转 90 度，至三角形ADABG F则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF 全等于 AEG BEC所以 EAF= GAE= BAE+GAB= BAE+ DAF 又 EAF+BAE+ DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F 。(1) 当 MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。(2) 若 AB=2，求四边形 DECF的面积。解： (计算数值法 ) （1）连接 DC，D为等腰 RtABC 斜边 AB的中点，故有CDAB，CDDA CD平分 B

24、CA 90 ， ECD DCA 45由于 DMDN，有 EDN 90由于 CDAB，有 CDA 90从而 CDE FDA故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF （2）S ABC=2, S四 DECF= S ACD=1BDC 是等腰三角形，且BDC1200，例 3 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，以 D为顶点做一个0 60 角，使其两边分别交AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；解： (图形补全法 , “ 截长法” 或“ 补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC 为等边三角形，B

25、CD 为等腰三角形，且BDC=120， MBD= MBC+ DBC=60+30 =90 ，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120-60 =60 ，在 DMN 和 DEN 中，DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE MDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=30 DMN DEN (AAS) ，MA=FE

26、AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1 、 已 知 四 边 形 A B C D中 ， A B A D， BC CD ， AB BC ，ABC 120，MBN 60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF 当MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AAMAECFADEMBEMBEBCFNDCFNDF

27、CN（图 1）（图 2），（图 3）解：（1）ABAD，BCCD，ABBCABECBF（SAS）；ABECBF，BEBFABC120，MBN60ABECBF30，BEF 为等边三角形BEEFBF，CFAE1BE2AECFBEEF（2）图 2 成立，图 3 不成立。证明图 2，延长 DC 至点 K，使CKAE，连接 BKA 则BAEBCKBEBK，ABEKBCB E M FBE60，ABC120FBCABE60F N D FBCKBC60K C KBFFBE60图 2 ABCD,使 P、D两点落在KBFEBFKFEFKCCFEF即AECFEF图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是AECFE

28、F2、（西城 09 年一模） 已知 :PA=2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析：（1）作辅助线， 过点 A 作 AE PB 于点 E，在 Rt PAE中，已知 APE ， AP 的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在 Rt ABE 中，根据勾股定理可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法， 解法一：可将 PAD绕点 A 顺时针旋转 90 得到 P A

29、B，可得 PAD P AB，求 PD 长即为求 P B 的长，在Rt AP P 中，可将 P P 的值求出， 在 Rt P P B 中，根据勾股定理可将 P B 的值求出； 解法二：过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB 于 G，在 Rt AEG 中，可求出 AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在 Rt PFG 中，可求出 PF，在 Rt PDF 中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到PAB，PD 的最大值即为PB的最大值，C C 故当 P 、P、B 三点共线时，PB取得最大值，根据PBP PPB可求PB的最大值

30、，此时APB180AP P135解：（1）如图，作AEPB于点 E RtPAE中，APB45，PA2D AEPE221A 2PB4PE3P E B BEPB在RtABE中，AEB90ABAE2BE210解法一： 如图，因为四边形ABCD 为正方形， 可将将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得到PAB，可得PADPAB，PDPB，PAPAD PAP90，APP45，PPB90PP2，PA2PA PDPBP P2PB2224225；P E B F，设 DA 的延长线交PB解法二：如图，过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于于 GPD在RtAEG中，可得AGcosAEcosAE10，EG

31、1，PGPEEG D P2B C EAGABE333在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABEB10，FG10515在RtPDF中，可得10225P GE A FG21021010PF2ADAG5153F （2）如图所示，将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 , 得到PAB，PD 的最大值， 即为的最大值P PB中，PBP PPB，P P2PA2，PB4且 P、D 两点落在直线AB 的两侧当 P 、 P、B 三点共线时，PB取得最大值（如图）D D C C A A PP B PP B 此时 P B P P PB 6，即 P B 的最大值为 6 此时 APB 180 AP P 13

32、53、在等边 ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N，D 为 ABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M 、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN关系是； 此时Q；L时， BM 、NC 、MN 之间的数量（II）如图 2，点 M 、N 边 AB 、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）

33、如图 3，当 M 、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN= x，则 Q= （用 x 、L 表示）分 析 ：（ 1 ） 如 果 DM DN，DMN DNM， 因 为 BD DC， 那 么DBC DCB 30，也就有 MBD NCD 60 30 90，直角三角形 MBD 、NCD中，因为 BD DC，DM DN，根据 HL 定理，两三角形全等。那么 BM NC，BMD DNC 60，三角形 NCD 中，NDC 30，DN 2 NC，在三角形 DNM 中，DM DN，MDN 60， 因 此 三 角 形 DMN 是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此MN DN 2 NC NC BM，三角形 AMN 的周长 Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2 AB，三角形 ABC 的周长 L 3 AB，因此 Q : L 2 :