自动控制理论：第二章自动控制系统的数学模型

1、第二章自动控制系统的数学模型内容提要：本章重点: a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图典型环节传递函数、传递函数的函数 方块图等效变换、信号流图的化简 第二章自动控制系统的数学模型 通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。 设控制系统求出输出响应控制系统输入输出tr(t)0tc(t)0有输入信号时第二章自动控制系统的数学模型第一节 引言第四节 控制系统的结构图及其等效变换 第五节 反馈控制系统的传递函数第二节 微分方程的建立第二章自动控制系统的数学模型第三节 传递函数第一节 引言问题：第二章自动控制系统的数学模型何为

2、数学模型?数学模型的种类? 常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型第一节 引言输入输出描述 ：状态变量描述 ：描述系统的输入与输出之间的数学关系 用一组（几个）独立的状态变量，来描述一个n阶系统的数学关系 第二节 微分方程的建立一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立 三、 线性微分方程式的求解上一目录第二章自动控制系统的数学模型第二节 微分方程建立（1）确定系统的输入变量

3、和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。（2）建立初始微分方程组 将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立牛顿第二定律: 物体所受的外力和等于物体质量与加速度的乘积 虎克定律: 弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积粘性摩擦定律: 粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积ucur二、常见环节和系统微分方程的建

4、立1 RC电路+-ucur+-CiR输入量：输出量：(1) 确定输入量和输出量(2) 建立初始微分方程组(3) 消除中间变量，使式子标准化ur= Ri + uci = Cducdt根据基尔霍夫定律得： 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RCducdt+ uc= urRC电路是一阶常系数线性微分方程。第二节 微分方程建立列写图所示 网络的微分方程。解: 1.明确输入量、输出量网络的输入量为电压 ，输出量为电压2.列出原始微分方程式。根据电路理论得 为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。3.消去中间变量,整理得 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-4所示无源网络的

5、数学模型。RLC无源网络2-12机械位移系统系统组成：质量弹簧阻尼器输入量弹簧系数km阻尼系数fF(t) 输出量y(t) (2) 初始微分方程组F = ma根据牛顿第二定律系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t) FB(t) FK(t) = ma中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间 变量得:第二节 微分方程建立3他激直流电动机Ud系统组成：直流电机负载输入:电枢电压励磁电流If电磁转矩Te负载转矩TL摩擦转矩Tf工作原理： 电枢电压作用下产生电枢电流，从

6、而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度n第二节 微分方程建立图 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压ua(t)(v)为输入量，电动机转速m(t)(rad/s)为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。图2-2解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的1.确定输入输出量 电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 电

7、枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程 Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Cem(t) Ce反电势系数(v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：2.列微分方程2-1(2-2)(2-3)-电动机转距系数 （Nm/A）是电动机转距系数-是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）电动机轴上的转距平衡方程： fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm电磁转距方程： 电动机机电时间常数（s） (2-4)(2-5)在工程应用中，由于电枢电

8、路电感La较小，通常忽略不计，因而(2-4)可简化为、求出ia(t)，代入同时亦代入得：3.消去中间变量如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 (2-5)还可进一步简化为(2-6)电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。4液位系统第一章里已经介绍了工作原理：其中:qi0流入箱体 的流量qo0流出箱体 的流量qi0qo0h0液面高度h0qi流入箱体 流量增量+qiqo流出箱体 流量增量+qoh液面高度 增量+hA箱体面积根据物料平衡关系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡时：qi0=qo0故dtAdh(t)=qi(t)-

9、qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第二节 微分方程建立齿轮系的运动方程J1J2基本关系式齿轮1和齿轮2的运动方程以齿轮1的角速度 为输出，外部 为输入（2-15）（2-16）非线性系统微分方程的线性化（举例）取一次近似，且令 既有已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数解. 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量

10、变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量2.控制系统微分方程的建立例:速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TG系统输出 系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方

11、程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1 将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。微分方程r(t)c(t)第二节 微分方程建立三、线性微分方程式的求解 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代

