北京市海淀区北京57中2021-2022学年高三最后一卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2在中，角、所对的边分别为、，若，则（ ）ABCD3若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD4已

2、知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）ABCD5如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A16053B6423C9633D256236由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD7如图，在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）ABCD8已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为

3、（ ）ABCD9已知函数若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）ABCD10已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）ABCD11已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）ABCD12已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_.14已知等差数列的各项均为正数，且，若，则_.15在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为_.16已知函数，若函数

4、有3个不同的零点x1，x2，x3(x1x2x3)，则的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.18（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.19（12分）已知，分别是三个内角，的对边，（1）求；（2）若，求，20（12分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.

5、21（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.22（10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，且（1）求的方程；（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则，且将代入双曲线方程中，得到设则由，可得，故则，解得则所以双曲线离心率故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题

6、，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.2D【解析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.3B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用4A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是

7、红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.5A【解析】设球心为O，三棱柱的上底面A1B1C1的内切圆的圆心为O1，该圆与边B1C1切于点M，根据球的几何性质可得OO1M为直角三角形，然后根据题中数据求

8、出圆O1半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积【详解】如图，设三棱柱为ABC-A1B1C1，且AB=12,BC=5,AC=13，高AA1=4所以底面A1B1C1为斜边是A1C1的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆O1，圆O1与边B1C1切于点M，则圆O1的半径为O1M=12+5-132=2设球心为O，则由球的几何知识得OO1M为直角三角形，且OO1=8-4=4，所以OM=22+42=25，即球O的半径为25，所以球O的体积为43(25)3=16053故选A【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形

9、，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法（2）若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c，则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c2，合理利用中间结论可提高解题的效率6A【解析】先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.7A【解析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积【详解】由题意等腰梯形中，又，是靠边三角形，从而可得，折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，外接球球

10、心必在高上，设外接球半径为，即，解得，球体积为故选：A【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体8A【解析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到

11、截面的距离去计算.9D【解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】，令，得，其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）（图1）（图2）于是可得，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.10A【解析】结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断【详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，且，当时，为函数的一个极小值点，而故选：【点睛】本题主要考查了正弦函

12、数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用11C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，又由，结合函数的单调性分析可得答案【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题12B【解析】根据分段函数，分当，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当时，令，在是增函数，时，有一个零点，当时，令当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时，取得最大值，因为在上有3个零点，所以当时，有2个零点，如图所示：所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为， 故选：B

13、【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得，,即故答案为14【解析】设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【详解】设公差为，因为，所以，所以，所以 故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.15【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积【详解】解：双曲线：双曲线中，则双曲线的一条准线方程为，双曲线的渐近线方程为：，可得准线方程与双曲线的两条渐近线所

14、围成的三角形的顶点的坐标，则三角形的面积为故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题16【解析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1x2x3)，分情况讨论求出的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，即+m=0有两个不同的解，解之得 即或因为的导函数，令，解得xe，解得0 xe，可得f（x）在（0，e）递增，在递减；f(x)的最大值为 ，且 且f(1)=0；要使函数有3个不同的零点，（1）有两个不同的解，此时有一个解；（2）有两个不同

15、的解，此时有一个解当有两个不同的解，此时有一个解，此时 ，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是 解得 ，此时=-m，此时 有两个不同的解，此时有一个解此时 ，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得 ，此时=，综上：的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）是定值，详见解析【解析】（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.（2）设，则，直线，令得，则，直线，令，得，则，再根据求解.【详解】（1）依

16、题意得，解得，则椭圆的方程.（2）设，则，直线，令得，则，直线，令，得，则，.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.18（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）分、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，所以，.所以，.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法

17、证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.19（1）； （2），或，.【解析】（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；（2）由余弦定理，结合题中数据，可得解【详解】（1）由及正弦定理得因为，所以，代入上式并化简得由于，所以又，故（2）因为，由余弦定理得即,所以而，所以，为一元二次方程的两根所以，或，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20（1）e；（2）2.【解析】（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；（2）设，求导，求

18、出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.【详解】（1）根据题意，与的图象关于直线对称，所以函数的图象与互为反函数，则,，设点，又，当时，曲线在点处的切线为，即，代入点，得，即，构造函数， 当时，当时，且，当时，单调递增，而， 故存在唯一的实数根.（2）由于不等式恒成立，可设，所以，令，得. 所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数. 故函数的最大值为 .令， 因为， ，又因为在是减函数.所以当时，.所以正整数的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.21（1）见解析；（2）【解析】（1）要证明，只需证明即可；（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出的图象即可.【详解】（1）令，则，当时，故在上单调递增，所以，即，所以.（2）