清北学堂物理VIP班竞赛模拟题四

1、清北学堂物理VIP班竞赛模拟题四命题人：张大同老师1. 在维克多雨果的小说中，冉阿让是一个逃犯，他有能力沿直角相交的外墙角爬上墙头。设他和墙面的最小静摩擦因数为0，求：他在爬墙时对墙的作用力至少为多大？教堂时钟的时针的长度是分针长度的一半，问在午夜12：00后的哪个时间，分针末端以最快的速度远离时针末端？3 长的线系住两相同的小钢球，放在光滑的地板上，在线中央作用如图所示的水平恒力，求：（1）钢球第一次相碰时，在与垂直的方向上钢球对地的速度。（2）经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞而失去的总能量是多少？4如图所示，质量为及的两物体放在光滑水平面上，被一轻弹簧系住，处于静

2、止状态，弹簧的另一端固定，其劲度系数为，以速度弹性正碰，问：（1）碰撞后，在到达右方最大位移前，能否追上？（2）若使在返回到右方最大位移一半处与第二次相碰，求（3）要使与不发生第二次相碰，应满足什么条件？5。有一内径均匀，两支管等长（长度大于）的型管，端封密，端开口。用水银将一定质量的理想气体封闭在端后，将管竖直倒立，如图所示。平衡时两管中水银面高度差为，此时闭管中气柱的长度。若保持温度不变，不计水银与管壁的摩擦，当轻轻晃动一下型管使左端液面上升或下降（）时，将出现什么现象，试加以讨论并说明理由。6。一个直径1cm、总带电量10-8C的均匀带电塑料球，用一根绝缘线绳悬挂起来，其最底端与一个盐水

3、容器的水面相距1cm。已知盐水密度为1000km/m3，求水平面涌起的高度。7。有人在实验室中通过实验装置，形成了如右图所示的磁场分布区域MM，在该区域中，磁感应强度B的大小沿Z轴从左到右由强变弱，再由弱变强，对称面为PP，已知z轴上O点磁感强度B的大小为B0。，两端M点的磁感强度为Bm。，现有一束质量均为m，电量均为q，速度大小均为V0的粒子，在O点以与Z轴成不同角度0向半空间发射。设磁场足够强，粒子只能由紧邻Z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。试分析说明具有不同的投射角0的粒子在磁场区MM间的运动情况。提示：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v的平方与磁力管轴上的磁感

4、强度的大小B之比为一常量。 8。如右图所示，由两面平面镜组成的角镜，P与O点相距为r，位于的角平分线上，当OB镜静止，OA镜以角速度顺时针转动，P沿PO方向以速度v匀速运动时，求P点的各个像的运动轨迹的曲率半径。参考答案1解：设静摩擦力和竖直方向的夹角为，则静态平衡条件为： 和 从这些方程中可以发现逃犯在爬墙时作用在墙上的弹力为 因此总的作用力F可以由下式求得：可利用下面的不等式得到最小的力： 由此可得： 这里的0是静摩擦因数。利用上面两式可以得到最小的力为： 此方程表明若要使主人公不从墙上掉下来，则静摩擦因数一定要大于1。2解： 使用固定在分针上的转动参考系，在此参考系中时针是做逆时针转动。

5、当时针的末端以最快的速度远离分针的末端时，时针、分针和其末端连线应构成一个直角三角形。如图所示。因为分针长度是时针长度的两倍，其间角度。现在我们计算午夜过后什么时间时针和分针的夹角为。因为分针的转速是时针转速的倍，故时针与点的夹角可由计算。因此从点算起，分针转过的角度为，时间恰为午夜过后分钟。注：本题硬解也能解出，从时针和分针的距离表达式，可以求出其相对速度，然后由其驻点的位置可以确定钟臂所处的角度。3分析：钢球对地的运动是一个曲线运动，绳对球的拉力作功为变为作功问题，因此用牛顿定律来处理本题是行不通的，考虑两球组成的系统为研究对象，则内力（绳中的张力）做功的代数和为零。解一 （1）以地面为参

6、照系，设m沿方向运动距离时，钢球第一次碰撞，此时力F作用点拉过距离，m除有方向的水平速度外，还有绕作用点的速度，即为所求的，由质点系动能定理有 对系统而言，水平方向受恒力作用，小钢球水平加速度恒定，由动力学和运动学关系有 联立、式解得 （2）最后两球一直处于接触状态，垂直于方向的速度消失，由此而失去的能量即为所求，故 解二: 在O系考察，由对称性可知，质心只有水平方向加速度，大小为 在O系中，两钢球对作圆周运动，如图4-6所示。钢球所受惯性力分别为，绳的拉力作功为零，在质心系中，由动能定理有 由上式得 4解：与弹性碰撞，满足 得 ， 之后，以速度匀速运动，则以碰撞点为平衡位置做简谐运动。有 得

