小升初数学热点题型 四比和比例

1、【要点归纳】一、比的认识小升初数学热点题型四 比和比例【重点】1.比的基本性质-比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外）， 比值不变。求比值-比的前项除以后项所得的商。（结果可是整数、小数、分数；一定不能含有比号）化简比-把两个数的比化成最简整数比。（结果是最简整数比；一定含有比号）【难点】比跟分数、除法的主要区别-比表示两个数的倍数关系；分数是一种数； 除法是一种运算。二、比例的认识【重点】1.比例的意义-表示两个比相等的式子。比例的各部分名称-组成比例的四个数叫作比例的项，其中两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。比例的基本性质-在比例里，两个内项的积等于两个外项的积

2、。【难点】解稍复杂一点的比例。解比例的依据是比例的基本性质。三、按比例分配问题的应用【重点】1.已知总量及两个（或几个）部分量间比的关系，求各部分量的具体数量。方法一：分数法-先求按一定的比将总量分成几份，再用总量乘各部分量占总量的分率；方法二:平均分法-先求按一定的比将总量分成几份，用总量除以份数，求出一份的具体数量，再用一份的具体数量与各部分量所占的份数相乘。已知一个具体数量和它与另外一个具体数量间比的关系，求总量。方法一：分数法-先求按一定的比将总量分成几份，再用具体数量除以它所占总量的分率；方法二：平均分法-先用具体数量除以它所占的份数，求出一份的具体数量，再用一份的具体数量乘总量的份

3、数。已知一个具体数量和它与另外一个具体数量间比的关系，求另一个量。方法一：分数法-先求按一定的比将总量分成几份，再用具体数量除以它所占总量的分率；求出总量，然后用总量乘另一个量所占总量的分率；方法二：平均分法-先用具体数量除以它所占的份数，求出一份的具体数量，再用一份的具体数量乘另一个量所占的份数。已知总量及两个部分量间比的关系与差，求具体量或总量。方法一：分数法-先求出每个具体量各占总量的几分之几，然后用较大的具体数量所占总量的分率减去较小的具体数量所占总量的分率，最后用两个具体数量的差除以这个分率，就可求出总量。用总量分别乘以两个具体数量所占总量的分率。方法二：平均分法-先用两个具体数量的

4、差除以两个具体数量所占份数的差，求出一份具体数量，再用一份的具体数量分别乘两个具体数量的份数就可以求出两个具体数量。用一份的具体数量乘总量的份数，就可以求出总量。【难点】上述各种类型比例问题解法的具体应用。四、比例尺【重点】1.比例尺的分类：一、数值比例尺；二、线段比例尺。2.比例尺的意义-图上距离和实际距离的比。【难点】利用比例尺解决问题。五、正比例与反比例【重点】1.正比例-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（x，y）的比值（k 也就是商）一定，这两种量叫作成正比例的量。反比例-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的

5、两个量（x，y）的积一定，这两种量叫作成反比例的量。正比例、反比例的区别与联系联系-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。x区别-正比例：一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小），即 y =k。反比例：一种量扩大（或缩小），另一种量却随着缩小（或扩大），即 xy=k。【难点】1.如何正确判断正比例、反比例及两种量是否成比例。找变量-分析数量关系，确定两种相关联的量；看定量-相关联的量之间相对应的两个数的关系是比值一定，还是积一定；判断-比值一定是正比例，积一定是反比例。2.用正比例、反比例的知识点解决问题。【热点题型】例 1填空。加工一批零件，甲单独做需要 8 小时完成，乙

6、单独做需要 10 小时完成，甲、乙的工作效率比是（）：（）。1 21把3 ： 5 化成最简整数比是（），比值是（）。【答案】（1）5:4 （2）25:3 253【解题思路】（1）要写出甲、乙的工作效率比，关键是先要知道工作效率=工作总量工作时间，其次还可以根据工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例来解。（2）化简比和求比值，为了计算简便，化简比经常和求比值都用同一种方法“前项除以后项”，求出结果。（提示：化简比要把结果写出两个数的比，比值是一个数值）【全程解析】甲的工作效率= 1 ，乙的工作效率= 1 。810所以甲:乙= 1 ： 1=5:4810（2）化简：1 215253 ： 5 =