12、数方程复数域s代数方程的解求解拉氏反变换微分方程的解第二节 微分方程建立1拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：(1) t m: 特征根（极点）: 相对于 的模态 复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：设I. 当 无重根时 复习拉普拉斯变换有关内容（15）例2 已知，求解.例3 已知，求解. 复习拉普拉斯变换有关内容（16）例4 已知，求解一.解二： 复习拉普拉斯变换有关内容（17）II. 当 有重根时(设 为m重根，其余为单根) 复习拉普拉斯变换有关内容（18） 复习拉普拉斯变换有关内容（19）例5 已知，求解.线性定常微分方程求解例6 R-C 电路计算(1) 输

13、入 u r (t)影响系统响应的因素(2) 初始条件(3) 系统的结构参数 规定 r(t) = 1(t) 规定0 初始条件 自身特性决定系统性能影响系统响应的因素2.3 控制系统的复域模型传递函数2.3.1 传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。2.3.2 传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数： 首1标准型： 尾1标准型： 2.3 控制系统的复域模型传递函数例7 已知将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解.首1标准型尾1标准型增益 2.3 控制系统的复域模型传递函数2.3.3 传递函数的性质 (1) G(s)是复函数； (2) G

14、(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。 例8 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1） 2.3.3 传递函数的性质(1)2.3.3 传递函数的性质(2)(2) (4) 如图所示(3) (5) (6)

15、 2.3.3 传递函数的性质(3)（7）其中初条件引起的自由响应部分(1) 不相等实数极点Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：例 求拉氏变换 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1 ) s=p1(s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)+e-t21e-3t第二节 微分方程建立(2) 复数极点A(s)(s p1 )(

16、s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共轭复数极点分解为=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s+A2 s=p1根据求待定系数A1 ,A2 . 例 求拉氏变换 s(s2+9) F(s)= s+1解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +第二节

17、微分方程建立(3) 重极点A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)下面举例说明第二节 微分方程建立例 求拉氏变换 (s+2)F(s)= s(s+1)2(s+3) 解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：-12A1= 23A3= 112A4= d2-1F(s)(s-p1 )2A2= s=p11 (

18、 (2-1)! ds2-1)d= s=-1 ds(s+2) s(s+3) -34= -34A2= +-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：第二节 微分方程建立5用拉氏变换解微分方程 下面举例说明求解线性微分方程的方法。例 求拉氏反变换 r(t) =20I(t)+2c (t) = r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：(1) 将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20s20s+5s+30= C(s)(s2+3s+2) (2) 解代数方程 s(s2+3s+2) C

19、(s)= 5s2+30s+20(3) 求拉氏反变换 s(s+1)(s+2)= 5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t第二节 微分方程建立例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。r(t) =(t) + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt c(0) = c(0) = 0解：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11求拉氏反变换得：c(t) = e t

20、sin t 输出响应曲线 c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二节 微分方程建立第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函数 及其动态响应 拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型传递函数。第二章自动控制系统的数学模型第三节传递函数使用传函应注意的问题 :1传递函数只适用于线性定常系统 2分子阶次分母的阶次，即mn 3传函取决于系统的结构、元件参数，与输 入信号的形式无关 4传函是在初始条件为零时（卷积公式微分方程）进行拉氏变换得到的 5一个传函只能表示一个输入对一个输出的关系；它不能完全反映信号传输中的中间变量，也无法全面反映多输

21、入多输出系统的特性。输出拉氏 变换 一、 传递函数的定义及求取 设一控制系统输入输入拉氏 变换输出传递函数的定义： 零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s) =表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统G(S)第三节传递函数例 求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量输入量根据基尔霍 夫定律：i = CducdtLdidtur= R i + uc拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2Uc (s)+Uc (s)=Ur (s) 传递函 数为: G (s) =Uc (s)Ur (s)1LCs2 + R

22、Cs + 1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2第三节传递函数dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例 求液位控制系统的传递函数. 将上式两边求拉氏变换： 设解：得 asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Q(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa =bh02传递函数为H(s)Abs+1b=Q(s)第三节传递函数零初始条件下拉氏变换得：(a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an )C(s) = (b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm )R(s) 系统微分方程的一般表达式为：

23、dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1系统传递函数的一般表达式为=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)G(s)= 将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即n=mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)放大系数传递函数的极点传递函数的零点第三节传递函数传递函数性质：（1） 传递函数只适用于线性定常系统。（2） 传

