椭圆轨道的量子化条件

1、玻尔理论的实验基础玻尔模型玻尔理论的修正和推广夫兰克赫兹实验索末菲理论空间量子化与史特恩盖拉赫实验教学内容1教学要求 （1）掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式。（2）掌握玻尔基本假设、圆轨道的量子化条件、半径公式、能量公式、氢原子能级图，以及一些有关的重要常数值。 （3）掌握玻尔氢原子理论，能够解释氢原子和类氢离子光谱的实验规律，掌握光谱项的物理意义。 （4）掌握夫兰克赫兹实验的原理、方法、实验结果的分析及结论。 （5）了解索末菲量子化通则和电子椭圆轨道的特性。2 2.1 氢原子光谱光谱获得或观察光谱的仪器光谱仪一. 光谱知识 是电磁辐射的波长成分和强度分布的记 录，有时只是波长成分的记录。是研究

2、原 子结构的重要途径之一。光谱提供了研究原子核以外结构的有力工具。3光 谱 种 类连续光谱线状光谱带状光谱炽热的固体或液体发出，具 有各种波长成分。气态原子发出，只有某些波长，光谱由一条条清晰明亮的线组成。气体分子发出，谱线分段密集，形成一个个带。4连续光谱线状光谱太阳光谱钠的吸收光谱NaHHgCu5棱镜摄谱仪6棱镜光谱仪示意图狭缝棱镜屏红蓝12光源准直仪 接受装置（照相底片或显微镜） 色散装置（棱镜或光栅）127拍摄氢光谱；铁光谱8 光谱是光强度随频率的分布。用光谱仪测得氢的光谱如图。 在可见光区，谱线的波数 v 可表示为 B=364.56nm该式称巴耳末公式，该组谱线称巴耳末系。 1987

3、年里德堡给出了一个普遍公式RH=4/B 称里德堡常数。T(n)= RH/n2称光谱项。 是光谱项之差。 n=1,n =2、3、4称赖曼系 n=3,n =4 、5 、6 称帕邢系n=4,n =5、6、7称布喇开系 n=5,n=6 、7 、8 称普丰特系二. 氢原子光谱9 H6563H H H4861 4341 4102巴尔末线系的前4条谱线波长埃101914年 赖曼发现 赖曼系： 1908年 帕邢发现 帕邢系：1922年布喇开发现 布喇开系:1924年普芳德发现 普芳德系:11氢原子光谱规律总结并合原则巴尔末线系里德伯公式光谱项其它原子光谱与氢原子类似:但是光谱项的n不一定是整数。12 卢瑟福将

4、行星模型用于原子世界，虽然都受反平方有心力支配但电子带-e电荷，轨道加速运动会向外辐射电磁能，这样电子将会在10-9s时间内落入核内，正负电荷中和，原子宣告崩溃(塌缩)。但现实世界原子是稳定的。 原子结构及其稳定性是令人困惑的一大难题。玻尔深信量子化这一新概念，特别是当它看到巴耳末氢光谱公式后，原子内部结构全然呈现在他们想象中。 玻尔的氢原子理论，可分三部分 1. 定态假设 2. 频率条件 3. 角动量量子化和能量量子化 2.2 玻尔模型13一、基本假设1.定态假设 玻尔认为原子内部存在一系列离散的稳定状态定态。电子在这些定态上运动量子化的能量能级守恒，电子不会辐射能量，这称玻尔的定态假设。量

5、子化能级的出现是原子稳定性的基石，因为能级之间是禁区。2.频率条件 原子内部状态的任何变化，只能是从一个定态到另一个定态的跃迁。例如两个定态，En1的正电荷，Z不同代表不同的类氢体系。类氢离子谱线的波数公式类氢离子31天文望远镜 录像1，2，33233毕克林系与巴尔末系比较图谱系限HHHHH25000厘米-1200001500034 类氢离子指原子被电离后核外只剩一个电子的离子。核外一个电子在+Ze的核库仑力作用下运动。例如He+、Li2+、Be3+等。将氢公式中的e2 Ze2,就可给出类氢离子的相应的能量和光谱公式。例如He+,Z=2,对于n4上式为 它与氢的巴耳末系公式相似，差别仅仅是n1

6、可取半整数，所以谱线比氢的多。由于RHeRH，所以谱线相对氢紫移。3536例题3738 玻尔理论成功的解释了氢原子和类氢离子光谱的实验规律。关键在于：这个理论中提出了能量量子化的假设，即原子内部存在着一系列不连续的稳定状态能级。39 类氢原子指带有-e电荷的 子和 介子，被质子或原子核俘获后形成的 原子和 原子，以及正负电子形成的束缚系统电子偶素。对于类氢原子需考虑两体运动，即引入折合质量代替氢公式中的m。3.类氢原子例题14041例题242434.里德堡原子 当多电子原子的外层一个电子被激发到n=105630高激发态上时，它看到内层电子屏蔽后的剩余电荷是+e，所以可以借助玻尔氢原子理论描述。

