专题五第三讲圆锥曲线的综合问题(A)

1、第三讲圆锥曲线的综合问题(A)1.(2013高考福建卷)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径2(2013河南质检)已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围3(2013高考课标全国

2、卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (ab0)右焦点的直线xyeq r(3)0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq f(1,2).(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值4(2013高考北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：eq f(x2,4)y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形答案：1【解】(1)抛物线y24x的准线l的方程为

3、x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d2.又|CO|eq r(5)，所以|MN|2eq r(|CO|2d2)2eq r(54)2.(2)设Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(yeq oal(2,0),4)，y0)，则圆C的方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yeq oal(2,0),4)eq sup12(2)(yy0)2eq f(yeq oal(4,0),16)yeq oal(2,0)，即x2eq f(yeq oal(2,0),2)xy22y0y0.由x1，得y22y0y1eq f(yeq oal(2,0),2)0.设M(1，

4、y1)，N(1，y2)，则eq blc(avs4alco1(4yeq oal(2,0)4blc(rc)(avs4alco1(1f(yeq oal(2,0),2)2yeq oal(2,0)40，,y1y2f(yeq oal(2,0),2)1.)由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以eq f(yeq oal(2,0),2)14，解得y0eq r(6)，此时0，所以圆心C的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，r(6)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，r(6)，从而|CO|2eq f(33,4)，|CO|eq f(r(33),2)，即圆C的

5、半径为eq f(r(33),2).2【解】(1)直线xky30经过定点F(3，0)，即点F(3，0)是椭圆C的一个焦点设椭圆C的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，即a5.所以b2a23216.所以椭圆C的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)证明：因为点P(m，n)在椭圆C上，所以eq f(m2,25)eq f(n2,16)1，即n216eq f(16m2,25)(0m225)所以原点到直线l：mxny1的距离deq f(1,r(m2n2)eq f(1,r(f(9,25)m216)1.所以直线

6、l：mxny1与圆O：x2y21恒相交，L24(r2d2)41eq f(1,f(9,25)m216).因为0m225，所以eq f(r(15),2)Leq f(4r(6),5)即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围是eq f(r(15),2)，eq f(4r(6),5)3【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eq f(xeq oal(2,1),a2)eq f(yeq oal(2,1),b2)1，eq f(xeq oal(2,2),a2)eq f(yeq oal(2,2),b2)1，eq f(y2y1,x2x1)1，由此可得eq f(b2（x2x1）,a2（y2y

7、1）)eq f(y2y1,x2x1)1.因为x1x22x0，y1y22y0，eq f(y0,x0)eq f(1,2)，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(eq r(3)，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为eq f(x2,6)eq f(y2,3)1.(2)由eq blc(avs4alco1(xyr(3)0，,f(x2,6)f(y2,3)1，)解得eq blc(avs4alco1(xf(4r(3),3)，,yf(r(3),3)，)或eq blc(avs4alco1(x0，,yr(3).)因此|AB|eq f(4r(6),3).由题意可设直线CD的方程为yxn(eq f(5

8、r(3),3)neq r(3)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由eq blc(avs4alco1(yxn，,f(x2,6)f(y2,3)1，)得3x24nx2n260.于是x3，4eq f(2nr(2（9n2）),3).因为直线CD的斜率为1，所以|CD|eq r(2)|x4x3|eq f(4,3)eq r(9n2).由已知，四边形ACBD的面积Seq f(1,2)|CD|AB|eq f(8r(6),9)eq r(9n2)，当n0时，S取得最大值，最大值为eq f(8r(6),3).所以四边形ACBD面积的最大值为eq f(8r(6),3).4【解】(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直平分所以可设A(t，eq f(1,2)，代入椭圆方程得eq f(t2,4)eq f(1,4)1，即teq r(3).所以|AC|2eq r(3).(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由eq blc(avs4alco1(x24y24，,ykxm，)消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则eq f(x1x2,2)eq f(4km,14k2)，eq f(y1y2,2)keq f(x1x2,2)meq f(m,14k2)，所以AC的中点为M(eq