2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二次函数与多边形存在性问题最经常遇到的中考压轴题，通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质；作图是第一步，注意多种情况分类讨论。解答题（共15小题）1如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）、B（4，0）两点（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标2已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（3，0），C（1，0）（1）求经过A、B、C三点的二次函数解

2、析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形3如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C且OA=2，OC=OB=3（1）求抛物线的解析式；（2）作ODBC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由4如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tanACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平

3、行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD（1）求该二次函数的解析式；（2）求ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由6如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的

4、坐标；若不存在，请说明理由7如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点B（0，5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标8如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的

5、点E的坐标；若不存在，请说明理由10如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3）（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标11如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且BAO=45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由12如图：已知，直线l1l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（

6、2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标13已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由14如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）已知OCAB于C，求C点坐标；（2）在

7、x轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由15如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C（0，5）（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得OPM是等腰三角形华罗庚数学：中考第一讲 二次函数与多边形存在性问题参考答案与试题解析一解答题（共15小题）1如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）、B（4，0）两点（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边

8、形是平行四边形，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）、B（4，0）两点，解得二次函数的解析式为y=x2x（2）根据题意得：M1（3，1）、M2（3，1）、M3（5，1）2已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（3，0），C（1，0）（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x1），把（0，3）代入得a3（1）=3，得到a=1，所以=（x+3）（x1），即y=x22x+3；（2）如图，D点坐标为（4，3）或

9、（4，3）或（2，3）3如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C且OA=2，OC=OB=3（1）求抛物线的解析式；（2）作ODBC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由【解答】解：（1）由题意可得A（2，0），B（3，0），C（0，3）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x3）将C点坐标代入后可得：a（0+2）（03）=3，a=因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x3）=x2+x+3；（2）如图；存在这样的P点，且坐标为P（1，2）理由：OB=OC，COB=90CBO=OCB=45ODBCCOD=BOD=45因此E为直线y

10、=x与抛物线的交点，因此有：解得：，即E点的坐标为（2，2）若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=OB且EPOB，那么P点的坐标为（1，2）当x=1时，抛物线的值为y=（x+2）（x3）=1（4）=2因此P点在抛物线上所以存在这样的P点，且坐标为（1，2）4如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tanACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在

11、，请说明理由【解答】解：（1）A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，解得：，二次函数的解析式为：y=x24x+3，y=（x2）21，顶点G（2，1）（2）G作GHx轴于点H，GFy轴于点F，G（2，1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在RtGFC、RtAOC、RtGHA中由勾股定理，得AC2=18，GC2=20，AG2=2ACG是直角三角形，且CAG=90，tanACG=（3）当AG为边时，作GHx轴于H，PNx轴于点NPNE=GHA=90四边形PEGA是平行四边形，PE=AG，PEA=GAE，PNE

12、GHA，PN=GH=1，设P（m，1）m24m+3=1，m=2，P（2，1），当AG为对角线时，不可能综上所述，点P的坐标为（2，1），5如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD（1）求该二次函数的解析式；（2）求ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3）将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得，解得，抛物线的解析式y=x22x+3；（2）

13、y=x22x+3=（x1）2+4，得顶点坐标是（1，4），由勾股定理，得AC2=32+（03）2=18，CD2=（0+1）2+（34）2=2，AD2=（1+3）2+（40）2=20，AC2+CD2=AD2，ACD是直角三角形，SACD=ACCD=3；（3）如图1，平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P1（1，4），Q（1，4）；如图2，ABQP，PQ=AB=4，14=5，当x=5时，y=25+10+3=12，即P2（5，12）；如图3，ABPQ，PQ=AB=4，P点的横坐标为1+4=3，当x=3时，y=96+3=12，即P3（3，12），综上所述：P1（1，4），P2（5，12），P3（3

14、，12）6如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=16+4b+3得：b=所以二次函数的关系式为：y=x2+x+3当x=0时，y=3点B的坐标为（0，3）（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4x）2解得：x=OP=4=所以点P的

15、坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）7如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点B（0，5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标【解答】解：（1）根据题意，得，解得，二次函数的表达式为y=x24x5；（2）令y=0，得二次函数y=x24x5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）；由于P是对称轴x=2上一点，连接AB，由于，要使ABP的周长最小，只要PA+PB最小；由于点A与点C关于对称轴

16、x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意可得解得所以直线BC的解析式为y=x5；（9分）因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，3）；（3）M（5，0）或（1，0）或（1，0）或（2，0）8如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC

17、，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，解得，该二次函数的解析式为y=x2x4； （2）在线段BC上是存在点E，使得CDE为等腰三角形，由二次函数y=x2x4可知对称轴x=3，D（3，0）C（8，0），CD=5由二次函数y=x2x4可知B（0，4）设BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，得，解得，BC的解析式为y=x4E在线段BC上，设E点坐标为（m， m4）当CD=DE时，即（m3）2+（m4）2=25，解得m1=

