2021-2022学年北京二中八年级(上)期中数学试卷(解析版)

1、2021-2022 学年北京二中八年级第一学期期中数学试卷注意事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑一、选择题（共 10 小题）.第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日

2、至 2 月 20 日在中国北京市和张家口市联合举办以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（）BCD下列计算正确的是（）Aa3a2aB（a2）3a5Ca6a2a3Da2a3a5 3下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）Am（a+b）ma+mb Cx2+xy3x（x+y）3Bx2+3x+2（x+1）（x+2） D4如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，那么 m 的值为（）A6B3C0D1 5如图，直线MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点P 是直线 MN 上的点，下列判断错误的是（）AAMBMBAPBNCMAPMBPDANMBNM 6要使 16x2bx+

3、1 成为完全平方式，那么常数 b 的值是（）A4B8C4D8 7如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为（）A40B50C80D100如图，AD 是等边ABC 的一条中线，若在边AC 上取一点 E，使得 AEAD，则EDC 的度数为（）A30B20C25D15平面直角坐标系中，已知 A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取 C 点，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（）A4B6C7D8 10如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述

4、条件的PMN 有（）A2 个B3 个C4 个D无数个二、填空题（每题 2 分，共 16 分）11当 x4 时，（x4）0 等于若等腰三角形中有一个角等于 40，则这个等腰三角形的顶角的度数为已知 xm6，xn3，则 x2mn 的值为14若 a2+b219，ab5，则 ab如图，从边长为 a 的大正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点若AOB30，则E+F已知一张三角形纸片 ABC（如图甲），其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB

5、 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙）再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙）原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大小为如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 边的延长线上一点，CECD，DMBC 于点 M下列结论正确的有（把所有正确的序号写在横线上）BMEM2CD3DMBM3CM三、解答题（共 54 分）因式分解；（1）ax2+2a2x+a3；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）计解：21计算：7mm4（3m2）22m222已知 4a2+2b210，求代数式（2a+b）2b（4ab）+2 的值如图，在平面直角坐标系xOy

6、 中，直线l 是第一、三象限的角平分线已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，0），B（5，3），C（6，1）若ABC 与ABC关于 y 轴对称，画出ABC；若直线l 上存在点 P，使 AP+BP 最小，则点P 的坐标为，AP+BP 的最小值为如图，在RtABC 中，C90，ACBC画图：作 AB 的垂直平分线，分别与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E；（要求尺规作图，保留作图痕迹）连接 AE；过点 B 作 BF 垂直 AE，垂足为 F求证：ACBF如图，AE 是ACD 的角平分线，B 在 DA 延长线上，AEBC，F 为 BC 中点，判断AE 与 AF 的位置关系并证明老师在黑板上写

7、出了一道思考题：已知a+b2，求 a2+b2 的最小值爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b 表示 a，a2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2+b2；再进行配方得到：a2+b22（b）2+；根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2 的最小值是请你根据小明的方法，当 x+y10 时，求 x2+y2 的最小值在ABC 中，ABAC，A90，点 D 在线段 BC 上，EDB C，BEDE， 垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F当 C，D 两点重合时（如图 1） 直接写出EBF；直接写出线段 BE 与 FD 之间的数量关系；当 C，D 不重合时（如图 2），写出线段 BE 与 F

8、D 的数量关系，并证明如图，在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 M（0，m），且平行于 x 轴的直线记作直线ym我们给出如下定义：点P（x，y）先关于 x 轴对称得到点 P1，再将点 P1 关于直线ym 对称得到点 P，则称点 P称为点 P 关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点点 A（5，3）关于 x 轴和直线 y1 的二次反射点 A的坐标是；点 B（2，1）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点 B的坐标是（2，5），m ；若点 C 的坐标是（0， m），其中 m0，点 C 关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点是 C，求线段 CC的长（用含 m 的式子表示）；（4）如图，正方形的四个顶

