2021年高考文数真题试卷(全国乙卷)含答案

1、第 PAGE 22 页 共 11 页2021 年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，总共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共 12 题；共 51 分）A. 5B. 1,2C. 3,4D. 1,2,3,4u1.已知全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4,则 C （MUN）=（ ）【答案】 A【考点】交集及其运算，补集及其运算u【解析】【解答】因为 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,2,N=3,4 则 MUN 1，2，3，4， 于 是 C （MUN）= 5 。故答案为：Au【分析】先求 MUN，再求 C

2、 （MUN） 。设 iz=4+3i，则 z 等于（ ）A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i【答案】 C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z43= 431= 34。故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。已知命题 p： xR，sinx1；命题 q： xR， e|x|1，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)【答案】 A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P 是真命题，命题 q 也是真命题， 故答案为：A【分析】

3、先判断命题p，q 的真假，然后判断选项的真假。函数 f（x）=sin A. 3 和 2B. 3 和 2C. 6 和 2D. 6 和 23+cos 3的最小正周期和最大值分别是（ ）【答案】 C【考点】正弦函数的图象，y=Asin（x+）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最 值3【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos2 sin() ,所以周期 2 6 ，值域2，2。即最大值是2， 故答案为：C。332341【分析】先将 f（x） 解析式化成sin()的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。 + 4若 x，y 满足约束条件 2

4、,则 z=3x+y 的最小值为（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4 3【答案】 C【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），当直线 z=3x+y 经过点（1，3）时，z 取得最小值。此时 zmi=n3x1+3=6.故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。【考点】简单线性规划cos2 A. 12B. 33C. 22D. 3212 cos2 5 =（ ）12【答案】 D【考点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为cos2 cos2 5 =1+cos(2 ) 1+cos(2 5) = 1 (cos cos 5) = 3故选D。

5、12121212222662【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。7.在区间(0, 1A. 34B. 23C. 13D. 162)随机取 1 个数，则取到的数小于 13的概率为（ ）【答案】 B【考点】几何概型102【解析】【解答】由几何概型得：P3 .1032故答案为：B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.下列函数中最小值为 4 的是（ ）A. y = 2 + 2 + 4B. y = |sin| +【答案】 C4|sin|C. y = 2 + 22D. y = ln +4ln【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质， 基本

6、不等式【解析】【解答】对于A：因为 y=(x+1)2+3,则 ymin=3; 故A 不符合题意；对于B：因为y = |sin| +4|sin|， 设 t=|sinx|( (01 ),则 y=g(t)= + 4 (0 1)由双沟函数知，函数yg(t)= + 4 (0 1)是减函数，所以 ymin=g(1)=5，所以 B 选项不符合；对于C：因为 y = 2 + 22 2 +即 ymin=4，故 C 选项正确；42 22 42= 4,当且仅当2 42 = 1时“”成立，对于D：当 (0,1)时，y = ln +故答案为：C.4ln0 时，若a 为极大值点，则(如图 1)，必有 ab,aba2.故

7、B,C 项错；当 aba2,故 A 错。故答案为：D.【分析】对a 的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（共 4 题；共 17 分）13.已知向量 a=(2,5),b=(,4)，若 / ，则= .【答案】 85【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示8【解析】【解答】因为=(2,5),=(,4)，且 /【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。， 则2 450， 则。514.双曲线 2 2 = 1 的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为.45【答案】 5【考点】直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答

8、】由题意得，a2=4,b2=5,所以 c2=a2+b2=9,所以 c=3(c0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线 x+2y-8 的距离为 = |3208|12 2 2= 5.【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。记 ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60，a2+c2=3ac，则 b=.【答案】 22【考点】余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】 = 1 sin = 1 sin600 = 3 = 3 = 4,224于是 = 22 2cos = 22 = 2 = 22【分析】根据面积的值，计算

9、出ac，再由余弦定理求解。以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.【答案】 或【考点】由三视图还原实物图【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图； 当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图，故答案为： 或【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（共 5 题；共 50 分）

10、旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.810.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一 台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：12旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s 2 和 s 212（1）求 ， ， s 2， s 2；12（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - 22 22，则认为新设备生产

11、产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 =110=1102 =1(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，2 =1x(10.0-10.3)2+3x(10.

