基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定设计(共16页)

1、基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定(zhndng)设计现代控制理论(lln)论文学院(xuyun)班级学号姓名指导老师2015.06.20目录(ml)引言(ynyn)1.1研究(ynji)背景1.2国内外研究现状二.系统描述2.1数学模型描述及参数设置2.2设计过程中的问题描述三系统特征分析四系统设计4.1线性系统稳定性条分析4.2二次型最优控制设计五结论六参考文献一.引言(ynyn)1.1研究(ynji)的背景倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身(bnshn)又是一个多变量、强耦合、快速、非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映

2、控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及追踪问题等，可以作为一个经典的控制对象对其进行研究。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和对绝对不稳定系统的能力。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构建组成参数和形状易于改变，成本低廉。倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观地体现、显著。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，位自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验

3、某种控制理论或方法的经典方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。2.2国内外研究现状分析倒立摆系统的研究始于20世纪50年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后世界很多国家豆浆一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的经典方案：后来人们参照双足机器人控制问题研究二级倒立摆控制设备，二级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛见于某些实验室中。在1993年，三极摆的仿真控制已经实现，美国、日本、俄罗斯、瑞士等很多国家的科研机构都对倒立摆进行了很多的研究，提出了很多先进的控制算法。日本的科研工作者们在1997年成功的实验了平面倒立摆的控制，获得了非常好的控制效果

4、，与此同时，瑞士国家工程研究院的Bernhard Sprenger等实现了直线运动机器臂的平面倒立摆的控制，并且具有很好的鲁棒性。我国的倒立(dol)摆研究虽然起步比较晚，但是随着倒立摆系统的广泛应用，国内很多大学和科研机构都对倒立摆进行了很多的卓有成效的工作。现在我国的倒立摆研究在某些方面已经走在了世界的前列。2002年8月北京师范大学数学系李洪兴教授(jioshu)领导的科研团队采用“变论域自适应模糊控制理论”成功地实现了全球首例“四级倒立摆实物(shw)系统控制”。而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利

5、用前景。二系统描述2.1数学模型描述及参数设置倒立摆系统是一类典型的多变量、非线性、不稳定系统,因其运动特性与火箭飞行、双足机器人行走等现代高科技存在相似性,因此对其研究有着重要的意义。现以单级倒立摆系统为例, 应用上述设计方法的思路实现对其有效控制。单级倒立(dol)摆系统(如图2.1)是由刚性摆杆、电机和小车(xioch)组成,电机施加(shji)的水平控制力使小车根据摆杆偏角的变化而在轨道上左右运动,从而使摆杆始终保持垂直位置。应用牛顿动力学原理对系统建立非线性数学模型：图2.1单级倒立摆系统示意图在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2

6、.4所示。图2.2直线一级倒立摆模型其中：小车质量摆杆质量小车摩擦系数摆杆转动轴心到杆质心的长度摆杆惯量(gunling)加在小车(xioch)上的力小车(xioch)位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2.3是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2.3所示，图示方向均为矢量正方向。图2.3小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (3.1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (3.

7、2)即： (3.3)把这个(zh ge)等式代入式(3.1)中，就得到系统(xtng)的第一个运动方程： (3.4)为了(wi le)推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (3.5) (3.6)力矩平衡方程如下： (3.7)由于,，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： (3.8)设(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即，如下(rxi)定义的格兰姆矩阵非奇异： rank(=n 矩阵(j zhn)的列线性独立。利用matlab对系统进行能观性分析:clear;clc;A= 0 1 0 0;0 0

8、0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 1 0 0;D= 0 0 ;rank(C A*C A2*C A3*C)ans = 4系统具有可观性图3.3系统可控性，可观性可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。因此接下来，我要进行控制器的设计。四.系统的设计4.1线性系统稳定性条分析(fnx)由于稳定性是系统在自由运动下的特性，故只需考虑(kol)自治系统为维状态(zhungti)向量；为时间变量； 为维函数，其展开式为： 如果对于所有，满足 的状态称为平衡状态(又称为平衡点)。如果系统是线性定常的，也就是说，则当为非奇异矩

9、阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解(对所有，总存在)。任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于线性系统只有一

10、个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。4.2二次型最优控制设计在控制系统中，为了(wi le)达到同一个控制目的，可以有多种方案，具有最小能量的控制方式更具有实际意义。对于 （1）系统性能和控制能量的要求(yoqi)可以由下列二次型性能指标来描述： （2）Q是对称正定（半正定）加权矩阵，R是对称正定加权矩阵，他们反映了设 计者对状态x和控制u中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态x衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q、R，调和上述(shngsh)矛盾，问题归结为，对给定系统（1）和保证一定性能指标（2）的前提下，,设计一个控制器u，使J最小。MATLAB中的函数K,P,E=lqr(A,B,Q,R)K是最优反馈增益矩阵，P是黎卡提矩阵方程的对称正定解矩阵，E是最优闭环系统的极点。系统的最优反馈控