2022高考总复习 数学(人教A理一轮)3.2　第1课时　利用导数研究函数的单调性

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第1课时利用导数研究函数的单调性第三章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破案例探究4 在抽象函数中构造辅助函数必备知识 预案自诊【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间上 ;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间上;如果f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.(2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有f(x)0在a,b上恒成立.(3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则

2、有f(x)0在a,b上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f(x)在该区间上不变号.单调递增单调递减常用结论可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在(a,b)上f(x)0,且f(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0恒成立.()(4)在某区间上f(x)0(f(x)0,解得x1.故选D.4.(2020天津河北区线上测试,6)

3、已知函数f(x)=3x+2cos x,若a= ,b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bca答案 D 解析 由题意,得f(x)=3-2sin x,所以f(x)在R上恒为正,所以f(x)是R上的增函数.又因为2=log24log273 ,所以bc0或f(x)0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. (2)当a1时,g(x)是二次函数,首先讨论f(x)=0是否有实数根,方程g(x)=0对应的=4(a-1)(3a-1).由f(x)0,可得0 xx2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+)上单调递增; 由f

4、(x)0,可得x1x1时,有x1+x20且x1x20,此时x200,可得0 xx1,所以f(x)在(0,x1)上单调递增;由f(x)x1,所以f(x)在(x1,+)上单调递减.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,f(x)=0有实数根,但不清楚f(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f(x)=0有实数根,f(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2(2020全国2,文21

5、)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求实数c的取值范围;(2)设a0,讨论函数解 设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,(1)当0 x0;当x1时,h(x)1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)ex+2 019的解集为()A.(-,0) B.(-,0)(2 019,+) C.(2 019,+) D.(0,+)答案 (1)B(2)D (2)设g(x)=exf(x)-ex,则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.f(x)+f(x)1,ex0,g(x)=exf(x)+f(x)-10,g(x)是R上的增

6、函数.又g(0)=f(0)-1=2 019,g(x)2 019的解集为(0,+),即不等式exf(x)ex+2 019的解集为(0,+).故选D.解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.对点训练3(1)设f(x),g(x)在a,b上可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x),则不等式ex-1f(x)g(x),f(x)

7、-g(x)0.f(x)-g(x)在a,b上单调递增.f(a)-g(a)g(x)+f(a).考向2已知函数单调性求参数取值范围【例4】 已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x.若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,则实数a的取值范围为.解题心得利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在单调递增(减)区间.方法一:转化为“f(x)0(0(或f(x)0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(减).方法一:转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.变式发散

8、1将例4中的“在1,4上单调递减”改为“存在单调递减区间”,其他不变.答案 (-1,+) 变式发散2例4中的已知条件不变,把后面的问题改为:讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.答案 (1)C(2)C案例探究4 在抽象函数中构造辅助函数在抽象函数中如何构造辅助函数阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数?你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论.【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x0时, f(x)+xf(x) 0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(

9、-1,0)D.(0,1)(1,+)答案B解析构造函数F(x)=xf(x).当x0时,F(x)=f(x)+xf(x)0,F(x)单调递减.又因为f(-1)=0,所以F(-1)=0,所以当-1x0时,F(x)0,所以当-1x0.因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x1时,F(x)0,所以当x1时,f(x)0.综上可知,f(x)0的解集为(-1,0)(1,+).故选B.【例2】已知函数f(x)满足:f(x)+2f(x)0,则下列不等式成立的是()答案A【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)ef(0)B.f(1)=ef(0)C.f(1)ef(0)D.f(1)与

10、ef(0)的大小不确定答案A答案A 数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1、例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即 (g(x)0).由此可见,对于含有f(x)和f(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.在例1中,f(x)+xf(x)0,根据导数的积运算法则可以看出f(x)的导

11、数为f(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到在例3中,由f(x)f(x),得f(x)-f(x)f(x)tan x,得f(x)cos x-f(x)sin x0,且sin x0,根据导数的商运算法则可以看出f(x)的导数为f(x),sin x的导数为cos x,从而构造出函数F(x)= .数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.(1)对于不等式f(x)k(k0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.(2)对于不等式xf(x)+f(x)0,构造函数g(x)=xf(x).(6)对于不等式f(x)+f(x)0,构造函数g(x)=exf(x).(8)对于不等式f(x)+kf(x)0,构造函数g(x)=ekxf(x).(9)对于不等式f(x)+2xf(x