7、这样的原子称里德堡原子。这样的原子半径很大 ，对n=250，r2503.3m接近细菌大小；其寿命也很长 正比于 n4.5 ；但能级间距十分小，如 ，而实温对应的能量为kBT(=300)=0.026eV，所以易受外界电磁场、温度等的影响。445.碱金属原子 碱金属原子可以看作是一个外层价电子围绕一个个子很大的原子实在运动，它感受到+e库仑力作用，所以也可用玻尔氢原子理论近似描述。不过由于原子实内有结构，很易在价电子电场作用下产生极化。由于原子实个子较大，作椭圆轨道运动的价电子还可以进入原子实内，发生较强的束缚作用。所以同一主量子数n的不同椭圆轨道会有不同的能结合，氢原子能级简并度被解除了。见图：

8、 4546 2.4 夫兰克赫兹实验 一、夫兰克赫兹实验目的、原理、装置 二、实验过程三、实验结果与分析47一、夫兰克赫兹实验目的、原理、装置 原子光谱，特别是氢原子光谱验证了玻尔的理论。独立于光谱方法的另一种验证方法是夫兰克、赫兹设计并改进的电子非弹性碰撞实验。通过测量碰撞后电子的电流，证明了原子内部的能量是量子化的。由此获1925年诺贝尔物理奖。48阴极网状栅极阳极真空管内充入所要研究的水银蒸汽49 他们让加速后的低能电子与 汞原子碰撞，发现当栅压小于4.9v时，碰撞是弹性的，电子与汞原子（质量很大）碰撞损失能量很少。板极电流随栅压v增加而上升；当栅压上升到4.9伏时，电流突然下降。如图所示

9、4.9V二、实验过程50 这个现象说明发生了非弹性碰撞，电子的4.9ev能量被汞原子全部吸收了。这个能量正是汞原子从基态跃迁至低激发态所需的能量，它正对应着两个能级之差。当汞原子从该激发态向下跃迁时，还会出现相应的253.7nm的紫外光谱线。 在这个实验装置中，加速电子只要达到4.9ev，就被汞原子全部吸收了；因此不可能出现大于4.9ev能量以上的非弹性碰撞，故不能观察汞原子的更高激发态。为此他们作了进一步改进，如图所示三、实验结果与分析5152 改进的实验装置主要是把加速电子（不碰撞）与电子和汞原子的碰撞（不加速）分别在两个区域进行。在加速区电子被加速，获得较高的能量。在宽阔的碰撞区较高能量

10、的电子与汞原子进行充分有效的碰撞。凡发生非弹性碰撞,电流突然下降，这时的加速电压都对应汞原子向较高能级的跃迁，包括向亚稳态的跃迁。当加速电压升至8v，可以出现六个低的激发态；当加速电压升至10v时，可以出现十四个激发态，对应的汞原子发射光谱相应出现13条谱线（见图）。5354f是自由度数目，p是广义动量, qi是广义坐标,积分号是对一个周期的积分一、量子化通则55二、对圆轨道的修正 索末非考虑了更一般的椭圆轨道运动，发现对同一个由n标定的能级(n称主量子数)，可以有n个不同偏心率的椭圆轨道运动，但它们是能量简并的态。56椭圆轨道的量子化条件半长轴57半长轴半短轴能 量量子数58椭圆轨道的特征能

11、级是简并的：即一个能级对应着n个不同的运动状态,简并度为n,当n确定时，能量就确定了，半长轴也确定了，但是由于n可取由1 n共n个可能值,所以半短轴有n个，因而有n个不同形状的轨道,其中一个是圆，(n-1)个是椭圆。59椭圆轨道的相对大小a1n=1,n=1n=2,n=2n=2 ,n=12a14a16a13a19a1n=3,n=3n=3,n=2n=3,n=1例如 n =1,2,3时，各种可能的轨道形状如下：60例题1616263按相对论原理，物体质量随它的运动速度而改变：物体动能：椭圆轨道运动时电子的轨道不是闭合的，而是连续的进动。三、相对论修正64 一个电子轨道的进动65 玻尔轨道速度为vn=

12、c/n(vn/c= /n)，玻尔第一轨道速度是最大的,为v1= c=c/137,所以应考虑相对论效应。对于圆轨道相对论的修正是 索末非对椭圆轨道也作了相对论修正，计算结果表明系统的总能量不仅与n有关，而且还与椭圆的角动量有关(不同的偏心率椭圆对应有不同的角动量)。66轨道的进动使得在n相同n不同的轨道上运动时能量略有差别。索末菲按相对论力学原理推得：式中67展成级数形式得：68 2 .6 空间量子化与史特恩盖拉赫实验一、电子轨道运动的磁矩二、轨道取向量子化理论三、史特恩盖拉赫实验69一、电子轨道运动的磁矩dre-70 1.电子的轨道磁矩的经典表示式又称旋磁比ri-enoL71磁矩在磁场B中受力