24、递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。（3） 传递函数为复变量S 的有理分式。 （4） 传递函数是在零初始条件下定义的， 不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。第三节传递函数 不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。 二、 典型环节的传递函数及其 动态响应第三节传递函数c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍数取拉氏变换:得传递函数:1比例环节微分方程:R(s)C(s)G(s) =K 比例环节方框图 KR(S)C(S)K1SC(s)=R

25、(s)=1S单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第三节传递函数K= -R1R2 比例环节实例(a)uruc-+R1R2运算放大器(b)线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第三节传递函数单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2惯性环节微分方程: +c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs + 1= 惯性环节方框图 R(

26、S)C(S)1+Ts1拉氏反变换得:c(t) = K(1 e tT-) 单位阶跃响应曲线设 K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第三节传递函数uruc-+R2R1C 惯性环节实例(a)运算放大器R2CS+1R2/R1G(s) = (b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)S+1G(s) = 第三节传递函数R(s)C(s)G(s) =1TsTsC(s) = R(s) = r(t)dc(t)dtT微分方程：时间常数3积分环节传递函数：拉氏变换： 积分环节方框图 R(S)C(S)Ts1单位阶跃响应：1TS1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t 单位阶

27、跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:第三节传递函数 积分环节实例(a)运算放大器uc-+RCur1RCSG(s) = (b)直流伺服电机+-UdMSKG(s) =第三节传递函数4微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节微分方程：微分时间常数 微分环节方框图 单位阶跃响应：c (t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s) = TsTS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反变换得:c(t) =T(t) 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构成的微分环节-+RucCurG(s) =RC s第三节传递函数+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环

28、节RCsRCS+1 G(s)= TsTs+1= 理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数:单位阶跃响应: 1sTsTs+1G(s)=1s+1/T c(t) = e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。 第三节传递函数采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1) 单位阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数5. 振荡环

29、节 微分方程： + c (t) = r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2 时间常数 阻尼比T传递函数：1T2S2 + 2T S+ 1=R(s)C(s)G(s) =G(s) =T 21T 21T 2S2 +S+n2n2n S2+2 S+=T1n = 无阻尼自然振荡频率 振荡环节方框图 S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应： c(t)=1-1-2Sin(dt+)e 单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：(1) 机械位移系统 (2) 他激直流电动机 (3) RLC电路1/

30、Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=第三节传递函数R(s)C(s)G(s)= e-s c(t) = r (t )1(t ) R(S)C(S)e-s6时滞环节延时时间数学模型： 时滞环节方框图 传递函数：时滞环节作近似处理得1+s1G(s) =1+s+2!2s2+ 11 阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简 动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第四节

31、控制系统的结构图及其等效变换 一、 建立动态结构图的一般方法 设一RC电路如图:初始微分 方程组ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)+-uruc+-CiR=I(s) RUr(s)Uc(s)Ur(s)1R-I(s)Uc(s)I(s)Uc(s)1CS表示为：组合为：Uc(s)1CS以电流作为 输出：Ur(s)1R-I(s)Uc(s)1CSUc(s)=I(s)1CS 系统动态结构图由四种基本符号构成： 信号线 综合点方框 引出点 系统动态结构图将各变量之间的数学关系用结构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任意两变量之间的传递函数。

32、 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 绘制动态结构图的一般步骤:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 建立他激直流电动机的动态结构图。 解：电枢回路部分： 微分方程为+ebud =Ra id+Ladiddt取拉氏变换:Ud(s)=RaId(s)+La sId(s)+Eb(s) 整理得：Ud (s)Eb(s)=Id(s)(Ra+Las)=Id(s)Ra(1+s)La Ra令：La RaTa=则有Ra(Tas+1)Ud(s)Eb(s)=

33、Id (s) 1/RaTas+1Ud(s)_Eb(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 电机转轴部分：微分方程:TeTL=GD2375dndt.Te=Cmid TL=CmiL 拉氏变换得：Te(s)TL(s)=GD2375sN(s)Te(s)=CmId(s) TL(s)=CmIL(s) 整理得：Id (s)IL(s)=GD2375CmsN(s)即令得GD2 Ra375CmCeTm= Id (s) IL (s) =N(s)SGD2 Ra375CmCeCeRaId (s) IL (s) =N(s)CeRaTmS 用框图表示为 Id(s) IL(s)RaCeTmSN(s)_反电势部分：

