必修一第一章集合与函数概念题型分类

1、必修一第一章集合与函数概念题型分类题型一：集合的有关概念.下列各组对象：接近于0的实数的全体；比较小的正整数的全 体；平面上到点A的距离等于1的点全体；正三角形的全体； 隹的近似值的全体.其中能构成集合的组数是（）A. 2B. 3 C. 4D. 5.解析：考查构成集合元素的三要素：确定性、互异性、无序性.答 案：A.2,已知集合A=m + 2,2m2+m,若3WA,则m的值为.解析 因为3GA,所以m + 2 = 3或2m2+m = 3.当m + 2 = 3,即m=1时，2m2+m = 3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不合乎题意，舍去；当3 ,、2m2+m = 3时，解得m =一万或m

2、3 m = - 2.一1=1（舍去），此时当m = 2时，m + 2 = 2w3合乎题意.所以答案 题型二：集合的基本关系3.已知集合 A= x| -2x,7B = x|m +1x2m1,若 B?A,求 实数m的取值范围 .解：当B=时，有m + 1乒2叶1,得m2,m + 1 * 2,当Bw时，有2m 1W?解得2Vme4. 综上：m4.m + 11)(3)配凑法：已知f(x f x2妥，试求函数f(x)的解析式.解：f(x ；) x2 , (x )2 2 ,所以 f(x) x2 2(x2或 x 2).(4)解方程组法：已知f(x) 2f(1x) x ,试求函数f(x)的解析式.；联立消去心

3、，得 x2 x2f(x)(4)解：f(x) 2fg) x ；以 x 代替 x得心 2f (x):3x【归纳总结】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待 定系数法；设出函数解析式，根据已知列出关于系数的方程(组)解 出系数.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意 新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达 式，然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式；(4)解方程组法：已知关于f(x)与一f (x)或f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组

4、成方程组，通过解方程求出f(x).题型八：求函数的值域(基本函数法、分离常数法、配方法、换元法、 单调性法).求下列函数的值域(1)基本函数法(基本函数x2 0,ax 0,|sinx| 1,| 8sx| 1等)求y号的值域. i x(1)解：y2，所以x2胃，解得i x 1；所以y 片的值域为(I. 1 xI y x(2)分离常数法(分式型函数)求函数y -的值域. 1 x(2)解：y看1三，所以函数y M的值域为y|y 1.(3)配方法(二次函数型) 求函数y 2x2 6x125的值域.(3)解：y2x2 6x 125 2(x 2)2 3,所以函数 y2x2 6x 15 的值域为(,3.(4

5、)单调性法求函数y 2x2 6x 125在2,5上的值域.(4)解:函数y2x2 6x 15在2,5上单调递减，所以当x 2时，ymax (；当x5时,y min所以函数y2x26x ”在2,5上的值域为与,；. 换元法(形如：y ax b 7尸，设，”5,t。，反解x 1，转化为关于t的二次函数求解，但要注意新元t的范围) 求函数y 2x ,丁1的值域.(5)解：设 tG,t。，则 xt21 ；所以 y2(t21) t 2t2 t 2 2(t-1)2葭；因为t。，函数y 2t2 t 2单调递增，所以当t。时，ymin 2,所以函数y 2x 的值域为2,）.题型九：函数的单调性及最值、求单调区

6、间.求证：函数f（x） X ?a。）的单调性X13.解：设xx2同）且f(X2) f (X1 ) (X2X2)(Xi )(X2Xi )(1XiX1X2 )旦)X1X2Xi，X2（。7百）1 X1X2X1X2 ,X2X1 f(X2)f(X1)0)即f（X2）f(x1),所以 f(x) X a(a 0) x在9国上单调递减.同理可证:f(x) x a(a 0)X在（6。）上单倜递减；在（,加和解，）上单倜递增.【归纳总结I函数单调性：在（点0）和f（x） xa 0）俗称“对勾”函数，奇偶性：在其定义域上为奇函数;（0,国上单调递减；在（，洞和小，）上单调递增.大致图象如下图:14.解:.已知函数f

7、（x）泞的单调递减区间为 Xf（x）泞1六，所以函数f（x）”的单调递减区间为（,1）,（1,）. XXX.函数y 2X2 x 3（ 3 x 6）的单调增区间为15.解：函数y 2X2 x 3 2(x 1)2告的单调增区间为。6；递减区间为3,；.484,416.求函数16.解：f(x)X 2f (X) -( 3X 1X 2/11 X 1 X 12)的最值.设 X1，X2 (, 1) , 且 X1X2)11f(X1)f(X2) (1 -) (1 -)X1 1x2 1X2X1(Xi 1)(X2 1)X1,X2(, 1),(X11)(X21)0，X1 X2 ,X2X10 , f(X1) f(X2)

