初三几何3角平分线辅助线基础教师资料

1、2014年中考解决方案角平分线辅助线学生姓名：XXX上课时间：2013.XX.xX角平分线辅助线基础自检自查必考点知识点一角平分线性质(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形秘籍四：过角平分线

2、上的点作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：角平分线+平行线，等角三角形现。总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三角平分线模型模型一两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程1类型一：在4ABC中，如图1,BP、CP为/ABC和ACB的角平分线，/P与/A为/P=90口+/A21推理万法：如图，可得/A+2(x+y)=180口，/P+(x+y)=180化简可得ZP=90+-ZA21类型二：如图2,BP、CP为ZABC和/ACE的角平分线，求2P与/A之间的关系为ZP=-AK21推理方法：如图，可得2y=2x+/

3、A,y=x+/P,化简可得ZP=-ZA21类型三：如图3,BP、CP为/CBD和NBCE的角平分线，则/P与/A之间的关系为/P=90/A21推理万法：如图，2x+2y=180=+/A,x+y+/P=180化简可得/P=9001/A2模型二对角互补模型条件：/DOC=/DOE=a,/AOB+/DCE=的结论：CD=CEODOE=2OCcos：2S四边形doec=Saodc1,Saoce=OCsin、工cos、工难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍），中考满分必做题一、往角两边截取相等的线段?考点说明：解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

4、 TOC o 1-5 h z 把两条折线段拉直”成线段，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将长线段拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线对称”的思想.常用方法分别称之为补短法”和戳长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例1】已知9BC中，=60,BD、CE分别平分/ABC和/ACB,BD、CE交于点。，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【答案】BECD=BC理由是：在BC上截取BF=BE,连结OF利用SAS证彳导iBEO色四FO，/1=/2,NA=601ZBOC=90+Na=120,NDOE=12

5、02.A.DOE=180/AEOSADO=180Z1+Z3=180,Z2+Z4=180.1./1=/2,N3=/4利用AAS证彳导CDO9iCFO.CD=CF,BC=BF+CF=BE+CD【练1】如图，在MBC中，BE、CD分别是NABC、NACB的角平分线，且BD+CE=BC,则/A的度数为.【练2】如图，在 MBC中，/B=602 AD、 证：FE=FD.【答案】在 AC上截取AG =AE ,连结FG , ZAFE =NAFG , FE =FG ,可推出ACE分别平分/BAC、/BCA,且AD与CE的交点为F .求AAEF 色 AAGF , /CFG =60=/CFD ,进而证明ACFG色

6、ACFD ,有FA= FD ,进而得FE =FD .【例2】 如图，在四边形 ABCD中，AD / BC ,NA的平分线 AE交DC于E .求证：当BE是/B的平分线时，有 AD +BC =AB .【答案】在AB上截取AF,使AF=AD,连接EF,则可得MDEMFE,于是/ADE=/AFE.由AD/BC,知ZADE+ZC=180,而/EFB+ZAFE=180*,从而.EFBZC注意到BE平分/B,BE公用，于是，由角边角公理的推论，知AEFB9AECB,从而BF=BC.故AD+BC=AF+BF=AB.【练1】如图所示，AD平行于BC,/DAE=/EAB,/ABE=/EBC,AD=4,BC=2,

7、那么AB=【解析】过E做EF交AB于F,使AF=AD,易证MDEMFE；AEFB=隹BC则AB=AD+BC=6.【答案】6【练2】如图，1A+/D=180，BE平分/ABC,DECE平分/BCD，点E在AD上.探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.【答案】AB+CD=BC;BECE在线段BC上取点F,使FB=AB,连结EF.在MBE和AFBE中AB=FB.ABE=.FBEBE=BEMBE忏BEZAEB=/FEB,/BAE=/BFE.AD=180而.BFE.CFE=180ZCDEZCFE在ACDE和ACFE中J?CDE=CFE一DCE=FCECE=CEACDE

8、9iCFE/DEC=/FEC,CD=CFAB+CD=BC,/BEC=/BEF+/CEF=90【例3】 已知等腰 MBC , /A=100,/ABC的平分线交 AC于D ,则BD + AD = BC .（利用角平分作对称模型）如图，延长BD到E,使DE=AD,在BC上截取BF=BA.1-180 -100 )=20 ,N1=Z2,BD为公共边，BADABFD,AD=FD,NADB=/FDB.ZADB=180_(/A+/1)=180。_(100。+20)60.ZFDB=60,故ZFDC=60,/EDC=60%.DF=DE,ADFC省ADEC./E=/DFC,/3=/4.DFC2.FDB=2060=8

9、0,.NE=80.24=40,/3=40,故/ECB=/3+/4=809.NECB=NE,故BC=BE.BE=BD+DE,BC=BD+AD.注：学习程度好的，另外补充两种解法解法一（截长法）：如图，在BC上截取BE=BD，连接DE,过D作DF / BC ,交AB于F ,于是 /3=/2 , /ADF =/ECD .又= Z1 =22,N1 =/3,故DF =BF .显然FBCD是等腰梯形. BF =DC , DF11=DC . . Z2 =-ZABC =-x1-180 -100 ：尸20 ,.BED BDE1二3 180 - 2 )=80 , . NDEC =180*-/BED =100 s,