9、点坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2）， 若点 P（1，4），Q（1，5）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点分别为 P，Q，且线段PQ与正方形的边没有公共点，直接写出 m 的取值范围参考答案一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题 3 分，共 30 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国北京市和张家口市联合举办以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（）BCD【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解解：选项 A、C、D

10、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项 B 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形，故选：B下列计算正确的是（）Aa3a2aB（a2）3a5Ca6a2a3Da2a3a5【分析】根据整式的运算法则即可求出答案解：（A）a3 与 a2 不是同类项，不能合并，故 A 错误原式a6，故 B 错误原式a4，故 C 错误 故选：D下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）Am（a+b）ma+mb Cx2+xy3x（x+y）3Bx2+3x+2（x+1）（x+2） D【分析】根据因式分解的定义逐

11、个判断即可解：A从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D等式的右边是一个整式和一个分式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，那么 m 的值为（）A6B3C0D1【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含 x 的一次项得出 6+m0，再求出 m 即可解：（2x+m）（x+3）2x2+6x+mx+3m2x2+（6+m）x+3m，（2x+m）与（x+3）的乘积中不含

12、x 的一次项，6+m0，解得：m6， 故选：A如图，直线MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点P 是直线 MN 上的点，下列判断错误的是（）AAMBMBAPBNCMAPMBPDANMBNM【分析】根据直线MN 是四边形 AMBN 的对称轴，得到点A 与点 B 对应，根据轴对称的性质即可得到结论解：直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 A 与点 B 对应，AMBM，ANBN，ANMBNM，点 P 时直线 MN 上的点，MAPMBP，A，C，D 正确，B 错误， 故选：B要使 16x2bx+1 成为完全平方式，那么常数 b 的值是（）A4B8C4D8【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再

13、根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b 的值解：16x2bx+1（4x）2bx+1，bx24x1， 解得 b8故选：D如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE， 则BEC 的大小为（）A40B50C80D100【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EAEB，根据等腰三角形的性质得到EBAA40，根据三角形的外角性质计算即可 解：DE 是 AB 的垂直平分线，EAEB，EBAA40，BECEBA+A80， 故选：C如图，AD 是等边ABC 的一条中线，若在边AC 上取一点 E，使得 AEAD，则EDC 的度数为（）A30B20C25D15【分析】由

14、等边三角形的性质可得 ADBC，CAD 30，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解ADE 的度数，进而可求解解：ABC 为等边三角形，BAC60，AD 是等边ABC 的一条中线，ADBC，CAD BAC30，AEAD，ADEAED，ADE+AED+CAD180，ADE75，EDC907515， 故选：D平面直角坐标系中，已知 A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取 C 点，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（）A4B6C7D8【分析】分为 ABAC、BCBA，CBCA 三种情况画图判断即可 解：如图所示：当 ABAC 时，符合条件的点有 3 个； 当 BABC 时

15、，符合条件的点有 3 个；当点 C 在 AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个 故符合条件的点 C 共有 7 个故选：C如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若点 M，N 分别在 OA，OB 上， 且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（）A2 个B3 个C4 个D无数个【分析】如图在OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60，只要证明PEMPON 即可推出PMN 是等边三角形，由此即可得结论解：如图在 OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60OP 平分AOB，EOPPOF60，OPOEOF，OPE，OPF 是等边三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN6

16、0，EPMOPN，在PEM 和PON 中，PEMPON（ASA）PMPN，MPN60，PNM 是等边三角形，只要MPN60，PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个故选：D二、填空题（每题 2 分，共 16 分）11当 x4 时，（x4）0 等于 1【分析】根据零指数幂的定义：a01（a0），求解即可 解：x4，x40，（x4）01故答案是：1若等腰三角形中有一个角等于 40，则这个等腰三角形的顶角的度数为40或100 【分析】由等腰三角形中有一个角等于 40，可分别从若 40为顶角与若 40为底角去分析求解即可求得答案解：等腰三角形中有一个角等于 40，若 40为顶角，则这个等腰三角