7、3 5= 3（或 25:3）1 21525比值：3 ： 5 = 3 5= 3【考点点拨】本题（1）主要考查工作效率与工作总量、工作时间的数量关系及分数比的化简方法及过程，难度低。主要考查关于比值、化简比之间的区别与联系，难度低。例 2填空。（）35=0.6=（）%= 15 =（）：15（ ）【答案】2160259【解题思路】先要找出一个数（本题中 0.6= 3 ）的最简分数，作为每一部分的值，5利用分数的基本性质以及分数与除法、比的关系填空。33153【全程解析】0.6=60%，0.6= 5 ， 5 = 25 ， 5 =9:1515故2135=0.6=60%= 25 =9:15。【考点点拨】本

8、题主要综合考查学生对各类数以及比的掌握情况，是典型的考题， 经常出现在小升初的考试中，难度适中。例 3下面是学校操场的平面图，测得的长是 7cm，宽是 3cm，请计算操场的实际面积。【答案】 实际面积是 8400 平方米。【解题思路】要求实际面积，必须知道实际的长和宽，然后利用面积公式 s=长宽，进行计算即可。【全程解析】解法一 由线段比例尺可知图上 1cm 表示实际的 20m。长=207=140（m），宽=203=60（m）。 S=长宽=14060=8400（m）。解法二先由线段比例尺求出数值比例尺。1cm1cm1120m = 2000cm = 2000比例尺 2000 表示实际距离是图上距

9、离的 2000倍。长=72000=14000（cm）=140（m），宽=32000=6000（cm）=60（m）。S=长宽=14060=8400（m）。【考点点拨】此题主要考查数学知识在实际生活中的应用，难度易。例 4解比例。31104.5x： 4 =12： 8 x = 0.816【答案】x=72x= 9【解题思路】解比例就是根据比例的基本性质-内项积等于外项积求出未知数的值。31104.5【全程解析】解x： 4 =12： 8 x = 0.8138 x=12 44.5x=100.83x=12 4 8x=84.516x=72x= 9【考点点拨】本题主要考查关于比例的基本性质的应用，难度易。例 5

10、师傅和徒弟一共加工了 72 个零件，师傅加工的零件个数与徒弟加工的零件个数的比是 5:3，师傅和徒弟各加工了多少个零件？【答案】师傅加工 45 个，徒弟加工 27 个。【思路分析】在 72 个零件中，师傅加工的占 5 份，徒弟加工的占 3 份，零件总53数一共是 8 份。师傅加工的占总量的 8 ，徒弟加工的占总量的 8 。53【全程解析】解 35=872 8 =45（个）72 8 =27（个）答：师傅加工了 45 个，徒弟加工了 27 个。【考点点拨】本题主要考查对按比例分配知识点的运用，为近几年小升初常见易考题型，难度适中。例 6某人走 12 千米路程，他行走的速度与所用时间的关系如下表：速

11、度（km/h）123456时间（h）126432.42（1）根据上表数据，在图一中找出各点，并顺次连结各点。如果以 1.5 千米/时的速度行进，大约需用（）小时才能走完。如果想用 3 小时走完，速度应达到（）千米/时。从图中你发现了什么？图一图二【答案】（1）如图二所示。（2）8（3）4（4）合理即可【思路分析】本题是正反比例的知识点的综合运用，也渗透一定的函数思想、数形结合的思想。【全程解析】 （1）画图时，首先要明确横轴、纵轴所表示的意义及单位长度所表示的量，找出各点依次连结。如图：由 1.5 米/时在纵轴上对应的点可知：大约需用 8 小时才能走完。由 3 小时在横轴上对应的点可知：速度应

