导数微分及其应用课件

1、第二章 导数微分及其应用17 七月 20222大学数学基础 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为九间算术作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极

2、限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础 。17 七月 20223大学数学基础第一节 函 数区间一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间 ： 满足不等式 axb一切实数的全 体。闭区间 ： 满足不等式 axb的一切实数的 全体。 半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。 ：a x b17 七月 20224大学数学基础表示全体实数，或写成 x ；表示大于a的全体实数，或写成a x +；表示小于a的全体实数，或写成 x a；表示 a x +；表示N的一切an，有不等式 | an a| 称数列an以有限数a为极限，常数a叫作

3、数列an当n时的极限。或称数列an收敛到a，记作17 七月 202217大学数学基础(2)、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。 (3)、有界数列对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M an0，总存在一个0，0|x-x0|时，有 | f(x)-A|0，作直线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域. 对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+)但xx0时，有不等式：点（x, f(x)）落在上面所做的一横条区域内。17 七月 202226大学数学基础17 七月 202227大学数学基础17 七月 20

4、2228大学数学基础、当x时函数f(x)的极限17 七月 202229大学数学基础解17 七月 202230大学数学基础 、 极限的四则运算法则当x 时，性质也成立。17 七月 202231大学数学基础数列极限四则运算也有类似的定理:17 七月 202232大学数学基础17 七月 202233大学数学基础所以 解 注意到17 七月 202234大学数学基础分母的极限不为零。解17 七月 202235大学数学基础 4、两个重要极限17 七月 202236大学数学基础解因此17 七月 202237大学数学基础解17 七月 202238大学数学基础解先用x去除分母及分子，然后取极限.17 七月 20

5、2239大学数学基础解17 七月 202240大学数学基础5、无穷小量和无穷大量 、无穷小量例如一个函数 当 时以0为极限，称该函数为当 时的无穷小量。17 七月 202241大学数学基础.定理无穷小量阶 17 七月 202242大学数学基础17 七月 202243大学数学基础下面是几个常用的等价无穷小： 17 七月 202244大学数学基础、无穷大量17 七月 202245大学数学基础17 七月 202246大学数学基础第三节 连 续1、连续的定义17 七月 202247大学数学基础17 七月 202248大学数学基础区间连续的定义17 七月 202249大学数学基础连续函数的图象是一条连续

6、的曲线。 17 七月 202250大学数学基础17 七月 202251大学数学基础2、初等函数的连续性定理 基本初等函数在定义域内都连续。定理 初等函数在定义域上的区间上连续。17 七月 202252大学数学基础解17 七月 202253大学数学基础3、 闭区间上连续函数的性质有界性定理 闭区间上连续的函数在此区间上一定有界。17 七月 202254最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在此区间上一定有最大值和最小值即：大学数学基础17 七月 202255大学数学基础17 七月 202256大学数学基础17 七月 202257大学数学基础证明 17 七月 202258大学数学基础如果记f(x

7、)在闭区间a, b上的最的大值为M，最小值为m, 且mcM，那么存在一点a, b使得 f()=c。17 七月 202259大学数学基础17 七月 202260大学数学基础第四节 函数的导数一、导数的概念 两个例子 (1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？ 17 七月 202261大学数学基础17 七月 202262大学数学基础(2)、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0) ？17 七月 202263大学数学基础1、定义存在，则称这个极限为函数 f(x)在点x0处的导数，并称函

8、数f(x)在x0处可导或有导数。(点导数)17 七月 202264大学数学基础如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导 。解：17 七月 202265大学数学基础17 七月 202266大学数学基础2、定义(区间导数)17 七月 202267大学数学基础导函数的定义式为17 七月 202268大学数学基础解：17 七月 202269大学数学基础3、 基本求导公式和求导法则基本求导公式17 七月 202270大学数学基础导数的四则运算 17 七月 202271大学数学基础解：解：17 七月 202272大学数学基础解：17 七月 202273大学数学基础复合函数的求导法则链锁法则 17

9、 七月 202274大学数学基础解：将函数分解的两个简单函数 ， 根据链锁法则，有17 七月 202275大学数学基础解：将函数分解的两个简单函数 ， 根据链锁法则，有17 七月 202276大学数学基础4、高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 17 七月 202277大学数学基础解：先求函数的一阶导数 再求一阶导数的导数 二阶是一阶导数的导数 17 七月 202278大学数学基础17 七月 202279大学数学基础第五节 函数的微分一、微分的概念 1.定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy= 。 微分的表达式2.定理：可导函数一定

10、可微，可微函数一定可导。17 七月 202280大学数学基础二、微分的几何意义xyOxAT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从x变到x+dx时，曲线y=f(x)在点A处的切线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。17 七月 202281大学数学基础解：因为所以17 七月 202282大学数学基础三、 基本微分公式17 七月 202283大学数学基础四、 微分的运算17 七月 202284大学数学基础解：用函数乘积的微分法则， 17 七月 202285大学数学基础17 七月 202286大学数学基础第六节 导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP17 七月 202287大学数学基础17 七月 202288大学数学基础二、洛必塔法则 17 七月 202289大学数学基础解：因为所以17 七月 202290大学数学基础17 七月 202291大学数学基础大学数学基础解：因为所以17 七月 202292大学数学基础三、函数的单调性17 七月 202293大学数学基础解：17 七月 202294大学数学基础四、函数的极值函数的极大值和极小值都称为函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点。 17 七月 202295大学数学基础称使 为零的点为函数的