四平面向量应用举例

1、第四节平面向量应用举例【最新考纲】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.夯实双一基JI基础梳理向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理:a/b?口=入bx1y2x2ys=0(bM0).证明垂直问题，常用数量积的运算性质：adb?ab=0?X1X2+yiy2=0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算,cosa,bcosa,bab=X1X2+yyI4|b|Vx2+yx2+y2，|AB|=|AB|=aB2=(X2X1)2+(y2y1)2向量在物理学中的应用向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用.向量在速度的分解与合成

2、中的应用.向量的数量积在合力做功问题中的应用：W=fs.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.学情自测(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“X”)TOCo1-5hz若AB/AC，贝SA,B,C三点共线.()解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()在厶ABC中，若AB-BCV0,则厶ABC为钝角三角形.()已知三个力fl,f2,fs作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1=(2,2),f2=(-2,3),则|为5.()解析：(1)、(2)显然正确.

3、在(3)中，AB-BC=-BA-BCv0,BA-BC0,贝yB为锐角，ABC不一定为钝角三角形，(3)不正确.(4)中，由题意知fl+f2+f3=0,二f3=(f1+f2)=(0,-5),馬|=5.(4)正确.答案：(1)(2)V(3)X(4)V若(3,1)是直线I的一方向向量，则直线I的倾斜角为()A.A.Bn亠5nC.5?D.2n3解析:由已知得直线I的斜率k=33,所以其倾斜角为n6.答案：A3.设向量a=(1,cos0)与b=(1,2cos0)垂直，则cos20解析：a=(1,cos0),b=(1,2cos0)./alb,ab=1+2coS0=0,二cos20=2coS01=0.答案：

4、0n（2014山东卷）在厶ABC中，已知ABAC=tanA,当A=石TOCo1-5hz时，ABC的面积为.解析：已知A=6，由题意得|AB|AC|cos；=tan6,|AB|AC|=3所以ABC的面积S=；|AB|AC|sin；=；=；1答案：；河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为.解析：如图所示，V1表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速度，V表示小船的实际速度，则|v2|=|V1|2+|v|2=226(m/s).答案：226m/s名师微博通法领悟一种手段实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间转化的主要手段是向量的坐标运算

5、.两点注意1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与现象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.2.要注意交换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.鑫謡邈高效提能I即ABAC=0,所以AB丄必所以ABC为直角三角形.又根据条件，不能得到|品|=|AC|.答案：D质点受到平面上的三个力Fi，F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知Fi,F2成60角，且Fi,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为（）A.27B.25C.2D.6解析：如右图所示，由已知得Fi+F2+F3=0,二F3=(Fi+

6、F2).F2=F2+f2+2FiF2=F2+f2+2|Fi|F2|cos60=28.IF3匸27.答案：A4.平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,则厶OAB的面积等于()|d2|b|2(ab)2ia2|bf+(ab)2C；a2|bf(ab)D.*甘吋+(ab)2解析：因为cosab解析：因为cosabab=iaibi，所以sin/AOB=sina,b1-则S%ob=|c|b|xsin/AOB=；|c|2|bf(ab)2.答案：Cn5.若函数y=Asin(3汁)(A0,0,W|空)在一个周期内的图象如图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OMON=o（o为坐标原点），则a

7、等于（）A.6B12nD迈D.3兀6儿解析:Tn兀兀4=312=4，T=n，nnnMd2,A,N+-12+2，AJ,即|A.6B12nD迈D.3兀6儿解析:Tn兀兀4=312=4，T=n，nnnMd2,A,N+-12+2，AJ,即|冗7n12，答案：B6.在平面上，ABi丄AB2,|OBi|=|OB2|=1,AP=aeb1+aB2.若|OP|1,则|OA|的最大值是()解析：由题意，点Bi,B2在以0为圆心的单位圆上，点P在以10为圆心，半径为2的圆内.又AB,丄AB2,AP=AB,*AeI2,二平行四边形AB1PB2为矩形，则点A,P在以|BiB2|=2为直径的圆上，当点P与0重合时，|0A

8、|最大，最大值为2答案：A二、填空题7.(2014陕西卷)设0vBVQ，向量a=(sin20,cos0),b=(1,cos0)，若ab=0,则tan0=.解析：由ab=0,可得sin20cog0=0,即2sin0cos0coS0=0,整理得cos0(2sin0cos0)=0.冗又因为0v00),B(0,ya)(ya0),tP(x,y)与Q关于y轴对称，.Q(x,y),由BP=2PA,即(x,yyo)=2(X0 x,y),f=3可得2(x,y0).yo=3y,飞(3又OQ=(x,y),AB=(xo,yo)=qx,3y|TOQaB=1,A；x2+3y2=1(x0,y0).3点P的轨迹方程为2x2+

9、3y2=1(x0,y0).11.(2014陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在厶ABC三边围成的区域(含边界)上.若PA+PB+PC=0,求|OP|；设OP=mAB+nAC(m,nR)，用x,y表示mn,并求mn的最大值.解：法一tPA+PB+PC=0,又PA+PB+pC=(1x,1y)+(2x,3y)+(3x,2y)=(63x,63y),63x=0,63y=0,解得心2?y=2,即OP=(2,2),故|OP|=22.法二tpA+pB+pC=0,则(OAOP)+(OBOP)+(OCOP)=0,op=1(oa+ob+oC)=(2,2),|OP|=22.(2)tOP=mAB+nAC,(x,y)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,两式相减得,令yx=t,由图知，当直线y=x+1过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.一、选择题1.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PAPB=x*12,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解