考研数学线代课件

1、第 三 章向量与向量空间n维向量及其n维向量空间向量组的线性相关及其线性无关向量组的秩 研究人造地球卫星在天空运行时的状态，人们不但希望知道它的几何轨迹，还希望知道它在某时刻t的位置及表面温度 和压力p。在数学上，我们如何表示卫星的状态呢？ 我们已知，卫星在某时刻t的位置可用三元有序数组（x，y，z）来表示，那么在某时刻t的状态可用六元有序数组（ t ，x，y，z ， ， p）来表示。 由此可知，在许多实际问题中，所研究的对象需要用多个数构成的有序数组来描述，仅用三元有序数组即几何向量是不够的。因此有必要把几何向量推广到n维向量。第三节 n维向量及其运算主要内容1. n维向量的概念2. n维向

2、量的线性运算 n个数a1，a2，an所组成的有序数组a1，a2，an称为n维向量，记作 行向量列向量列向量记作：行向量记作：注 以后没有特别说明，所说向量均指列向量。这n个数称为该向量的n个分量，其中第i个数ai 称为第i个分量.（a1，a2， ,an）或【定义3.7】一、n维向量的概念两向量相等零向量向量 的负向量实向量：分量为实数的向量；复向量：分量为复数的向量. 除特别指明外，一般只讨论实向量.加法运算减法运算数与向量的乘法 与 的和向量 与 的差向量注 两个向量的加、减运算可推广到n个向量，你会吗？ 与数k的积向量，简称 的数乘向量。 n维向量的加法运算和向量与数的数乘运算统称为向量的

3、 线性运算。二、n维向量的线性运算向量线性运算的性质加法数量乘法例1. 线性方程组的向量方程形式:设方程组为:令向量根据向量的线性运算有：方程组的向量方程形式 解设M（x，y，z）为直线上的点由题意知：M 为有向线段 的定比分点。特别地 第四节 向量组的线性相关主要内容1.向量组及其线性组合2.线性相关与线性无关3.线性相关的性质4.线性相关的判定1、向量组与矩阵的关系 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。得到一个有m个n维列向量组成的向量组，给定一个nm型矩阵或一个有n个m维行向量组成的向量组.一、向量组及其线性组合 给出一个由m个n维列向量组成的向量组可构成一个

4、 型矩阵：矩阵的列向量组由n个m维行向量组成的向量组也可构成一个nm型的矩阵矩阵的行向量组即：含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。2、线性组合的概念【定义3.10】 称为向量组A的一个线性组合。设有向量组 若存在一组数k1，k2，km使 则说向量 的线性组合，或者说向量 线性表示.【定义3.10】【注】 10 定义中的一组数k1，k2，km只要存在即 可，不一定唯一20 零向量可由任何向量组线性表示。 给出几个向量，如何判断、如何求一个向量能不能由其它向量线性表示？分析：【问题】解：设有一组实数k1，k2，k3使是否存在？如果存在就表示可以线性表示；如果不存在就不能线性表示。解：解线性方

5、程组得出k17，k25，k303、等价向量组例2 单位坐标向量组e1=(1,0,0)T，e2= (0,1,0)T ，e 3= (0,0,1)T和向量组1= (1,1,1)T ，2= (1,1,0)T ，3= (1,0,0)T是否等价? 解 因为 1 = e1+e2+e3， 2 = e1+e2， 3 = e1.又容易解出 e1= 3， e2= 2 - 3 ， e3= 1 - 2 .可见这两个向量组可以相互线性表示，因此它们是等价的向量组。 设有两个n维向量组如果向量组A中的每一个向量都可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示.如果向量组A和B可以相互线性表示，则称这两个向量组等价.

6、【定义3.11】例3 向量组1=(0,0)T，2= (0,3)T和向量组1= (1,2)T ，2= (1,3)T是否等价?解 由于1=01+02，2=32-31，所以向量组1, 2可由向量组1，2线性表示.但1的第一个分量是1，而1，2的第一个分量全都是零，所以它们的任何线性组合其第一个分量总是零，于是向量组1，2与向量组1，2不等价.故1不能由1，2线性表示，因此向量组1，2不能由向量组1，2线性表示.关于向量组的等价，显然有下面三条性质： (1) 自反性：向量组A与其本身等价； (2) 对称性：若向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A也等价； (3) 传递性：若向量组A与向量组B等价

7、，向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价.4、向量组A可由向量组B线性表示的矩阵形式j=k1j 1+k2j 2 + +ktj t1， A 2， , s =（1，2，t）( )BK= =（1，2，t） =（1，2，t）向量组A由向量组B线性表示的系数矩阵（*）=（1，2，t）把向量组A 构成的矩阵记作: A=（1，2，s）,把向量组B 构成的矩阵记作: B=（1，2，t）.A组能由B组线性表示，即对每个向量j（j=1,2, ,s）存在数k1j，k2j ，ktj，使:反之，若存在矩阵Kts使式（*）成立，则向量组A能由向量组B线性表示.于是 列向量组A：1，2，s能由列向量组B： 1，

8、2， ，t线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kt s使A=BK ，这里矩阵A，B分别是以向量组A和向量组B为列构成的矩阵. 【思考】： 若向量组A、B为行向量组，会有什么结果呢？对式（*）两边进行转置即得： 行向量组A：1T，2T，sT能由行向量组B： 1T，2T，tT线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kst使A=KB ，这里矩阵A，B分别是以行向量组A和行向量组B为行构成的矩阵.由此可得若矩阵A经初等列变换变成矩阵B(A与B列等价)，则矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组等价.证明思想 若矩阵A经初等列变换变成矩阵B，则存在可逆矩阵P，使B= AP 矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示 右

9、乘P-1 A= B P-1矩阵A的列向量组可由矩阵B的列向量组线性表示 矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组等价.同理，若矩阵A经初等行变换变成矩阵B(A与B行等价)，则矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价. 否则，称这个向量组线性无关，即仅当k1=k2=km=0时,才有 设有n维向量组 ，如果存在一组不全为零的数k1，k2，km使 则称向量组 线性相关，注 所谓向量组 线性相关，是指存在一组不全为零的数k1，k2，km使成立。在这里存在的这组数k1，k2，km是一组不全为零的数，而不是全不为零的数。二、线性相关与线性无关的定义 【定义3.12】【问题】：给出一个向量组，如何判断线性相关还是无关？证明(解)： 设有一组实数k1，k2，ks使若k1，k2，ks不全为零，则线性相关，若只有零解，则线性无关。例4 试判断下列向量组的线性相关性 解使得 即 因为其系数行列式于是方程组只有零解，线性无关。所以是否全为零？全为零时，说明这三个向量具有什么性质？不全为零时，又如何？解 设有一组实数k1，k2，k3使即解方程组得： k1=k2=k3. 若取k1 =1，则存在不全为零的数1，1，1使得故向量组 线性相关。n维向量组 称