12、为 4 千米/时。由图上，我们可以发现：速度越快，所需时间越少；速度越慢，所需时间越多；对应的速度和时间的乘积相等；速度和时间是成反比例的量。【考点点拨】本题是对学生的作图能力、分析判断能力、归纳总结能力的综合考查。是小升初正反比例方面知识的典型常见易考题型之一，难度稍难。【易错诊断】例 1 科学课后，小明观察了学校旗杆影子长度与时间的关系，制成下表：时间/时78910影子长度/m12.11064.3小明由此总结：影子会越来越短，也就是从日出到日落，旗杆影子由长变短。她的总结对吗？为什么?【错解】 对【错误辨析】从早上到中午 ，旗杆影子逐渐变短；从中午到傍晚，旗杆影子逐渐变成。小明没有考虑到事

13、物变化的周期性。【正确答案】错【考点点拨】如果事物变化具有周期规律，应对周期內的变化情况作出完整记录。本题主要考查学生的考虑此类问题是否缜密、细致，难度适中。例 2在梯形中，面积与哪些量成正比例？【错解】面积与高，上底、下底的和成正比例。【错误辨析】考虑两种相关量是否成正比例，要知道它们成比例具备的基本条件是：一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（x，y） 的比值（k 也就是商）一定，这两种量叫作成正比例的量。本题中的解答之所以错误就是没有正确找出哪种量随着哪种量的变化而变化，没有确定不变量（k）。【正确答案】在梯形中，当上下底之和一定时，面积与高成正比例；当高一定时，

14、 面积与上下底之和成正比例。【考点点拨】本题主要考查学生关于正反比例的定义理解的准确性，难度易。例 3判断：圆的直径一定时，圆的周长与成正比例。（）【错解】c【错误辨析】=d。虽然 c 和是相除关系，它们的比值也一定，但是是一个不变量。所以当直径一定时，周长也一定不符合正比例成立条件，因此圆的周长与不成正比例。【正确答案】【考点点拨】本题主要考查学生对正比例定义的理解。不要看到“一定”就认为题中的两个量成正比例，难度适中。例 4下面是电影门票销售数量与销售金额的统计表。销售数量/张12345.销售金额/元1632486480.小明把这两个量的变化情况用如下图像表示。销售金额/元80644832

15、160销售数量/张12345小明表示的对吗？如果你认为不对，请把图像修改正确。【错解】【错误辨析】小明只画了销售数量为 1-5 张的图像，是一条线段，表示的不够完整，小明不清楚图像是表示两个量的所有变化情况。应该将这条线段两端延长， 使其成为一条直线。【正确答案】修改图像见下图销售金额/元8064 修改图像为红色线483216012345销售数量/张【考点点拨】本题主要考查学生对于比例图形的完整性及统计表基础知识的综合运用能力。难度适中。例 5判断：长方形的周长是 20cm，它的长与宽成反比例。（）【错解】 【错误辨析】 长方形的周长是 20cm，则长与宽的和是 10cm，长与宽的和一定， 而

16、不是长与宽的积一定，不符合正比例成立条件，所有长与宽不成反比例。【正确答案】【考点点拨】本题主要考查学生关于反比例定义的理解及熟练程度，和、差一定时，两个变量之间不成比例，难度适中。例 6 铺地的面积一定时，每块方砖的边长和需要的块数成反比例吗?为什么？【错解】成反比例。【错误辨析】边长边长块数=铺地面积，本题中虽然边长与块数是乘积关系， 但是铺地面积同时与两个边长、块数有关系，是三个变量之间的乘积关系。【正确答案】不成反比例。因为边长边长块数=铺地面积。【考点点拨】本题主要考查关于对应的变量成反比例的条件是-必须是相关联的两个变量之间的乘积一定，而不是两个以上或更多的变量。难度稍难。【趁热打