17、形的顶角的度数为40；若 40为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180402100这个等腰三角形的顶角的度数为：40或 100 故答案为：40或 100已知 xm6，xn3，则 x2mn 的值为 12【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可解：x2mn（xm）2xn36312 故答案为：1214若 a2+b219，ab5，则 ab 3【分析】根据完全平方公式先求得（ab）2 的值，然后根据平方根的概念进行计算求解 解：（ab）2a22ab+b2，且 a2+b219，ab5，（ab）2192519109，ab3， 故答案为：3如图，从边长为 a 的大正方形中去掉一个

18、边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是a2b2（a+b）（ab） 【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式解：S（a2b2），S甲（a+b）（ab）乙又SS甲乙a2b2（a+b）（ab）故答案为：a2b2（a+b）（ab）如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点若AOB30，则E+F 150【分析】连接 OP，根据轴对称的性质解答即可解：连接 OP，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点，EOAAOP，POBBOF，AOBAOP+POB，EOF2AOB60，E，F

19、 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点，PEOA，PFOB，AOB30，EPF150，E+F36060150150， 故答案为：150已知一张三角形纸片 ABC（如图甲），其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙）再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙）原三角形纸片ABC 中，ABC 的大小为 72【分析】先设ABCC2，然后用含有 的式子表示A，ADE，BED，进而得到AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得ABC 的大小 解：设ABCC2，则A180ABCC1804，由

20、折叠得，BEDC2，ADEA1804，BED 是AED 的外角，BEDA+ADE，21804+1804， 解得：36，ABC72， 故答案为：72如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 边的延长线上一点，CECD，DMBC 于点 M下列结论正确的有（把所有正确的序号写在横线上）BMEM2CD3DMBM3CM【分析】根据等边三角形的性质得到ACBABC60，求得E ACB30， 连接 BD，得到DBC ABC 6030，根据等腰三角形的性质得到 DM BC，求得 BMEM，故 B 正确；于是得到 CM CD CE，故 C 正确；故 D 错误，BM3CM，故 A 正确；解：三

21、角形 ABC 是等边ABC，ACBABC60， 又CECD，ECDE，又ACBE+CDE，E ACB30，DM DE，故正确， 连接 BD，等边ABC 中，D 是 AC 的中点，DBC ABC 6030，DBCE30，DBDE， 又DMBC，BMEM，故正确；sin60，故错误，CM CD CE，ME3CM，BM3CM，故正确； 故答案为：三、解答题（共 54 分）因式分解；（1）ax2+2a2x+a3；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）【分析】（1）直接提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（ab），进而分解因式即可 解：（1）ax2+2a2x+a3a（x

22、2+2ax+a2）a（x+a）2；（2）（ab）（xy）（ba）（x+y）（ab）（xy+x+y）2x（ab）计解：【分析】把原式化为（60 ）（60+），然后根据平方差公式计算即可解：原式（60 ）（60+）602（ ）23600359921计算：7mm4（3m2）22m2【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法计算即可 解：原式（7m59m4）2m27m52m29m42m2 m3 m222已知 4a2+2b210，求代数式（2a+b）2b（4ab）+2 的值【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案 解：原式4a2+4ab+b24ab+b2+24a2+2b2+2

23、由 4a2+2b210 可得 4a2+2b21，4a2+2b2+21+23如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是第一、三象限的角平分线已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，0），B（5，3），C（6，1）若ABC 与ABC关于 y 轴对称，画出ABC；若直线 l 上存在点 P，使 AP+BP 最小，则点 P 的坐标为（3，3） ，AP+BP 的最小值为5【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可；（2）作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，连接 PB，此时 PA+PB 的值最小，最小值为线段 AB的长解：（1）如图，A

