随机过程理论：06 随机过程的均方微积分

1、画家、仆人与小偷抽象的价值：类与对象小故事第六讲：随机过程的均方微积分主讲人：张有光 概 述信号与系统信号描述、线性系统线性系统 = 常系数微分方程随机信号、线性系统需要建立微分、积分的概念主要内容一、随机过程均方收敛二、随机过程均方连续三、随机过程均方微分四、随机过程均方积分一、随机过程的均方收敛1、概率收敛2、均方收敛3、均方收敛的主要性质4、随机过程的极限1、依概率收敛 回顾定义设 为一随机变量序列， 为一个随机变量，若对任意小的正数 ，恒有：则称 依概率收敛于随机变量X。2、均方收敛设 为一随机变量序列， 为一个随机变量，若,且记为均方收敛则称 均方收敛于 ，或者说 是 的均方极限，记

2、为：或简记为：由于则均方收敛一定依概率收敛！3、均方收敛的主要性质均方收敛的主要性质4、随机过程的极限定义设 为一随机过程， 为一个随机变量，若对任意小的正数 ，恒有：则称 依概率收敛于随机变量4、随机过程的极限均方极限定义：设随机过程 和变量X都有二阶矩，若或则称 均方收敛于X 或者说X是 的均方极限，记为：二、随机过程的均方连续性1、均方连续的定义2、均方连续性定理3、均值连续性1、均方连续定义：设X(t)为随机过程，若对于tT,则称随机过程X(t)在t点均方连续，如果对 于任意的tT，X(t)都是均方连续，则称X(t)在T域上均方连续。2、均方连续性条件X(t)在时刻t均方连续的充要条件

3、是：相关函数在(t,t)处连续。特别的对平稳过程 证明：3、均值连续性若随机过程 均方连续，则其均值函数 必定连续，即证明：4、均值连续性说明 左边为普通函数极限，右边为随机过程极限，该定理表明： 均值运算与极限运算交换顺序 三、随机过程的均方微分1、均方微分2、均方可微的充要条件3、均方导数的均值4、含有微分的相关函数1、均方导数的定义设X(t)为一随机过程，若存在随机过程,使得对于 ,有则称X(t)在t点均方可微，且称 为 点在t点的均方导数。若对于每一tT，X(t)都均方可微，则称X(t)在T域上均方可微。2、均方微分（导数）变换对于区域T上处处可导的随机过程对应就有导数随机过程 ，那么

4、我们称该变换为微分（导数）变换，很容易验证该变换是线性时不变的。2、均方可微的充要条件随机过程X(t)在T上均方可微的充要条件是：其相关函数 的二阶导数 对于对角线上的每 一点 上存在。对于平稳过程有：举例：已知随机过程 的相关函数为 问 是否均方连续，均方可微？3、均方导数的均值若随机过程X(t)，tT是均方可微的，则X(t)的这些均方导数的均值存在，且为均值运算与导数运算可以交换顺序4、含有微分的相关函数若对于每个tT，在(t,t)上二阶广义导数存在，则在 上偏导数 存在且有界(a) (b) 同理，对于平稳过程这说明在同一时刻是互不相关。(c)对于平稳过程(d) n阶导数如果随机过程是平稳

5、的，且 存在，则其n阶微分过程 也是平稳的，且如果随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则有5、导数过程Y(t)的功率谱类似地四、随机过程的均方积分1、均方积分2、均方可积的充要条件3、均方积分的均值4、均方积分的相关函数1、均方积分的定义定义： 设X(t)为一个随机过程，a,b T,且 均方积分的定义若和式具有均方极限，则称随机过程在区间a,b上均方可积（黎曼可积）。其极限称为X(t)在区间a,b上的均方积分。记为：即：2、均方可积的充要条件随机过程X(t)在a,b上均方可积的充要条件是： 在矩形域 上均方黎曼可积。随机过程均方黎曼积分的性质取决于它的自相关函数的普通黎曼积分的性质。3、均方积分的均值若随机过程X(t)在a,b及c,d上均方可积，则有4、均方积分的相关函数同样条件下5、随机过程的积分变换若随机过程 在域a,b上均方可积，且输出过程为1）输出过程的均值若 为平稳过程，均值为常数c，则输出过程均值函数为c(t-a)5、随机过程的积分变换2）输出过程的自相关函数5、随机过程的积分变换3）输出过程的协方差函数对于X(t)平稳过程，其协方差函数：小结 如何理解均方微积分？从普通微积