7、振幅 ： ， 周期 ： 简谐运动方程为 （1）不能，设m到达右方最大位置的时间为，要使M在这段时间能追上m，则M在t1时间内位移大于振幅A，即，所以，将v1、v2代入得 即要求，显然这是不可能的。（2）第一次碰撞后m运动到右方最大位置，再返回到A/2处，所需时间为t2，则有 得 要使M在m返回点A/2处第二次相碰，M在此时间内位移应为A/2，即 得： 即 ：（3）要使M与m不发生第二次相碰，M在碰后应向左运动，而且不被m追赶上，这样 ，方向向左。以第一次碰撞点的位置为坐标原点，向右为x正方向，在任一t时刻m、M的位置坐标可表示为 这两个关系式可表示在同一x-t坐标系中，对应的临界情况是相遇不相

8、碰，将该点记为P，如图所示。则对P点，显然有 （此式表示在点P处，M与m的速度相同，故对xm与xM的导数应一致）由式可得 由此可得 （之所以取负值是因为是第三象限角，故为负）由式得 将式代入式，并令，得： 其中为第三象限角，用计算机逼近法，解得： 即 解得 ，此为临界条件，故不碰的条件为 5解：本题由于玻璃管的形状较为特殊，因此液面上下晃动以后可能产生多种情况，需要把管内部分水银柱所受左、右两边的压强差的表达式写出来，然后加以分析。以A端密封气柱为研究对象，以最初平衡位置为初态，左端液面上升（或下降）了（设此时液柱速度为零）为末态，根据玻意尔定律可得解得 此时U型管内CD段水银柱所受左、右两边

9、的压强差 代入得 ： 由此可见，可正可负，为1（或-1）是临界值，现讨论如下：（1）如果，水银柱将被压回原来位置，并在原来平衡位置附近振动。（2）如果，水银柱将继续受到一个向右的压强，左端水银面将继续上升，而且从的表达式可以看出，越大，也越大，水银将不断地由管流向管。由于两管长度和水银柱长度都大于78cm，当管液面上升到时，管中水银柱长度大于76cm，因此水银柱将继续流向管，直至有一部分水银流出管口。（3）如果h=1cm，而且此时水银柱速度又恰好为零，那么由于P=0，所以，这是一个新的平衡位置。但这是一个不稳定平衡，如果稍有扰动，水银柱就将离开这个位置。如果A端液面因受扰动而向下运动，那么将出

10、现（1）中情况；如果A端液面因受扰动而向上运动，那么将出现（2）中情况。6解：盐水是电的良导体，因此其表面会产生感应电荷，可用电像法解。先假设水面的隆起非常微小以至于远小于3r，则电量Q在P的电场强度为P点上方实际的电场强度为Q与其镜像-Q共同产生的电场根据高斯定理，P点的表面电荷密度为 则水面上单位面积受到的力为 该力与因水面升高而产生的附加压强造成的力抵消 因此前面的假设是正确的7解：这里讨论的是非均匀磁场对带电粒子的作用，同样满足洛仑兹力不做功的结论，可利用动能守恒的结论。再有提示中的结论，可得到任意B处的v，进而得到v|。要注意利用题中磁力管很细的结论。（1）带电粒子沿Z轴做螺旋运动时

11、受到阻力而减速。设粒子达到磁感强度为B处的速度为v，其垂直和平行于磁场的方向的分速度分别为v和v|。粒子刚从O点射出时，其垂直磁场方向的分速度为 v0=v0sin，根据提示，粒子运动过程中，在细“磁力管”的管壁上垂直磁场方向的速度的平方与磁力管轴上的磁场的大小B之比为一常量，即 。因粒子还具有沿轴向的分速度，所以粒子在磁力管中做螺旋运动，由于洛伦兹力f垂直于粒子的速度，对带电粒子不做功，因而粒子在任何点的速度均为v0。按题设，Z轴上O点右侧磁场B逐渐变大，因而，粒子向右运动过程中，垂直磁场方向的速度v随之增大。平行于磁场方向的速度v|亦随之按下列规律变化：。 由上式可知，随沿Z轴磁场B的增大，

12、平行于磁场方向的速度v|将随之减少。轴向速度的减小是因为粒子沿轴向右运动时受到阻力，因磁力管壁的磁场与Z轴不平行，粒子在运动过程中受到的洛伦兹力f斜向指向Z轴，如下图所示，f|是f平行于Z轴的分量，它成为阻碍粒子沿轴向右运动的阻力，f是洛仑兹力f垂直于Z轴的分量，它为粒子做螺旋运动提供粒子做圆周运动的向心力，圆周半径为 此式表明螺旋半径随磁场B的增大而减小。结合v|的表达式的讨论可知，螺旋运动的轴向速度逐渐减小，即螺旋螺距逐渐减小，到达M端时，粒子以半径 的圆周运动。（2）临界投射角 由v|表达式知，以某个投射角0L发射的粒子到达M点时，其平行磁场方向的速度vm|恰好等于零。 。此式表明：当投射角=0L时，粒子恰好在M点轴向速度为零，vmL=v0，即垂直于磁场方向的分速度最大，0L称为临界投射角，投射角0L的粒子在未到达M点时，轴向速度已减至零，这些粒