13、矩 ，将引起角动量的变化 其中=B是拉莫尔进动的角速度。拉莫尔进动（见图）是角动量L旋进的运动。 磁矩在磁场中的 相互作用能为 72 因为=-L，量子力学的角动量是量子化的，所以2. 的量子表示73二、轨道取向量子化理论： 2、三维空间中运动时，量子 化条件为：1、 原子处于磁场中时，电 子受到一个力矩作用：BM74描述电子三维运动的极坐标NHrpp-eZe7576轨道的方向量子化n=+1n =1n=+2n =2n=+3n=30-1+10-1-2+2+10-1-2-377三、史特恩盖拉赫实验目的：证明原子在外磁场中具有空间量子化 特征。原理：磁矩为的小磁体（或线圈），在非 均匀磁场中受到的合力

14、不为零：78无磁场有磁场NS79史特恩盖拉赫实验的仪器示意图pc）os1s2sNa)pAcANb) s 80方法：基态银原子束以相同的速度方向通过 与速度方向垂直的不均匀磁场，不同 Z的原子受力不同，因而落在照相底 片上位置不同。由底片上银原子的分布 情况可以判断Z的分布情况。结论：（1）基态银原子有磁矩，且Z=B。 （2）磁矩相对于磁场的取向有两种可 能，偏离直线前进应到达的c点的 距离： 结果：相片P上有两条黑斑，两者对称分布。81（3）用其它原子来做实验时，测出等 于B的整数倍，原子束也分成若干 束。具有空间量子化特性。存在问题：理论上预言应分为2n+1束,即 奇数束。实验上是两束，为偶

15、数。为什么？82实验装置例83 磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力作用产生运动，如沿z方向磁场不均匀，则有 原子进入非均匀磁场l中，沿x方向不受力,作匀速运动。xv0t。沿Z方向作匀加速运动：在xl1处84原子不受力，作自由运动。经l后沿Z偏移为在l段原子沿Z总位移85 原子蒸气被送入不均匀磁场后，发射的原子束将分裂为多束。这证明了原子磁矩 z 的空间量子化行为。但实验发现H（基态）原子（T=7104K,kT=9.0eV10.2eV）进入史特恩盖拉赫装置后分裂为两束；基态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。 按照H原子理论，基态H是1s，l0，m0, z 0,不受力，

16、不会分裂为二。实验发现如何解释这一矛盾呢？86一、电子轨道运动的磁矩二、轨道取向量子化理论三、史特恩盖拉赫实验小 结872 .7 玻尔对应原理一、玻尔对应原理二、玻尔理论的成功之处三、玻尔理论的困难四、波尔理论与量子力学主要结论对比表88一、玻尔对应原理899091929394二、玻尔理论的成功之处（1）应用于氢原子和类氢离子光谱时， 理论计算与实验测量结果符合得很好。（2）里德堡常数的理论值与实验值符合极好。 R实=10967758m-1， R理=10973731m-1（3）原子定态假设至今有效。（4）辐射频率法则是正确的。95原 因实验基础理论基础光谱实验规律；黑体辐射实验；光电效应实验。

17、原子核式结构模型；普朗克量子假 说；爱因斯坦光子假说。96三、玻尔理论的困难3、轨道的概念不正确。2、角动量量子化条件 与现代实验结果不符只是人们的假 设， 无理论根据。1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率，对于多于一个电子的氦原子。理 论完全不适 用，且不能计算谱线的强度。97原 因1、理论内在的不统一，不是自洽的。一方面提出了与经典理论完全矛盾的假设。另一方面又认为经典理论（牛顿定律、仑定律）适用。所以不是一贯的量子理论，也不是一贯的经典理论，而是量子论 + 经典理论的混合物。2、没有抓住微观粒子的根本特性：波粒二象性，仍然把微观粒子看作经典理论中的质点。更完整、更准确的、应用面更

18、广的关于原子的理论是1925年建 立起来的量子力学。98 四、波尔理论与量子力学主要结论对比表99一、玻尔的氢原子理论椭圆轨道量子化椭圆轨道特征二、玻尔理论应用于类氢离子三、索末菲理论四、相对论效应小结五、玻尔对应原理和地位100 思考题 （1）19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？（1999长春光机所）（2）用简要的语言叙述玻尔理论，并根据你的叙述导出氢原子基态能量表达式.（1998南开大学）（3）写出下列物理量的符号及其推荐值（用国际单位制）：真空的光速、普朗克常数、玻尔半径、玻尔磁子、玻尔兹曼常数、万有引力恒量. （2000南开大学）101（4）解释下列概念：光谱项、定态、简并、电子

19、的轨道磁矩、对应原理.（5）简述夫兰克赫兹实验的原理、方法、实验结果的分析及结论。（6）简述玻尔对原子结构的理论的贡献和玻尔理论的地位与不足。（7）在玻尔模型的理论框架下，导出氢原子中电子作圆周运动时能量的相对论修正。（吉林大学2000）（8）何谓里德伯原子？为什么在现代生命科学、同位素分离、激光等研究领域中要研究里德伯原子？102作业题 （1）单色光照射使处于基态的氢原子激发,受激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出10条谱线。问：入射光的能量为多少？其中波长最长的一条谱线的波长为多少？（hc=12400eV）（2）已知一对正负电子绕共同质心转动会形成类似氢原子结构-正电子素.试求：正电子素处于基态时