高中数学题型全面归纳（教师版）：2.7幂函数10

1、 第七节幂函数考纲解读1.了解幂函数的概念及性质.2.结合函数的图像，了解它们的变化情况.命题趋势探究有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主，主要考察幂函数的图像与性质，一般以选择退或填空题形式出现，属于容易题，有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题.复习本节不能追求难、新，而应重视基础知识，掌握教材中五种常见的幂函数即可.知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二

2、、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.当时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.提醒归纳及思路提示题型29 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.例2.68函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则_.分析根据幂函数的定义及单调性求解.解析依题意，得，解得.变式1 函数的定义域为，求实数的取值范围.解析 设 原题

3、可转化为一切有且恒成立，由（1）得即所以，由（2）得，即，综上得，故实数的取值范围是变式2 幂函数的图像经过点，则满足的的值是_.解析 设 故变式3 设，则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为（ ）解析 时，时，或时，或的定义域为R且为奇函数，故选A。题型30 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.例2.69已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.（1）求函数的解析式；（2）求满足的的取值范围.分析利用函数在区间上是减函数且为偶函数求，从而得到的解析式.解析（1）因为幂函数在区间上是减函数，

4、所以得，当时，；当时，；当时，.又因为为偶函数，所以.（2）由得.即又在上单调递增，故，整理得，解得，如图所示.图 2-19故的取值范围为.评注突破点为由单调性得的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数，设函数，问是否存在实数，使在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，求出；若不存在，请说明理由.分析 判断函数单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图像与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值范围。解析 令，设，因在上是减函数，在（-4，0）上是增函数，故在上是增函数，在（0，1

5、6）上是减函数，故函数的对称轴是，则 ，得。最有效训练题10（限时45分钟）1.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）2.幂函数的图像如图2-20所示，则的值为（ ）3.幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程为（ ）4.若幂函数的图像经过点则其定义域为（ ）5.设，则的大小关系是（ ）6.设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ）7.已知幂函数的图像过点，则的值为_.8.已知幂函数为奇函数，且在区间上是减函数，则的解析式为_.9.已知函数，且，则的取值范围是_.10.设函数的定义域为，其中，若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在上的最大值与最小值的和为_.11.已知函数，

6、给出下列命题：若；若，则；若，则；若，则.其中，所有正确命题的序号是_.12.点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，问当为何值时有：最有效训练题101、C 解析 A、C中的函数为偶函数，但A中函数在上为减函数，故选C。2、 不 解析 因为在第一象限为减函数，所以，即，又，所以的可能值为0，1，代入的函数解析式知，当0时为偶函数，故选不。3、B 解析 设，因为的图像过点A，所以，所以，所以，所以，所以，故切线方程为，即，故选B。4、 C 解析 设，因为图像过点所以，即，所以，即，所以，即，其定义域为 ，故选C。5、A 解析 在时是增函数，所以，指数函数在时是减函数，所以，故选A。6、A 解析

7、由在上是减函数，得是偶函数， ，在定义域上是非奇非偶函数，是奇函数，所以，故选A。7、 解析 设，由已知，则，所以8、 解析 因为在上是减函数，所以，所以，因为，所以，因为是奇函数，所以 应为奇数，或4时，是奇数；当时，不是奇数；所以或4，。9、 解析 由得，所以。10、-5或9 解析 依题意设，当为奇数，为偶数时，不满足的定义域关于原点对称；当为奇数，为奇数时，为奇函数，且函数在上的值域为2，5，所以函数 在上的值域为-5，-2，因此在上的值域为-4，-1，故在区间上的最大值与最小值之和为-5；当为偶数，为奇数时，为偶函数，且函数在上的值域为2，5，所以函数在上的值域为2，5，因此在上的值域为3，6，故在区间上的最大值与最小值之和为9。11、 解析 因为，所以在上单调递增，且恒过（1，1）点，所以当时，故正确；设，当时，函数在上单调递增，当时，函数单调递减，故任取不恒成立，所以，即不恒成立，故不正确。 设在上单调递减，故任取，即，得，故不正确。函数的图像如图2-67所示，任取， ，则，故正确，