2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最值讲义新人教A版

1、第2课时函数的最值1函数f(x)在1，)上()解析：函数f(x)是反比例函数，当x(0，)时，函数图象下降，所以在1，知识点函数的最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(maximumvalue)状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.教材解难1教材P80思考函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义“最大”是指没有比它更大的，“值”是指一定是函数值以f(x)x2为例，画出其图象(图略)可以发现：

2、所有函数值都不大于1，但1不是f(x)的某个函数值，因而1不是f(x)的最大值；存在x0使f(x0)1，即1是f(x)的某个函数值，但1不是f(x)的函数值中最大的，因此也不是f(x)的最大值两项要求均满足的函数值只能是0，即函数f(x)x2的最大值为0.2教材P80思考一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)m；(2)存在x0I，使得f(x0)m.那么，我们称m是函数yf(x)的最小值(minimumvalue)基础自测1xA有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最大值也无最小值1xf)上f(x)为减函数，(1)为f(x

3、)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选A.答案：A2函数f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分别为()A3,5B3,5C1,5D5,3解析：因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.答案：B3函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0B0,2Cf(2)，2Df(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax2.点(2，f(2)是最低点，故yminf(2)答案：C4函数f(x)2x24x4有最_值，为_解析：f(x)2x24x42(x22x1)22(x1)22答案：

4、小2题型一图象法求函数的最值经典例题例1如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数yf(x)当x3时取得最大值，最大值是3.当x1.5时取得最小值，最小值是2.观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(1.5，2)方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域3x，x1，解析：y|x1|2x1，x1，图象如图所示例2已知函数f(x)2(x2,6)，求函数的最大值和最小值f(x1)f(x2)x11x21由图象知，函数

5、y|x1|2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(，2利用x的不同取值先去绝对值，再画图题型二利用单调性求函数的最大(小值)教材P81例5x1【解析】x1，x22,6，且x1x2，则222x21x11x11x212x2x1x11x21.所以，函数f(x)2在区间2,6上单调递减x1由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)x12因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值在x2时取得最大值，最大值是2；在x6时取得最小值，最小值是0.4.状元随笔x1x1x1跟踪训练2已知函数f(x)，求函数f(x)在1,5上的最值解析：先证明函

6、数f(x)的单调性，设x1，x2是区间，上的任意两个实数，2x12f(x1)f(x2)336x2x12x112x212x112x21f(x1)f(x2)，所以函数f(x)312x12上是单调递减的，因此，函数f(x)在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最即最大值为f(1)3，最小值为f(5).22由函数f(x)(x2,6)的图象(如图)可知，函数f(x)在区间2,6上单2调递减所以，函数f(x)在区间2,6的两个端点上分别取得最大值和最小值.教材反思1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数

7、f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.32x1311且x2x12，.1由于x2x12，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即在区间，上是单调递减的，所以函数f(x)在1,532x1小值，13(1)当a时，求函数f(x)的最小值；【解析】(1)当a时，f(x)x2.f(x)在区间1，)上的最小值为f(1).例

8、已知函数f(x)，x1，)设1x10恒成立，试求实数a的取值范围1122x12121x10,2x1x22，11100，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.【反思与感悟】在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.Ay2By3x2一、选择题1下列函数在1,

9、4上最大值为3的是()1xCyx2Dy1x解析：B，C在1,4上均为增函数，A，D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案：Ax7，x1，1，2函数f(x)2x6，x1，2，则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6B10,8C8,6D以上都不对解析：当1x1时，6x78，当1x2时，82x610.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.故选A.答案：A3函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在2,2上的最小值、最大值分别是()4已知函数f(x)，x8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值，无最小值Bf(x)有最大值，最小值A1,3B0,2C1

10、,2D3,2解析：当x2,2时，由题图可知，x2时，f(x)的最小值为f(2)1；x1时，f(x)的最大值为2.故选C.答案：C2x1x1535735Cf(x)有最大值，无最小值Df(x)有最大值2，最小值x1x1375752x135解析：f(x)2，它在8，4)上单调递减，因此有最大值f(8)，无最小值故选A.答案：A二、填空题1，x1，5函数f(x)x的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)13所以yt2t1t2，x4b4x22，x11x1；当x1)上的最小值是，则b_.11解析：因为f(x)在1，b上是减函数，所以f(x)在1，b上的最

11、小值为f(b)，所以b4.答案：4三、解答题8已知函数f(x)|x|(x1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题1(2)求函数f(x)在区间1，上的最大值x2x，x0，(1)写出函数f(x)的单调区间；2解析：f(x)|x|(x1)x2x，x0的图象如图所示1(1)f(x)在，和0，)上是增函数，121因此f(x)的单调递增区间为，0，)；121113(2)因为f，f()，13所以f(x)在区间1，上的最大值为.9已知函数f(x)，x3,5因为f(x1)f(x2)12x12x21x11x212在，0上是减函数，2单调递减区间为，0.2424242x1x1(1)判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值解析：(1)函数f(x)在3,5上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3x1x25.2x11x212x21x11x1