24、BC即为所求；（2）如图，点 P 即为所求P（3，3），最小值为 5， 故答案为：（3，3），5如图，在RtABC 中，C90，ACBC画图：作 AB 的垂直平分线，分别与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E；（要求尺规作图，保留作图痕迹）连接 AE；过点 B 作 BF 垂直 AE，垂足为 F求证：ACBF【分析】（1）利用基本作图作出AB 的垂直平分线，然后连接AE，过B 点作 AE 的垂线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到 EAEB，然后证明ACEBFE，从而得到ACBF【解答】（1）解：如图，DE 为所作； 如图，BF 为所作；（2）证明：ED 垂直平分 AB，EAEB，BF

25、AE，BFE90，在ACE 和BFE 中，ACEBFE（AAS），ACBF如图，AE 是ACD 的角平分线，B 在 DA 延长线上，AEBC，F 为 BC 中点，判断AE 与 AF 的位置关系并证明【分析】结论：AE 与 AF 的位置关系是垂直想办法证明CAF+CAE90即可 解：结论：AE 与 AF 的位置关系是垂直证明：AE 是ACD 的角平分线，AEBC，DAEB，EACACB，BACB，ABAC，又F 为 BC 中点，CAB+CAD180，CAF+CAE90，AEAF老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b2，求 a2+b2 的最小值爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b 表示 a，a

26、2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2 （2b） +b2；再进行配方得到：a2+b22（b 1）2+2；根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2 的最小值是2请你根据小明的方法，当 x+y10 时，求 x2+y2 的最小值【分析】（1）根据小明的思路得到关于 b 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；（2）根据小明的思路得到关于 x 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值 解：（1）a+b2，a2b；代入 a2+b2 得到： a2+b2（2b）2+b244b+b2+b22b24b+42（b1）2+2；根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2 的最小值是 2； 故答案为

27、：2b，1，2，2；（2）x+y10，y10 x；x2+y2x2+（10 x）22x220 x+1002（x5）2+50；根据完全平方式的非负性，就得到了 x2+y2 的最小值是 50 根据小明的方法，当 x+y10 时，x2+y2 的最小值是 50在ABC 中，ABAC，A90，点 D 在线段 BC 上，EDB C，BEDE， 垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F当 C，D 两点重合时（如图 1） 直接写出EBF 22.5；直接写出线段 BE 与 FD 之间的数量关系BE DF；当 C，D 不重合时（如图 2），写出线段 BE 与 FD 的数量关系，并证明【分析】（1）作 DGAC 交

28、BE 的延长线于 G，根据全等三角形的性质即可得到结论； 根据等腰直角三角形的性质得到ABCC45，根据题意求出EDB，计算即可；（2）如图 2，过点 D 作 DGCA，与 BE 的延长线相交于点 G，与 AB 相交于点 H，得到GDBC，BHDA90GHB，根据全等三角形的性质得到 BEGEGB，求得 HBHD，根据全等三角形的性质得到 GBFD，于是得到结论解：（1）A90，ABAC，ABCACB45，EDB ACB22.5， 又 BEDE，EBD9022.567.5，EBF67.54522.5，延长 BE，CA 交于 G，EDB ACB，CE 平分ACB，GCEBCE，BEDE，BECC

29、EG90， 在BCE 与GCE 中，BCEGCE（ASA），BEEG BG，BEFBAC90，BFEAFC，ABGACF，在ABG 与ACF 中，ABGACF（ASA），BGCF，BE DF；故答案为：BE DF；故答案为：22.5，BE DF；（2）结论：BE FD，证明：如图 2，过点 D 作 DGCA，与 BE 的延长线相交于点 G，与 AB 相交于点 H， 则GDBC，BHDA90GHB，EDB C GDBEDG，又 DEDE，DEBDEG90，DEBDEG（ASA），BEGE GB，A90，ABAC，ABCCGDB，HBHD，BEDBHD90，BFEDFH，EBFHDF，GBHFDH（ASA），GBFD，BE