根式函数值域

1、探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此,本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。.平方法例1:求yU厂XJx3的值域解：由题意知函数定义域为3,1,两边同时平方得y242X22x3=4+2,X1242利用图像可得y4,8，又知y0y2,2在所以函数值域为2,2,2析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为2yabx的形式，先求y的范围，再得出y的范围即值域。2.换元法例2：求值域1)y2xVX1)yX4x215解：

2、(1)首先定义域为1,令tTXIt0,将原函数转化为0,析：当函数解析式由未知量的整数幕与根式构成，并且根式内外的未知量的次幕保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。(2)首先，函数定义域为x2,2,不妨设x2sin,令则原函数转化为：y 2sin2 cos 2 - 2 sin析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。.数形结合法例3：1）求yJx22JX82的值域。2）求yVX22x2&6x13的最

3、小值。解：（1）yJX2X8X2x8其解析式的几何意义为数轴上的一动点x,到两定点2与-8之距离之和，结合数轴不难得到y10,（2）解析式可转化为yJx121JX324,定义域为R,进行适当的变形222222x11dx34Vx101x302，由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。点Px,0到A1,1和B3,2的距离之和。即yPAPB,结合图形可知VPAPB、113,其中A1,1ymin析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。例4:1）求yx1；3x22x的值域2）求y2vx1,6x的值域解：（1）函数定义域为x1,3令u；3x

4、22x,vx1消去x可得u2v224当x1,3时，u0,2,v0,4原解析式可化为yvu,即vuy22原值域问题可转化为：过圆弧uv24（u0,2,v0,4）上的一动点 TOC o 1-5 h z u,v，且斜率为1的直线系vuy在v轴上的截距y的范围问题。结合图形可得，当直线过点0,4时，ymax4,当直线与圆弧相切时ymin22V2所以原函数的值域为222,42）函数定义域为x1,6令u2、：石，v府力，消去x可得U24v228其中u0,277,v0,原函数可转化为yvu,22即vuy原值域问题可转化为：过椭圆uv1（u0,2v0,）上的287一点u,v且斜率为-1的直线系vuy在v轴上的

5、截距y的范围问题。数形结合可得，当直线过点0,时，yminJ722当直线与椭圆弧相切时，uv8消去u得5v22yvy2280vuyv由0,y廊或者yv35（舍去）得y77,735析：本组题目借助于直线与曲线的位置关系（常用的是直线与圆，直线与椭圆），巧妙地把复杂的值域问题转化成截距问题，不管是把值域问题转化成动定点间的距离问题还是直线与曲线的位置关系问题，数形结合的方法，都可以巧妙地避开复杂的运算，使运算过程大大简化，但要求解析式具有某种明显的几何意义。.向量法例5:求y12J19x5dx10的最大值。解：解析式的定义域是x10,19,解析式可以看成是2个向量的数量积，不妨设a12,5,bJ1

6、9x,Jx10,所以yab,其中|a13,b3,根据向量的数量积定义得abab=39,当且仅当a和b同向的时候，“二”成立，即12jx10=5j19x,x到5,169因为x10,19,所以最大值为39。169.利用函数单调性解：函数定义域为x2,6 ,易知函数在 2,6上是单调递增数列当x2时，y2J2,当x6时，y4minmax所以函数白值域为y2.2,4析：若函数解析式可以比较方便判断他的单调性，那用这种方法就比较简洁。尤其是在填空题中，从函数的单调性入手可以提高做题的速度。.导数法例7:求函数y2x4v1x3的值域。解：函数定义域为x2,2.x3,2x4=2x82、2x4、x3当x2时，2飞J2x20y0函数在2,上单调递增，又f21函数的值域为1,析：导数法是求函数值域的一个有力的工具，只不过含根式的函数求导过程比较繁琐，在实际操作的时候，注意运算的准确性。通过此文不难发现，含根式函数