34、拉氏变换微分方程 用框图表示为 CeN(s)Eb(s)eb=CenEb(s)=CeN(s) 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 N(s)Eb(s) 将三部分框图连接起来即得电动机的动态结构图。 Ud(s)_Eb(s)1/Rd1+TdsIL(s)RaCeTms_N(s)Ce 电动机的动态结构图Id(s)IL(s)RaCeTms_N(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 液位控制系统如图所示，试建立系 统的动态结构图。解：系统输入系统输出液位控制系统 结构图：hr(s)h(t)构机阀门浮球水箱杠杆(1) 水箱bAbs+1Qi (s)H(s)= Qi(s)(2) 浮球和杆杠 流量

35、的变化量与液位的偏差量成正比：Qi (s)=pH(s)H(s)=Hr(s)-H(s)浮球质量忽略不计：(s)系统的动态 结构图:H(s)PH(s)_bAbs+1Hr(s)Qi(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 试建立位置随动系统的动态结构图。解： 第一章已介绍工作原理系统的构成电位器放大器电动机减速器负载第四节 控制系统的结构图及其等效变换 (1) 电位器系统结构框图r c电位器放大器电动机减速器-=r-cUe=Ks=Ks(r-c )r(s)_KSc(s)Ue(2) 放大器Ud=KaUeUd(s)Ka(3) 电动机已求得n为输出的动态结构图,以m 为输出时:dmn=dtN(s)=s

36、m (s)La忽略不计时电机的动态结构图:CeS_m(s)IL(s)_1RaCeTmSRa1S(4) 齿轮减速器m=ic c(s)1i第四节 控制系统的结构图及其等效变换 对于RLC电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。例 求图所示电路的动态结构图。ii2+-uruc+-R2R1ci1解： I2(s)I1(s)+Uc(s)Ur(s)_CS1R1+R2Uc(s) RC电路动态 结构图： I(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 i1i2+-urC1uc+-C2R1R2例 画出图所示电路的动态结构图。解：1R1I1(s)_1 C1S1R21 C2SUr(s)

37、UC(s)I2(s)_U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第四节 控制系统的结构图及其等效变换 二、 动态结构图的等效变换与化简 系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。1动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后 保持不变。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 C1(s)（1）串联两个环节串联的等效变换：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n个环节串联 n i=1G(s) =Gi (s)C1

38、(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串联！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串联！第四节 控制系统的结构图及其等效变换 R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2) 并联两个环节的并联等效变换：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)+G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n个环节的并联 n i=1 G (s)= Gi

39、 (s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 E(s)=R(s) B(s)+=R(s) E(s)G(s)H(s) +1G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)环节的反馈连接等效变换： 根据框图得：等效R(s)C(s)1G(s)H(s)G(s)=C (s)=E(s)G(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 （4）综合点和引出点的移动1) 综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换： b综合点之间交换：bccbaaaaaabcacb不改变数学关系不改变数学关系aa综合点与引出点之间不能交换！

40、第四节 控制系统的结构图及其等效变换 2）综合点相对方框的移动前移：R(s)C(s)G(s)F(s)R(s)G(s)C(s)F(s)G(s)C(s)F(s)C(s)F(s)1G(s)C(s)=R(s)G(s)F(s) 数学关系不变！后移：F(s)R(s)G(s)C(s)C(s)=R(s)F(s)G(s) F(s)R(s)G(s)C(s)F(s)G(s)C(s)C(s)G(s)G(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 3）引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移：R(s)R(s)C(

41、s)G(s)R(s)R(s)G(s)1被移动的支路中串入适当的传递函数。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 G1(s)G2(s)G3(s)H(s)_+R(s)C(s)a移动a_G2(s)H(s)例 化简系统的结构图，求传递函数。 先移动引出点和综合点，消除交叉连 接，再进行等效变换，最后求得系统 的传递函数。解：交换比 较点G2(s)G1G2G3G2H+-R(s)C(s)G1G2+G31+G2H1 等效变换后系统的结构图： G1G2+G311+G2H-R(s)C(s)R(s)C(s)=1+G2H1+1+G2HG1G2+G3G1G2+G3G1G2+G31+G2H+G1G2+G3 =第四节 控制