17、铁】一、填空欢乐谷若 5x=4y，则 x 和 y 成（）比例关系。长度一定的铁丝，平均分成若干段，则每段的长度与截得的线段成（） 比例。圆柱的高一定，它的底面半径的平方和体积成（）比例。（ ） 24 4.3:4= 12 =（ ）=（）（）=（）%=（）小数 。如果 xy=2，则 x 与 y 成（）比例。()甲、乙两数的比是 3:5.甲数是乙数的() ；乙数是甲数的（）倍；甲数()()占两数和的() ；甲数比乙数少() ；乙数比甲数多（ ）%。百分号前保留一位小数6如果 y= x ，那么 x 和 y 成（ ）比例。长方形的宽一定，长方形的长和面积成（）比例关系。煤的总量一定，每天烧煤量和能够烧的

18、天数成（）关系。在比例尺是 20:1 的图纸上，一种零件长 2cm。零件的实际长度是（ ）mm。二、判断快车母子两人的身高成正比例。（）住房面积一定，人均住房面积和住房人数成反比例。（）父子两人的年龄成反比例。（）丽丽跳高的高度和她的身高成正比例。（）农田面积一定，单产量和总产量成正比例关系。（）如果 A 与 B 成反比例，那么 3A 与 B 也成反比例。（）图上距离一定，实际距离与比例尺成反比例。（）生产机器的总台数一定，生产天数和每天生产的台数成反比例（） 三、选择超市1甲数和乙数是两种相关联的量，甲数是乙数的 6 ，甲数与乙数（）。成反比例B.成正比例C.不成比例表示 x 和 y 不是正

19、比例关系的式子是（）。yx =k（k 一定）B.xy=k（k 一定）C.y=xk（k 一定）32x 的 4 与 y 的 7 相等，且 x，y 均不为 0，x 与 y 的比值是（）。478A.7B. 4C. 21如果甲乙=丙，当甲一定时，乙和丙（）；当乙一定时，甲和丙（）；当丙一定时，甲和乙（）。成正比例B.成反比例C.不成比例互为倒数的两个数，它们一定（）。成正比例B.成反比例C.不成比例路程一定，车轮的直径和车轮的转数（）。成正比例B.成反比例C.不成比例小刚拿 20 元钱买铅笔，铅笔的单价和购买数量（）。成正比例B.成反比例C.不成比例8.两种相关联的量，一种量扩大，另一种量就（）。A.扩

20、大B.缩小C.扩大或缩小四、计算平台3994（1） 8 ： 10 =x：24（2）6： 25 = 5 ：x五、解答竞技场用长 60cm、宽 48cm 的长方形地砖铺路，需用 450 块。如果改用边长是 40cm的方砖铺地，需要多少块？甲、乙两列火车从相距 900km 的两地同时相向开出，经过 5 小时正好相遇。已知甲、乙两列火车的速度比是 5:4，两列火车每小时各行多少 km？用 160cm 的铁丝做一个长方体框架，已知长、宽、高之比为 5:3:2，这个长方体的体积是多少？实验小学举行团体操比赛，如果每列 25 人，可以排 24 列。如果每列 20 人， 可以排多少列？小轿车每小时行 90 千

21、米，大客车每小时行 55 千米。从甲地到乙地，乘小轿车要用 4.4 小时，乘大客车要用几小时？修一条公路，原计划每天修 180 米，可 25 天完成。实际每天比原计划多修 20米，可以提前几天完工？六、闯关我能行3一辆公交车，开始只有 4 的座位坐了乘客，到站后下车 4 人，又上来 6 人。这时已做的座位与空座位数量比是 4:1，这辆车共有多少个座位？同学们植树。五年一班比五年二班少植 13 棵，五年一班有 45 人，平均每人植树 7 棵，五年二班有 41 人，平均每人植树多少棵？一、填空欢乐谷1.【答案】正【趁热打铁】答案及解析x44【解析】若 5x=4y ，根据比例的基本性质可变为y =