18、0，m2=8（不符合题意舍去），当m=0时， m4=4，E1（0，4）； 当EC=DE时，（m8）2+（m4）2=（m3）2+（m4）2，解得m3=，当m=时， m4=4=，E2（，）； 当CD=CE时，（m8）2+（m4）2=25，解得m4=8+2，m5=82（不符合题意舍），当m=8+2时， m4=，即E3（8+2，）；综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，4）； E2（，）；E3（8+2，）9如图，直线y=x+b与二次函数y=x2+x4交于A、B两点，与y轴交于点C，是否存在这样的b，使得AOB是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由【解答】解：直线y=x+

19、b与二次函数y=x2+x4，x+b=x2+x4，解得：x1=，x2=，可以求得A、B的交点坐标分别为：B， +b，A，+b，AOB=90，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，（）2+（+b）2+（+b）2=（2）2+（+b+b）2，b22b8=0解得：b1=4或b2=210如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3）（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），解得，此函数的解

20、析式为y=x22x3，对称轴为直线x=1，即直线x=1；（2）设对称轴与x轴的交点为D，则AD=31=2，如图1，点A是直角顶点时，过点B作BEx轴于E，A（3，0），B（2，3），BE=3，AE=32=1，PAD+BAE=PAB=90，PAD+APD=18090=90，APD=BAE，又ADP=AEB=90，ABEPAD，=，即=，解得PD=，点P的坐标为（1，）；如图2，点B是直角顶点时，过点B作BEx轴于E，作BF对称轴与F，则AE=1，BF=21=1，DF=BE=3，ABE+PBE=90，PBF+PBE=90，ABE=PBF，又AEB=PFB=90，ABEPBF，=，即=，解得PF=，

21、PD=DFPF=3=，点P的坐标为（1，）；如图3，点P是直角顶点时，过点B作BE对称轴于E，1+2=18090=90，1+3=18090=90，2=3，又ADP=PEB=90，APDPBE，=，即=，整理得，PD23PD+2=0，解得PD=1或PD=2，点P的坐标为（1，1）或（1，2），综上所述，在对称轴上存在P1（1，），P2（1，），P3（1，1），P4（1，2）共4个点，使PAB是直角三角形11如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且BAO=45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三

22、角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）将（0，0）、（2，0）代入函数的解析式得：，解得：二次函数的解析式为y=x22x点（0，0）与（2，0）关于x=1对称，抛物线的对称轴为x=1将x=1代入得：y=1点C的坐标为（1，1）（2）BAO=45，直线AB的一次项系数为1设直线AB的解析式为y=x+b，将（2，0）代入得：2+b=0，解得：b=2直线AB的解析式为y=x+2如图1所示：当ADC=90时ADC=90，CDAB直线CD与直线AB的一次项系数的乘以为1直线CD的一次项系数为1设直线CD的解析式为y=x+b将C（1，1）代入得：1+b=1解得：b=2，直线CD

23、的解析式为y=x2将y=x+2与y=x2联立得：解得：x=2，y=0点D的坐标为（2，0）如图2所示：当BCD=90时将y=x+2与y=x22x联立得：，解得：或，点B的坐标为（1，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将（1，3）、（1，1）代入得：，解得：直线BC的解析式为y=2x+1CDBC，直线CD的一次项系数为设直线CD的解析式为y=+c，将点C的坐标代入得： =1解得：c=直线CD的解析式为y=将y=x+2与y=联立得：解得：点Q的坐标为（，）由图形可知CBD=90的情况不存在综上所述，点Q的坐标为（2，0）或（，）12如图：已知，直线l1l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，O

24、B=1（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标【解答】解：（1）由已知得；A（0，2），B（1，0），根据射影定理得：OC=4，故C（4，0）；（2）先将B、C点坐标代入解析式得：求得：再将C点代入解析式可得：c=2，所以解析式为y=x2+x+2；（3）易知BC=4（1）=5，抛物线的对称轴为x=1.5若存在符合条件的P点，根据等腰直角三角形的性质可知：|yP|=BC=2.5，故：P（1.5，2.5）或P（1.5，2.5）13已知二次

25、函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3），代入得：=2，3=c，解得：b=4，c=3，答：b=4，c=3（2）把b=4，c=3代入得：y=x24x+3，当y=0时，x24x+3=0，解得：x1=3，x2=1，B？（3，0），C（1，0），答：二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（3，0），（1，0）（3）存在：理由是：y=x24x+3，=（x2）21，顶点坐标是（2，1），设一次函数的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，1）代入得：，解得：，y=x，设P点的坐标是（x，x），取BC的中点M，