12、1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.210（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 2 212100.3412显然 - 2 2 210，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差12【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数, ， 再直接用公式计算 s 2， s 2；(2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 2 2 0.34 ， 显 然 - 2 2 2 ，可得到答案。11221010如图，四棱锥 P-ABCD 的底面

13、是矩形，PD 底面 ABCD，M 为 BC 的中点，且 PB AM.证明：平面 PAM 平面 PBD；若 PD=DC=1，求四棱锥 P-ADCD 的体积.【答案】 （1）因为 底面 ， 平面 ， 所 以 ，又 ， = ， 所以 平面 ，而 平 面 ，所以平面 平面 （2）由（1）可知， 平面 ，所以 ， 从而 ，设 = ， = 2 ， 则即 22 = 1 ，= ，解 得 = 22，所以 = 2 因为 底面 ，故四棱锥 的体积为 = 1 (1 2) 1 = 2 33323【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由PD 垂直平面 ABCD，及 PB 垂直 AM，可

14、以证明 平面 ， 从而可能证明平面 平面 ；（2）由连接 BD（1）可得 ， 证明 通过计算，求出高 = 2 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。19. 设 是首项为 1 的等比数列，数列 满 足 = ，已知 1，3 2，9 3成等差数列.（1）求 和 的通项公式；（2）记 和 分别为 和 的前n 项和.证明： .【答案】 （1）因为 是首项为 1 的等比数列且 1 ， 32 ， 93 成等差数列，所以 62 = 1 + 93 ，所以 61 = 1 + 912 ，即 92 6 + 1 = 0 ，解得 = 13，所以 = (1)1 ，3所 以 = = .3（2）证明：由（1）可得 = 1(11 )

15、= 3 (11 ) ，3= 1 + 2323+ +1 311 123+ ，3331 = 1 + 23233+ + 13+，3+1得2 = 1 + 1 + 1+ +1= 1(11 )= 1 (11 )，3334所以 = 3 (131 )33233，2333+11 13+12333+1所 以 =3 (11 )3 (11 ) = 0 ，242所以 .3234323【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】由 1 ， 32 ， 93 成等差数列，列关系式等比数列 的公比 q，进而得到 ， 再由 bn 与 an 的关系求得bn；（2）先根据条件求得 ，再由错项相减的方法求

16、得的表达式，最后用求差比较法，证明 0)的焦点 F 到准线的距离为 2.求C 的方程.已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足 = 9 ，求直线 OQ 斜率的最大值. .2【答案】 （1）抛物线 : 2 = 2( 0) 的焦点 ( , 0) ，准线方程为 =2 ，2由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 2所以该抛物线的方程为 2 = 4 ；() = = 2 ，2（2）设 (0, 0) ，则 = 9 = (990, 90) ，所以 (1009,100) ，由 在抛物线上可得 (100)2 = 4(1009) ， 即 025 2+9 ，=010所以直线 的斜率= 0 =00=025 2+910

17、100，25 2+90当 0 = 0 时 ， = 0 ；当 0 0 时 ， =10025 + 9， 0当 0 0 时，因为 250 +930 2250 90= 30 ，此 时 0 1，当且仅当 250 =90，即 = 305时，等号成立；当 0 0 时， 0, 0, () 单调递增；6当 (2412 , 2+412) 时， () 0, () 单调递增；6综上可得：当 13时， () 在R 上单调递增，当 13时， () 在 (, 2412) 上单调递增，在 (2412 , 2+412) 上单调递减，在666(2+412 , +) 上单调递增.6（2）由题意可得： (0) = 3 2 + 0 +

18、 1 ， ( ) = 32 2+ ，00000则切线方程为： (3 2 + 0 + 1) = (32 20 + )( 0) ，000切线过坐标原点，则： 0 (3 2 + 0 + 1) = (32 20 + )(0 0) ,000整理可得： 23 2 1 = 0 ，即： (0 1)(22 + 0 + 1) = 0 ，000解得： 0 = 1 ，则 (0) = (1) = 1 1 + + 1 = + 1 ，即曲线 = () 过坐标原点的切线与曲线 = () 的公共点的坐标为 (1, + 1) .【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a 的

19、取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；（2）先设切点坐标横坐标 x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0 的值，进一步得到公共点坐标。四、选修 44 ：坐标系与参数方程（共 1 题；共 2 分）22.在直角坐标系 xOy 中， C 的圆心为C（2，1），半径为 1.写出 C 的一个参数方程；过点F（4，1）作 C 的两条切线， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. = 2 + 【答案】（1）因为 C 的圆心为(2，1)，半径为 1.故 C 的参数方程为 = 1 + （2）设切线 y=k（x-4)+1，即 kx-y-4k+1=0.（ 为参数).=1故 |214+1|1+2即 |2k|= 1