22、5 ，因为 5 是一个常数（数x值不变化的数字或字母），x、y 的比值一定，满足 y =k（一定），故成正比例。2.【答案】反【解析】长度一定的铁丝，平均分成若干段。说明铁丝的长度是不变化的常数，很显然平均分成的段数越多，所截得线段的长度越短，即 x（每一段）y（段数）=L（铁丝长度），线段的长度、段数是乘积关系，符合反比例成立条件。3.【答案】正【解析】圆柱体的体积 V=Sh，本题中的 h 一定也就是说v =h（一定），v、s 这s两个量是比值一定，符合正比例成立的条件。4.【答案】93234750.7 5【解析】本题先要找出一个数的最简分数作为每一部分的值，利用分数的基本性质以及分数与除法

23、、比的关系填空。因为 3:4= 3 是最简分数， 3 = 93 = 243 =343 =75%3 =0.754412432444所以 3:4= 912= 24 =34=75%=0.75325.【答案】反【解析】因为 xy=2（一定），xy 这两个量是乘积关系，符合反比例成立条件， 所以 xy=2 成反比例。6.【答案】 31 23553882566.73【解析】因为甲、乙两数的比是 3:5.改成比的形式为 3:5= 5 ；乙数是甲数的几倍5就用乙数除以甲数，即 3 =1 23 ；甲数占两数和的几分之几，因为甲、乙两数的总3份数是 3+5=8，其中甲是 3 份，则甲= 8 ；甲数比乙数少几分之几

24、，其中乙是 52份，甲是 3 份，乙-甲=5-3=2，即甲数比乙数少 5 ；乙数比甲数多百分之几，乙-2甲=5-3=2，甲是 3，所以乙数比甲数多 3 66.7%。7.【答案】反6【解析】因为 y= x ，根据比例的基本性质可得 xy=6（一定），xy 这两个量为乘积关系且等于常数 6，符合反比例成立条件。8.【答案】正【解析】因为长方形的面积 s=长（a）宽（b），长方形的宽（b）一定，也就s是a =b，符合正比例成立的条件。9.【答案】反【解析】因为煤的总量=每天烧煤量天数，而煤的总量一定，每天烧煤量和能够烧的天数这两个量是乘积关系，符合反比例成立条件。10. 【答案】1【解析】因为比例尺

25、=20:1=201 ,零件的图上距离是 2cm，求实际距离，即实际距201离=图上距离比例尺，21 =2 20 =0.2（cm）=2（mm）。二、判断快车【答案】【解析】本题中母、子两人的身高不能因为年龄的原因简单地认为成正比例，它们之间身高的变化不是成规律性、周期性的，比值不是一个不变量，所以不成正比例。【答案】【解析】因为当住房面积一定时，住的人数越多，平均每个人的人均住房面积就越小，这两个量之间是乘积关系，符合成反比例的条件。【答案】【解析】本题与第一题的情况相同，父、子两人的身高不能因为年龄的原因简单地认为成反比例，它们之间身高的变化不是成规律性、周期性的，乘积不是一个不变量，所以不成

26、反比例。【答案】【解析】因为丽丽跳高的高度可能和她的身高有一定关系，身高越高，跳的越高， 但是并不是说两个量的比值是固定不变的，所以不能成正比例。【答案】【解析】本题与第二题情况相同，因为农田面积一定时，总产量=农田面积单总产量产量，也就是单产量=农田面积（一定），符合成正比例关系的条件。6.【答案】【解析】因为 A 与 B 成反比例，即 AB=K（一定），所以 3AB=3K（一定），3A、B 两个量是乘积关系，符合反比例成立条件，即 3A 与 B 也成反比例。【答案】【解析】因为比例尺=图上距离实际距离，比例尺实际距离=图上距离（k 一定），比例尺与实际距离两个量是乘积关系，符合反比例成立条