10、 . NFAD =NDEC =100电，MFD 9 任DC , AD =EC .又 BE =BD , BC =BD +EC =BD 十AD .解法二(补短法)：如图，延长BD到E ,使BE = BC .延长BA到F使 BF =BC .连接 CE、EF、DF .Z1 =Z2 , BD 公共，ABDC 色 ABDF . ZBDC =/BDF , /BCD =/BFD .ADCEBEC又/BDC =/1 +/BAC =20-100n = 120、/BCD =40， ZBFD =40. . BE=BF , /1=20, NBEF =/BFE =80,. ZDFE =80 40=40, 而 NFAD =

11、180/BAD =180100 =80 *.，NFAD =NDEF .又 FD 公共，&FAD AFED .ED=AD .，BC = BE =BD + AD【练1】如图所示，在 MBC中，/A=100,2ABC=401 BD是/ABC的平分线，延长 BD至E ,使DE =AD ,求证：BC =AB +CE【答案】在BC上取一点F,使得BF=BA易证得AADBAFDBDF=AD,又DA=DEDF=DE2A=1002AB=AC.ABC=40BD平分/ABC,.ABD-20.ADB=/FDB=60.CDEADB=60.FDC-.EDC=60iDCF9CEFC=ECBC=BFFC=ABCE【练2】已知

12、等腰直角MBC中，ZBAC=90。，BD是角平分线，CE_LBD,交BD延长线于点E.求证：BD=2CE.【答案】延长CE、BA交于点F.因为ZBAC=90,CE_LBE,所以ZF+/ACF=90、/F+/ABD=900,所以/ABD=/ACF.因为等腰直角MBC中，AB=AC,且/BAD=/CAF=90,所以MBDMCF,所以BD=CF.因为BD是角平分线，且NBEC=NBEF=90BE是公共边，所以用CE色&BFE,所以CE=FE,即BD=2CE.【练3】如图，在直角AABC中，/BAC=90AB=AC,BD=2CE,作CE_LBD交BD的延长线于E,求证：BD平分/ABC【答案】方法同上

13、一题AC【例4】 如图，在 MBC中，/BAC=60，AD是2BAC的平分线，且 AC = AB + BD ,求/ABC的度数.【答案】解法一（补短）：如图所示，延长AB至E使BE=BD,连接ED、EC.由AC=AB+BD知AE=AC,而NBAC=60,则MEC为等边三角形.注意至U.EAD=.CAD,AD=AD,AE=AC,故MED9MCD.从而有DE=DC,.DEC=.DCE,故.BED.ZBDE./DCE./DEC=2/DEC.所以.DEC=.DCE=20,.ABC=.BEC.BCE=6020=80.解法二（截长）：在AC上取点E,使得AE=AB,则由题意可知CE=BD.在MBD和MED

14、中，AB=AE,/BAD=/EAD,AD=AD,则MBDMED,从而BD=DE,进而有DE=CE,.ECD=/EDC,ZAEDZECDZEDC=2.dECD.注意到ZABD=/AED,则：3ZABC/ACB/ABCABC=.ABCB80ZBAC=1202故.ABC=80.【练1】如图，在MBC中，/B=2/C,/BAC的平分线AD交BC与D.求证：AB+BD=AC.【答案】方法一：在AC上取一点E,使得AB=AE连结DE.在AABD和MED中AB=AE,/BAD=/EADAD=ADMBDMEDBD=ED,/B=/AED又ZAED=/EDC+ZC=NB=2/C/EDC=/C,ED=ECAB+BD

15、=AC.方法二：在AB的延长线上取一点E使得AC=AE,连结DE.在MED和MCD中，AE=ACZEAD=ZCAD,AD=AD.MED9MCD,ZC=NE又/ABC=/E+/BDE=2/C=2/BDEZE=ZBDEBE=BD,，AB+BD=AC.方法三：延长DB到点E使得AB=BE,连结AE则有.EABZE.ABC=.E.EAB=2.E又/ABC=2/C,AE=AC又ZEAD=/EAB+/BAD=/E+/DACZC/DACZADEAE=DE,AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC方法四：如图，作BF平分/ABC交AD、AC于E、延长BF到M,使FM=FA,连结AM/ABF/FBCZABC=2

16、ZC,ZFBC=ZC.，FB=FCAF=FM,NM=/FAMNAFE=/FBC+NC,又ZAFE=NM+NFAM即NAFE=2/M=2NC,.NC=/MNM=/ABM=NDBF=/C.AB=AM.ADB=.C.DAC且DEBZEBA./BAEZBAD=NDAC,./ADB=dDEB.，BD=BE同理MA二MEAF=FM,FB=FC,AC=BM.AC=AB+BD【练2在MBC中，AD平分ZBAC,AB+BD=AC.求ZB:ZC的值.【答案】在AC上截取AE=AB,连结DE根据SAS证得MBDMED,/AED=/B=/EDC+/C,DE=BD,结合已知可得ED=EC,ZEDC=/C,/B=2/C,

