2022高考总复习 数学(人教A理一轮)5.1　平面向量的概念及线性运算

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.1平面向量的概念及线性运算第五章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.平面向量的有关概念 名称定义备注向量既有,又有的量叫做向量;向量 的大小称为向量 的 (或称)记作零向量长度为的向量叫做零向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于 的向量,叫做单位向量 非零向量a的单位向量为大小方向长度模01个单位名称定义备注平行向量方向或的非零向量叫做平行向量 零向量与任意向量或共线共线向量 的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量叫做相等向量两向量只

2、有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量叫做相反向量 零向量的相反向量仍是零向量相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法(1)交换律:a+b= (2)结合律:(a+b)+c= 减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法a-b=a+(-b)2.平面向量的线性运算 b+aa+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量a的积的运算叫做向量的数乘(1)|a|=;(2)当0时,a的方向与a的方向 ;当0时,a的方向与a的方向 ;当=0时,a=0(a)=;(+)a=

3、 ;(a+b)= (,为实数) |a|相同相反()a a+a a+a 3.向量共线定理(1)向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使得.注:限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数b=a常用结论常用结论【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. 答案 D 答案 C 4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=.5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.关键能力 学案突破考点1平面向量的有关

4、概念【例1】给出下列四个说法:若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点,则 是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab.其中正确说法的序号是()A.B.C.D.答案 A 正确.a=b,a,b的长度相等且方向相同,又b=c,b,c的长度相等且方向相同,a,c的长度相等且方向相同,故a=c.不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且ab不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是.解题心得 平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大

5、小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.对点训练1给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析 错误.当方向不同时,不是共线向量.正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.错误.当a=0时,不论为何值,a=0.错误.当=0时

6、,a=b,此时,a与b可以是任意向量.考点2平面向量的线性运算答案 (1)C(2)D 思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.答案 (1)D(2)D 考点3向量共线定理及其应用【例3】 设两个非零向设两个非零向量a与b不共线.(2

7、)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线? 变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 1.提醒证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.2.对于 (,为实数),若A,B,C三点共线,则+=1.3.aba与b共线b=a(a0).注意待定系数法和方程思想的运用.解题心得 要点归纳小结1.平面向量的重要结论:(1)若存在非零实数,使得 ,则A,B,C三点共线.(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.2.a与b共线b=a(a0,为实数).3.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量的终点”;平行四边形法则要素是“起点重合”.要点归纳小结1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.