27、件，故答案是正确的。【答案】【解析】因为机器总量=每天生产量生产的天数，当生产机器的总台数一定是， 生产的天数越多，每天的产量越少；反之，生产的天数越少，每天的产量越多。两个量是乘积关系，所以符合反比例成立条件。三、选择超市【答案】B11甲 数 1 【解析】因为甲数是乙数的 6 ，也就是甲数= 6 乙数，即乙数= 6 ，甲、乙两个相关量的比值一定，符合正比例成立条件，故选 B。【答案】B【解析】要想知道下面各选项哪个不是正比例关系，只需要知道哪一个式子中的x、y 这两个量的比值不是一定的即可。B。Xy=k（一定），其中的 xy 这两个量是乘积关系，并不是比值不变，故选 B。【答案】C32【解析

28、】要想知道 x 与 y 的比值，只需要把 x 的 4 与 y 的 7 相等，根据题意列出3223248相关的等式为 4x= 7 y，所以 x：y= 7 4 = 7 3 = 21 ，故选 C。【答案】BAA【解析】因为甲乙=丙，当甲一定时，丙乙=甲（一定），此时两个量的乘积不变，符合成反比例的条件，故选 B；因为甲乙=丙，当乙一定时，甲丙=乙（ 一定 ），此时两个量的比值不变，符合正比例成立条件，故选 A；因为甲乙=丙，当丙一定时，甲乙=丙（ 一定 ），此时两个量的比值不变，符合正比例成立条件，故选 A。【答案】B【解析】如果相关量互为倒数，也就是互为倒数的两个数乘积为 1，此时两个量的乘积不变

29、，符合成反比例的条件，故选 B.【答案】B【解析】因为当路程一定时，车轮的直径越大，每一圈转过的路程越长，需要转动的圈数就越少，此时两个量的乘积不变，符合成反比例的条件，故选 B。【答案】B【解析】因为小刚用 20 元钱买铅笔，总钱数是不变的，铅笔的单价越高，购买数量就越少；反之，铅笔的单价越低，购买数量就越多。单价与数量这两个量是乘积关系，符合成反比例的条件，故选 B。【答案】C【解析】因为两种相关联的量之间的变化情况只有两种，即一种量扩大（或缩小），另一种量也扩大（或缩小），但是，不能确定这两种量是否成正比例或反比例。例如当一本书的页数不变时，看完的的页数越多，没看完的页数就越少，但是这两

30、种量之间就不是比例关系。故选 C。四、计算平台6【答案】x=10（2）x= 125【解析】解比例首先要清楚比例的基本性质，即内项积=外项积。3994解：（1） 8 ： 10 =x：24（2）6： 25 = 5 ：x934910 x=24 86x= 5 2593610 x=96x= 125936x=9 10 x= 125 66x=10 x= 125五、解答竞技场【答案】答：需用 810 块。【解析】因为用长 60cm、宽 48cm 的长方形地砖铺路，一共需要 450 块，通过这个条件可以知道铺路面积是多少；改用边长是 40cm 的方砖铺路时，总的铺路面积没有发生变化，这就是解决问题的关键，即方砖

31、的边长边长块数（方砖）=长宽块数（长方形地砖）。解：设需用 x 块。依题意得：4040 x=6048450解得：x=810 答：需用 810 块。【答案】答：甲每小时行 100km，乙每小时行 80km。【解析】因为甲、乙两列火车从相距 900km 的两地同时相向开出，即同时异地相向而行，两地路程=速度和时间。本题中的行驶时间是 5 小时，路程是 900km，54而甲车、乙车的速度比是 5:4，速度和是 4+5=9.甲的速度= 45 ，乙的速度= 45 ，速度和=两地路程时间，即 9005=180（km/h）。54故甲的路程：9 005 45 =100（km） 乙的路程：9005 45 =80（km） 答：甲每小时行 100km，乙每小时行 80km。【答案】答：这个长方体的体积是 1920cm。5【解析】已知长、宽、高之比为 5:3:2，所以长、宽、高的和为 10 份，长占 532 、32宽占 532 、高占 532 。铁丝总长=（长+宽+高）4，1604=40（cm）532长= 40 532 =20（c