随机信号分析：第四章 线性系统

1、4.1、线性系统基本理论什么是线性时不变连续线性系统？Lx(t)y(t) = Lx(t)（1）若输入信号 x(t) 时移时间 ，输出 y(t) 也只引起一个相 同的时移，即 y(t - ) = Lx(t - )（2）对于任意常数 a、b，输入信号 x1(t)，x2(t)，有 Lax1(t) + bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)LTI systemUnit Impulse Response & Frequency Response 幅度平方频响常见线性电路的冲激响应及频响X(t)RCr(t)X(t)RCr(t)X(t)RLr(t)X(t)RLr(t)* 高斯滤波器* 理想带通

2、滤波器4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数4、系统输出的自相关函数5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩h(t)X(t)Y(t)4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩因果稳定系统

3、4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分

4、析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶矩4.2、随机信号通过连续时间系统的分析summaryh(t)X(t)Y(t)mX(t)RXX(t1,t2)mY(t)RYY(t1,t2)RXY(t1,t2)RYX (t1,t2)h(t)mX(t)mY(t)h(t1)RXX(t1,t2)h(t2)h(t2)h(

5、t1)RYY(t1,t2)RYX(t1,t2)RXY (t1,t2)4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 若输入宽平稳则输出宽平稳若输入严平稳则输出严平稳若输入宽遍历则输出宽遍历4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 4.

6、2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 对于单位冲击响应为 h(t) 的连续时不变，稳定的，线性的物理可实现 系统，若输入信号是均值为 mX 和相关函数为 RXX() 的宽平稳信号，则 连续时不变线性系统的输出信号是宽平稳的随机信号，且输入信号和 输出信号是联合宽平稳的结论4.2、随机信号通过连续时间系统的分析summaryh(t)mXmYh()RXX()h(-)h(-)h()RYY()RXY()RYX ()h(t)X(t)Y(t)mXRXX()mYRYY()RXY()RYX ()WS

7、SWSS4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 若输入 X(t) 是宽遍历的，则输出 Y(t) 也是宽遍历的4.2、随机信号通过连续时间系统的分析t = 0 时域分析法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 单侧随机信号4.2、随机信号通过连续时间系统的分析 时域分析

8、法 系统输出的平稳性、遍历性及其统计特性的计算 1、输入为宽平稳、遍历随机信号 2、输入为非平稳随机信号 与时间 t 有关！例题讲解例题讲解4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性及其统计特性的计算频域分析法 输出均值输出功率谱密度输入输出互谱密度输出平均功率4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性及其统计特性的计算频域分析法 输出均值输出功率谱密度输入输出互谱密度输出平均功率因为于是有所以，直接可以通过系统传函和输入均值得到输出的均值，无需进行复杂的卷积计算所以4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性及其统计特性的

9、计算频域分析法 输出均值输出功率谱密度输入输出互谱密度输出平均功率由于摒弃了相位信息，由输入和输出随机信号的功率谱，并不能唯一确定系统的传函，这和确定信号和系统情形是不同的4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性及其统计特性的计算频域分析法 输出均值输出功率谱密度输入输出互谱密度输出平均功率当系统性能未知时，若能设法得到输入输出互谱密度，则可以完成系统辨识，即确定系统的频率响应或传递函数白噪声激励4.2、随机信号通过连续时间系统的分析时域分析法 系统输出的平稳性及其统计特性的计算频域分析法 输出均值输出功率谱密度输入输出互谱密度输出平均功率这一点在研究信号通过线性系统

10、之后的信噪比变化中具有重要意义！4.2、随机信号通过连续时间系统的分析summaryH()SXX()H(-)H(-)H()SYY()SXY()SYX ()h()h(-) rh() = h()h(-) |H()|2mXmYH(0)4.3、随机信号通过离散时间系统的分析什么是线性时不变离散线性系统？Lx(n)y(n) = Lx(n)（1）若输入信号 x(n) 时移时间m，输出 y(n) 也只引起 一个相同的时移，即 y(n-m) = Lx(n-m)（2）对于任意常数a、b，输入信号 x1(n)，x2(n)，有 Lax1(n)+bx2(n) = aLx1(n) + bLx2(n)LTI system

11、Unit Impulse Response & Frequency Response 幅度平方频响4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出

12、自相关函数4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数、功率输入平稳4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型输出表达式输出均值输入输出互相关函数输出自相关函数、功率输入平稳若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型功率谱密度表达式输出平均功率的计算输出均值4.3、随机信号通过离散时间系统的分析时域分析法 频域分析法 时间序列信号模型功率谱密度表达式输出平均功率的计算输出均值理论和实际应

13、用上具有重要意义的两个问题：（1）如何设计一个线性系统，使其输入为白噪声时，输出为具有所希望的功率谱密度的色噪声（2）如何设计一个线性系统将其输入的色噪声变成白噪声：白化滤波器4.4、色噪声的产生与白化滤波器h(t)h(t)一个线性系统在具有单位功率谱密度的白噪声激励下，其输出功率谱密度为白噪声激励下的线性系统，其输出为色噪声4.4、色噪声的产生与白化滤波器4.4.1、色噪声的产生连续：离散：4.4、色噪声的产生与白化滤波器4.4.2、白化滤波器一个线性系统在具有功率谱密度 SX() 的色噪声激励下，其输出功率谱密度均匀分布的白噪声：连续：离散：4.5、白噪声通过线性系统的分析LTIN(t)Y

