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1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于n N*有二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第

2、二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+详解九章算法中记载的表杨 辉杨辉三角二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：二项式系数的性质增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定二项式系数的性质由： 即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。增减性与最大值 二项式系数的性质各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令 ，则： 赋值法证明：(1)二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函

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