17、/B:/C=2:1【练3】如图，AABC中，AB=AC,/A=108。BD平分NABC交AC于D点.求证：BC=AC+CD.【答案】方法一：在BC上截取E点使BE=BA,连结DE.BD平分NABC,ZABD=/EBD.在MBD与任BD中AB=EB,/ABD=/EBD,BD=BD.AABDWiEBD,ZA=ZDEB/A=108,/DEB=/108*，/DEC=72上又/ADB=36+18=54.CDE=72,CDE=.DECCD=CEBC=BE+EC,BC=AC+CD方法二：如图，延长CA到F,使CF=CB,连结BF.AB=AC,且ZBAC=108-/ABC=/C=36.CB=CF,ZF=/FB

18、C./FAB=ZC+/ABC./FAB=72.1.ADB=，C1ABC2，/ADB=54,又/FBD=54=BF=AB=AC=FD.AF=CD.BC=AC+CD.【练4】如图，在MBC中，ZBAC=901NB=2/C,D点在BC上，AD平分ZBAC,若AB=1,则BD的长为.A【解析】在BC上截取AE=AB,连接DE.AE =AB , /BAD =/CAD , AD = AD ABD.AEDBD=DE, /ABD=/AED, AB = AE. NBAC=90, NB =2/C.NB=60： ZC =304 /DEC =30./C DE =CEBD =AC AB - ；3 -1【例5】 如图所示

19、，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB +PC与AB +AC的大小，并说明理由.【解析】PB+PCAB+AC,理由如下.如图所示，在AB的延长线上截取AE=AC,连接PE.因为AD是ZBAC的外角平分线，故NCAP=/EAP.在MCP和MEP中，AC=AE,/CAP=/EAP,AP公用,因此MCP色MEP,从而PC=PE.在3PE中，PB+PEBE,而BE=BA+AE=AB+AC,故PB+PCAB+AC.【练1】在MBC中，ABAC,AD是NBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB-ACPB-PC.【答案】在AB上截取AE=AC,连结EP,根

20、据SAS证彳导MEP=MCP,PE=PC,AE=AC又ABEP中，BEPB-PE,BE=ABAC,AB-ACPB-PC【例6】已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且/AMD=120中，证明：AB+-BC+CDAD.2AC【答案】显然，要证题设的不等式，应当把1 2BC, CD三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD比较.要实现这一构想，折线之首端应与以AM为对称轴，作点 B关于AMA点重合，尾端应与 D点重合，这可由轴对称来实现 的对称点B1，连接AB1、MB1 ,则 AB1 =AB , MB1 =MB ,即 MB1M 目 AABM ,由此 NRMA =/BMA .再以DM为对称轴，作

21、点 C关于DM的对称点G ,连接DC1、Mg , 贝U DC1 =DC , MC1 =MC ,即 ADC1M 0 ADCM ,由此 /C1MD =/CMD . 而/AMD =120，所以 /BMA +/CMD =180 /AMD =180 s-120 s= 60. 注意到 /B1MA +ZC1MD =NBMA +NCMD =60,因此 ZB1MC1 =120(/BMA +/GMD) =120，60 = 60)一1 一而 MB1 =MC =-BC ,所以由于两点之间以直线段为最短,B1 MC1是等边三角形， B1C1 =2 BC .所以AB1+ B1G +GD 之 AD ,1即 AB BC CD

22、 _ AD .22ZAMD =135*,求证：AB +BC +CD 之 AD .2【练1】设M是凸四边形ABCD的边BC的中点,【答案】作点B关于AM的对称点B,作点C关于DM的对称点C,连接 AB、BC、CD,则 MB=MB =MC =MC ,且 AB=AB , CD =CD .而 NCMB=901,2则BC=2MB=BC,22故ABBCCD=ABBCCD_AD.2*中考真题拔高【例7】如图1,OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:（1）如图2,在AABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分别是/B

23、AC、/BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;（2）如图3,在BBC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图一图二图三（2006年北京中考试题）【例8】已知，点P是/MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使/APB+/MON=180.(1)利用图1,求证：PA=PB；(2)(3)MPBSAPOB【解析】(1)在OB上截取OD.=OA,连接PD,OP平分ZMON,./MOP=ZNOP.XOA=OD,OP=OP,.AOPADOP.PA=PD,Z1=Z2.APB+ZMON=180,1+/3=180.2+74=180,/3=Z4.PD=PB.PA=PB.(2)VPA=PB,/3=Z4.+Z2+ZAPB=180,且/3+/4+/APB=180,./1+Z2=Z3+Z4./2=Z4./5=Z5,.PBCsAPOB.PC_/S，