结构力学课件：II_5-6讲_矩阵位移

1、第11章 矩阵位移法11-1 概述11-2 一般杆件的单元刚度矩阵11-3 整体刚度矩阵11-4 等效结点荷载11-5 计算步骤及刚架分析算例11-6 连续梁、桁架及组合结构的分析11-7 矩阵位移法程序设计要点11-1 概 述传统位移法手算矩阵位移法电算原理同，实施方法不同矩阵分析法矩阵力法(柔度法) 应用少矩阵位移法(刚度法) 应用广2. 矩阵位移法步骤1. 矩阵分析法位移法1)离散将原结构分离成单元(杆件)2)单元分析建立单元杆端力与杆端位移关系3)整体分析建立结构结点力与结点位移关系4)再次单元分析计算单元最终杆端力2) 建立单刚方程： F e = ke e 3) 建立总刚方程和位移法

2、方程并求解：F = K , K =P单元刚度矩阵整体刚度矩阵145263789101) 离散：对单元、结点编码 4) 再次单元分析：叠加法求单元最终杆端力 3. 坐标系与正负号规定采用右手坐标系: (1) 各个单元的坐标系局部坐标系; (2) 整体结构的坐标系整体坐标系.xy123A(0,0,0)B(1,2,3)C(4,5,6)D(0,0,0)结点(杆端)力、位移均沿坐标正方向为正.11-2 一般杆件的单元刚度矩阵1. 结点(杆端)力、位移向量单元杆端位移向量单元杆端力向量图中物理量均为正ij2. 局部坐标系下的单元刚度矩阵(1) 单刚由叠加原理ijE, A, I, l局部坐标系中的单元刚度方

3、程66阵局部坐标系中 的单元刚度矩阵(2) 单刚元素 (单元刚度系数) 的物理意义(3) 单刚矩阵的性质单元无约束(自由)存在刚体位移。当第 s个杆端位移分量 (其他位移分量为零) 时, 所引起的第r个杆端力分量 的值。对称性反力互等定理;奇异性 |ke|=0给定 唯一给定 无确定解3. 特殊单元(1) 连续梁单元划掉1、2、4、5行和列，得： 有逆阵.(2) 桁架杆单元划掉2、3、5、6行和列，得：jiji4. 整体坐标系下的单刚顺时针杆端位移变换式：T1=TT T为正交矩阵整体坐标系中的单刚：性质不变杆端力变换式：反变换式整体坐标系中的单元刚度矩阵e=TTe Fe=TTFe Fe=kee例

4、：对单元, =90,ACB12例11-1，P.5411-3 整体刚度矩阵1) 传统位移法按结点位移贡献叠加 (手算)直接刚度法通用性差1. 总刚集成方法2) 单元集成法按单元贡献叠加(电算)通用性好40ABC0, 0, 02310a) 一般考虑轴向变形，每个刚结点3个自由度;b) 按顺序对结点位移编号整体编码;c) 结点位移为零处编号为0 先处理法。40ABC0, 0, 02310(1) 刚架结点位移 (整体编码) 确定：2. 刚架结点位移整体编码与局部编码注：整体坐标系下, 单元局部编码按始、末端x, y, 的顺序。BA(2)(3)(1)(4)(5)(6)结点位移整体码40BAC(0,0,0

5、)2310 xy 单元的局部码(2) 单元局部编码(2) 局部与整体编码的关系单元定位向量(1)=1 2 3 0 0 4T (2)=1 2 3 0 0 0T3.单元集成法步骤(1) 形成整体坐标系下的单刚；(2) 对总刚清零，将单刚元素下标换码，就位到总刚的总码位置中，得单元贡献矩阵。换码就位对号入座40BAC(0,0,0)2310 xy(3) 对各单元完成上述计算；(4) 将各单元贡献矩阵叠加，得总刚。(1)=1 2 3 0 0 4T (2)=1 2 3 0 0 0T计算机中的实施方案边定位，边累加(1) 令K=0;(2) 对第(e)单元，求ke, e, 对号叠加K= K+ Ke; (3)

6、若(e)=ne ，集成结束，否则返回第(2)步。145263789104. 总刚的性质(1)元素Krs物理意义:a) 对称性;b) 引入约束条件 (排除刚体位移)后，K可逆;c) 稀疏性且带状分布.整体结构第s个结点位移分量s=1(其他结点位移分量为零)时，所产生的第r个结点力Fr 。(2) 总刚的性质无对应r、 s，则元素为0.下标不关联的总刚元素为0.如： K1,10=K1,11=K1,12=0 ； K2,10=K2,11=K2,12=0 ；145263(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)(10,11,12)(7,8,9)总刚常按半带宽存储。45C2ACD3216C17