14、(t)实际中很大一部分平稳随机信号都能看作是受白噪声激励的线性系统的输出，因此，对白噪声通过线性系统的研究就等价于对这些平稳随机信号的研究white noiseband-pass noise4.5.1、白噪声通过线性系统SXX()-WWN0/2B4.5.2、系统（矩形）等效噪声带宽系统频率响应实际输入信号功率谱等效限带白噪声信号等效带宽等效噪声/信号带宽噪声/信号功率计算4.5.2、系统（矩形）等效噪声带宽信号矩形等效带宽（Hz）信号矩形等效带宽与其相关时间成反比（零均值、低通信号）SX(f)maxSXX(f)f0Beq（Hz）4.5.2、系统（矩形）等效噪声带宽白噪声激励 消耗在1电阻上的系

15、统输出端总平均功率为 理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 H(0)|H()|max|H()|0K|HI()|04.5.2、系统（矩形）等效噪声带宽4.5.2、系统（矩形）等效噪声带宽例题：分析RC积分电路的等效噪声带宽4.6、线性系统输出端信号的概率分布在很多应用场合特别是信号检测中，若系统输出端信号和噪声的低阶统计特性相仿，为了避免虚警和漏检现象，需要获得各自输出过程完整的概率分布律。然而：（1）除非是计算出所有阶次的矩（必须存在），否则连输出的一维分布的确定都无一般性的方法（2）利用（1）中穷尽求矩的方法非常繁琐，在实际中并不可行（3）对于有些分布的随机过程而言，其矩并不存在，

16、如具有冲激分布的随机过程（此时只存在“分数阶矩”）（4）实际中常借助于实验方法（如直方图法）（5）有两种例外情况可以很容易地确定系统输出的概率分布问题的提出特征函数不可微4.6、线性系统输出端信号的概率分布（1）LTI系统输入为高斯信号，输出仍为高斯信号（2）LTI系统输入为非高斯信号，但信号带宽远大于系统带宽，则输出 近似为高斯分布，譬如白噪声激励一窄带系统的输出h(t-)X()kk+K 宽带信号相关性随时间衰落很快，若相关时间tc远小 于k，这样相隔k的两个状态几乎不相关乃至独立 窄带系统单位冲击响应持续时间Td较长 若信号带宽远大于系统带宽，则 tc k Td 此时系统输出状态为大量独立

17、随机变量的和，根据 中心极限定理，近似为高斯分布补充（Ch6）：非线性系统无惰性（无记忆）非线性系统：系统输出 Y(t) 只取决于同时刻的输入 X(t)，而与其过去及未来值无关；特点：（1）叠加原理不再适用；（2）输出端可产生输入信号不含有的新频率分量；（3）分析方法繁杂实例：（1）硬限制：g(x) = sgn(x);（2）线性半波检波：x 0, g(x) = 0; x 0, g(x) = 0;（3）线性全波检波：g(x) = | x |;（4）平方器：g(x) = x2;（5）二次失真：g(x) = x + kx2;g(x)X(t)Y(t)补充（Ch6）：非线性系统6.1、传输特性 g(x)

18、 可逆时非线性系统输出概率密度的计算根据输入信号幅度的可能取值范围，确定输出信号幅度的可能取值范围（很重要！）；写出输入随机信号的一维概率密度函数 fX(x;t) 或二维概率密度函数 fX(x1,x2;t1,t2)；写出非线性系统的传输特性 y = g(x) 及其反函数 x = h(y)；根据反函数的单值性或多值性求雅可比因子（具体方法见第二章第2.1.3节的讨论）确定可能取值范围内输出的一维概率密度或二维概率密度： fY(y) = fXx = h(y) |dh(y)/dy| fY1Y2(y1,y2) = | J | fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)补充（

19、Ch6）：非线性系统高斯信号通过线性系统后仍是高斯的，但通过非线性系统后却不一定是高斯的！补充（Ch6）：非线性系统6.2、非线性系统输出矩的四种计算方法一、直接法（假定输入宽平稳）写出传输特性 g(x) 和输入信号的一维概率密度 fX(x) 和二维概率密度函数 fX(x1,x2;t1,t2)；输出均值：输出自相关：输出平均功率：输出功率谱密度：自相关函数的傅立叶变换* 直观，但需要 g(x) 和输入信号概率分布比较简单，否则积分难于计算补充（Ch6）：非线性系统 若输入信号为严平稳，则其一维概率密度与时间无关，二 维概率密度只和时间差有关，所以输出信号为宽平稳 若输入信号仅为宽平稳，其一维概率密度可能与时间是有 关的，所以输出信号未必是宽平稳的，这和线性系统情形 是不一样的例：随机信号 X(t) = Acos0t + Bsin0t，其中 A 和 B 是两个 零均值，方差相同但概