42、系统的结构图及其等效变换 例 求RC串联网络的传递函数。1R11C1S1C2S_R(S)C(S)1R2 RC串联网络动态结构图解：错！C2S1R1注意：综合点与引出点的位置不作交换！ R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系统传递函数： R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=H(s)=R1C2S (R1C1S+1)(R1C1S+1)G(s)=1第四节 控制系统的结构图及其等效变换 信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点表示变

43、量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。信号流图的组成要素及其术语输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。回路起点与终点重合且通过任何节点不多于

44、一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X5二、信号代数运算法则取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图的节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点三、根据微分方程绘制信号流图根据方框图绘制信号流图方块图转换为信号流图示例1方块图转换为信号流图示例2Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，除去第k 条前向通路相接触的回路传递函数，余下的即为k。kG 系统总传递函数 流图特征式所有不同回路的传递函数之和每两个互不接触回路传递函

45、数乘积之和 每三个互不接触回路传递函数乘积之和任何m个互不接触回路传递函数乘积之和信号流图梅逊公式LiLi Lj Li Lj Lz = 1 + 梅逊公式 回路内前向通道和反馈 通道传递函数的乘积。梅逊公式：回路传递函数： 特征式 各回路传递函数之和。 两两互不相接触回路的传 递函数乘积之和。 所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。 (s)=nk=1Pk kLiLi Lj Li Lj LzLiLi Lj Li Lj Lzk 将中与第 k 条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。Pk 第k 条前向通道的传递函数。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 一个前向通道的情况

46、只有一条前向通路三个不同回路L1、L2不接触 P1与L1、L2、L3均接触多个前向通道的情况例 系统的动态结构图如图所示，求 闭环传递函数。 G1G2G3H1G4H2_C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1 = G1G2H1L2L2 = G2G3H2L3L3 = G1G2G3L4L4 = G1G4L5L5 = G4H2Li Lj =0Li Lj Lz =0= 1+G1G2H1 +G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1 = G1G2G31= 1P2 = G1G42= 1将 、Pk 、k代入梅逊公式得传递函数： G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3

47、H2 +G1G2G3+G1G4+G4H2第四节 控制系统的结构图及其等效变换 L1L2L3H1_+G1+C(s)R(s)G3G2例 求系统的闭环传递函数 。解: L1=G3H1L2=G1H1L3=G1G2P1=G1G21=1 G3H1 =1 +G1G2+G1H1G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1G3H1G1G2 (1 G3H1)=第四节 控制系统的结构图及其等效变换 第二章总 结 自动控制 系统建立微分 方程系统传递 函数R(s)C(s)(s)=建立动态 结构图拉氏变换梅逊公式等效变换解析法拉氏变换分析系统 性能时域法根轨迹法频率法第三章第四章第五章性能校正第六章第二章自动控制系统

48、的数学模型第五节 反馈控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数二、系统的闭环传递函数三、系统的误差传递函数第二章自动控制系统的数学模型一、系统的闭环传递函数1给定信号R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s) 系统的典型 结构： 设 D (s)=0典型结构图 可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的闭环传递函数:R(s)C(s)(s)=1 +G(s)H(s)G(s)第五节 反馈控制系统的传递函数2扰动信号D(s)作用设 R (s) = 0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s) 系统的典型 结

49、构： +D(s) 动态结构图 转换成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反馈通道:闭环传递函数为：D(s)C(s)d(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第五节 反馈控制系统的传递函数_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)三、系统的误差传递函数1给定信号R(s)作用误差输出的动 态结构图: R(s)+D(s) 前向通道: 反馈通道: 设 D(s)=0 E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1误差传递函数为：R(s)E(s)er(s)=第五节 反馈控制系统的传递函数+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2扰动信号D(s)作用R(s) R(s)作用下误差输出的动态 结构图: 前向通道: 反馈通道: R(s) = 0E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s