7、45x000y000铰结点的处理： 对铰结点各杆端转角独立编码.例11-2，P.5811-4 等效结点荷载K+ FP =0 F=K结点位移单独引起; FP荷载单独引起。位移法基本方程FP3FP2FP1123FP3FP2FP1 K+ FP =0 K= FP K= P P= FP等效结点荷载 等效原则与原荷载产生相同的结点位移(约束力).2. 等效结点荷载FPq3ACB21= +ACBFP1 FP2 FP3 FPqACBFP1 FP2 FP3 3. P的计算步骤1) 单元集成法 计算机方法 (1) 单元的等效结点荷载 P e (局部坐标系) 单元固端约束力：FPe =FxP1 FyP1 MP1 F

8、xP2 FyP2 MP2T P e = FPe(2) 坐标变换： P e = T T P e(3) 由单元P e集成结构的整体等效结点荷载向量 P对号入座集成2) 结点平衡法手算方法 锁定各结点位移，计算各单元 (杆件) 固端力; 由结点平衡计算各结点的附加约束力FPi ; 将约束力反力得等效结点荷载Pi= FPi 。FPqACBFP1 FP2 FP3 例11-3: P.61 (单元集成法) 求各杆固端力，反号得单元P e， 坐标变换得Pe ： =0, =90(3) 由P e集成总体P 。 定位向量：= 1 2 3 0 0 5T = 1 2 3 0 0 0T结点平衡法 (手算法)读者课后自行完

9、成11-5 计算步骤和刚架算例(1) 编码局部与整体编码；(2) 计算局部坐标下的单元刚度矩阵；(3) 坐标变换求得整体坐标下的ke ；(4) 由ke 集成总刚K;(5) 计算局部和整体坐标下的单元P e, 再集成总体P;(6) 解方程 K= P，得结点位移;(7) 求最后杆端力:1. 计算步骤= +附加约束力: K+ FP =0 单元端部力:FPq3ACB21ACBFP1 FP2 FP3 FPqACBFP1 FP2 FP3 例11-4 (P.65)1C2ABD2010C1413x000y000= 1 0 2 1 0 3T = 1 0 2 0 0 0T = 1 0 4 0 0 0T结点位移编码

10、时即考虑忽略轴向变形的条件.课后重算例11-42. 忽略轴向变形时矩形刚架的计算11-6 连续梁、桁架及组合结构的分析1. 连续梁(1) 单刚:(2) 整体分析：例11-5qABEI=常数213CDFPxyO(e)122. 桁架(1) 局部坐标下的单刚方程:21e单刚矩阵:yx12e坐标变换式：(2) 整体坐标系下的单刚扩大k e 例11-6 (P.75-77)桁架单元坐标变换矩阵：总刚K集成方法同前；荷载均为结点荷载。yx12e 例11-7: (P.78)(1) 单元与结点编码(2) k=k单元(3) , cos=0.8 sin=0.6(4) 集成KP=P=FP(6) 解基本方程得个结点位移

11、；(7) 求各单元杆端力；(8) 作内力图。3. 组合结构1. 程序设计一般步骤： 1) 算法描述和列式推导; 2) 框图设计; 3) 代码编写; 4) 上机调试、考核; 5) 编写应用说明; 6) 修改、补充、完善.10-7 矩阵位移法程序设计要点2. 输入数据： 1) 控制数据: 单元总数,结点/结点位移总数,约束总数,荷载总数 2) 几何数据: 单元编码,结点/结点位移编码,单元坐标,单元特性 3) 材料参数: E, 等 4) 约束参数: 结点已知位移,对应编码等 5) 荷载数据: 荷载类型,位置,大小,方向等,3. 总刚的带宽存储 1) 对称性：存上 (下)部分 2) 带状稀疏性：半带宽存储最大半带宽= 同一单元最大 结点位移码之差+14. 系数阵等带宽存贮时线性方程组的求解；5. 程序设计：1个主程序+若干子程序结构化程序6. 小组课程训练平面杆件结构程序设计 1) 小组完成; 2) 程序功能: a) 能分析一般平面刚架或组合结构; b) 考虑两种单元: 一般等截面杆单元和桁架杆单元; c) 考虑3种外荷载: 集中力、分布力、集中弯矩. 3) 课堂演示、讨论; 4)