2022年黑龙江省绥化市青冈县高三一诊考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（

2、）ABCD12正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）ABCD3若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）ABCD5已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：在上单调递增；在上没有零点；在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD6是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，n），则（ ）A7B8C9D108已知空间两不同直线、，两不同平

3、面，下列命题正确的是（ ）A若且，则B若且，则C若且，则D若不垂直于，且，则不垂直于9已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）A5B3CD210已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）ABCD11已知定义在上的函数的周期为4，当时，则（ ）ABCD12tan570=（ ）AB-CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有_种.14已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，过

4、点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为_. 15的展开式中，的系数为_（用数字作答）.16设全集，集合，则集合_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）讨论函数的单调性18（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.19（12分）在如图所示的多面

5、体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ，（1）若分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值20（12分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对所有的0，都有，求的最小值；（）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：.21（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.22（10分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名

6、女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程，其

7、中，.7683812526参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE，所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.

8、不妨设，则，.因为，所以，所以，当时，等号成立.此时EH与ED重合，所以，.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.2C【解析】如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.【详解】如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，故，设球半径为，则，解得，故.故选：.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.3B【解析】由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】由题意

9、得，因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限故选：B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.4A【解析】先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.5A【解析】先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编

10、号 故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6D【解析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.7C【解析】根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属

11、难题.8C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确应选答案C9D【解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，即，.设 则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.10A【解析】首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【

12、详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以又，所以的最小值为故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.11A【解析】因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4，当时，.故选：A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.12A【解析】直接利用诱导公式化简求解即可【详解】tan570=tan（360+210）=tan210=tan（180+30）=tan30=故选：A【点睛】本题考查三角函

13、数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数.【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有种，刘老师和王老师分配到一个班，共有种，所以种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.14【解析】设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，设，根据，可求出，得出，再结合焦点

14、三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率.【详解】解：设，由双曲线的定义得出：，由图可知：，又，即，则，为等腰三角形，设，则，即，解得：，则，解得：，解得：，在中，由余弦定理得：，即：，解得： ，即. 故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.1560【解析】根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【详解】因为，所以，则所求项的系数为.故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.16【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则

15、故答案为：【点睛】本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】（1）当时,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.（2）的定义域是.当时,所以当时,；当时,所以在上单调递增,在上单调递减；当时,所以当和时,；当时,所以在和上单调递增,在上单

16、调递减；当时,所以在上恒成立.所以在上单调递增；当时,所以和时,；时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）【解析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.【详解】（1）曲线C：(为参数，)，将代入，解得，即曲线的极坐

17、标方程为，点的极坐标为.（2)由（1），得点的极坐标为，由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.19 (1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2)第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值.试题解析：（1）连接,因为四边形为菱形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以.因为，所以平面.因为分别为，的中点，所以，所以平面（2）设

18、，由（1）得平面.由，得，.过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，如图所示，又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.因为为平行四边形，所以，所以平面.又因为，所以平面.因为，所以平面平面.由（1），得平面，所以平面，所以.因为，所以平面，所以是与平面所成角.因为，所以平面，平面，因为，所以平面平面.所以，解得.在梯形中，易证，分别以，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.则，由，及，得，所以，.设平面的一个法向量为，由得令，得m=(3,1,2) 设平面的一个法向量为，由得令，得.所以又因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值是.20（）函数在上单调递减，在单调

19、递增；（）；（）证明见解析【解析】（）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；（）设g（x）f（x）ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可【详解】解：（） f（x）的定义域为（1，+），当时，f（x）2，当时，f（x）2，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增（）设，则，因为x2，故，（）当a1时，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递减，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）

20、当1a1时，21a1，若，则g（x）2，g（x）单调递增，而g（2）2，所以当时，g（x）2，即f（x）ax；（）当a1时，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递增，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；综上，a的最小值为1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，由（）知a1时，x2，即，x2法一：令，得，即因为，所以，故法二：下面用数学归纳法证明（1）当n1时，令x1代入，即得，不等式成立（1）假设nk（kN*，k1）时，不等式成立，即，则nk+1时，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式对任何nN*都成立故考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明21（1）（2）存在；实数的取值范围是【解