8、 1 )所以f(X)泞在(，1)上单调递减，所以 .,.当 X 3 时,f(X)maX f( 3) 1 ；当 X 2 时，f(x)f(X)min泞在上3, 2单调递减; X If( 2) 0 .题型十：知函数单调性求参数的范围17.若函数f(X) = 4X2kX8在5,20上是单调递增函数，则实数k的取值范围是17.解析：.函数f(X) = 4X2kX8的对称轴为X=k，又函数f(X)在5,208k上为增函数，即k0盾(2X+ 8)上为单调递增函数，求实数a的取值范围.18.解：在区间(2, +8止任取X1X2,且 X1X2,则2 .X12+ af(X1)f(X2)=XX 12 .X22+a

9、_X2一a a z_a_aX1 + x1 X2+x2=(X1X2)+ X1 X2(xx2)(1XlX2.f(x)在(2, +8)上为增函数，(x1 x2)(1 贵0.a 一又 x1x2,即 x1 x20,.二 1,即 ax1x2. x1x2 .x1, x2 (2 , + 8), 且 x14.a0)题型十一：函数的奇偶性19.判断函数的奇偶性f(x)=74 x23 x2 + Yx2 3; (2)f(x)= =;(3)f(x) = (x + 1)|x 十 3| 1 31-xx2+x?x0?,V 1 + x； (4)f(x)= x2x?x0,回答下列问题.判断f(x)在(一1,1)上的奇偶性，并说明

10、理由；判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由;1 1 111 ， 若 f5 = 2,试求 f 2 f 11 f 19 的值，3-x2Q /日19解：由x23叫彳”=3或x=a/3.函数f(x)的定义域为又对任意的xG 禽，43, -x 0, f(x) = -4F=；x .又 f( x)=x 十 3 3 x.f( x)= f(x). ：f(x)为奇函数.1 xTQ ,(3)由1 + x 得一10 时，f(x) = x2 + x,贝IJ当 x0,故 f( x)=x2x=f(x);当 x0 时，一 x0,故 f( x)=x2 + x= f(x),故原函数是偶函数.(5)解:(1)令 x=

11、y=0?f(0)=0,x1 x21 一 xx2令 y= x,则 f(x) + f( x)=0?f( x)= f(x)?f(x)在(一1,1)上是奇 函数.设 0 x1x21,则 f(x1) f(x2)=f(x1)+f( x2) = fhx1 x2而 x 一 x20,0 x1x21? 1 x1x2x1 x2又：1 x1x2(1)?1 + x1?1 x1?44r/ x1 x2x1-x2故TjK20则 fT,0，即当0X1X2f(X2),1 Q0,1_12-511 =f 3 .12X5f(x)在(0,1)上单调递减.一一 1111f - =2f1 195由于 f2T5=f2+-5=f同理 flf=f

12、l f1 -f =f1 /.f1 -f 31 11 f 4 * 41 19 f 5 1 21 112弓=1.【归纳总结】判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对 称，则既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断:定义判断：f( x)=f(x)?f(x)为偶函数, f( x)= f(x)?f(x)为奇函数.等价形式判断：f( x)f(x) = 0?f(x)为偶函数, f?-x?f( x)+f(x) = 0?f(x)为奇函数.或等价于79万=1,则f(x)为偶函 i：x：f?-x? , i?xr=-1，则f(x)为奇函数0(3

13、)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通 过合理、灵活地变形配凑来判定.判断函数的奇偶性一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法(在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 清=偶，偶+偶= 偶，奇必禺=奇).20.若函数f(x) = ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a1,2a,则a =, b =.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a1 = 2a,解 得 a=；.3 一，1 C又函数f(x) = x2+bx+ b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点， 3一 乙一1易得b=0.答案：1 03.设f(x)为定义

14、在R上的奇函数.当xACB寸，f(x) = 2x+2x+ b(b为常 数)，则 f(1)=()A. -3B. -1C. 1D. 3.解：选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0) = 20+2XO + b = 0,解得 b=1.所以当 xACB寸，f(x)=2x+2x1,所以 f(1)= f(1) = (21 + 2X 1)= 3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x) + g(x)= ex,则 g(x)等于()-1-1 -1A. ex-e xB.2(ex+e x)C2(e x-ex)D. 2 (ex-e-x).解析：选D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,，f(

15、x)=f(x), g( x)= g(x). f( x)+ g( x)= f(x) g(x)= e x.又. f(x) + g(x)= ex) : g(x)=ex-e.已知奇函数f(x)的定义域为R,且当x 0时，f(x) x2 2x 3,求f(x)的解析式.解：(I).奇函数他)的定义域为R,当x0时，皿0；(2)当x 0时,x 0,而当x 0时,_22_2_又因为f(x)的定义域为R的奇函数,f ( x) f(x) ).= f (x)x2 2x 3 ；f(x) x 2x 3 , f( x) ( x) 2( x) 3 x 2x 3 ,2所以f(x)x 2x 3,x 00,x 02x 2x 3,

16、x 0【归纳总结】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值；将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出, 或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值；常常利用待定系数法：利用f(x) f(x) 0得到关于待求参数的恒等式， 由系数的对等性得参数的值或方程求解.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 题型十二：函数的奇偶性与单调性综合应用.设偶函数f(x)在(0, +8)上为减函数，且f(2) = 0,则不等式止一 的解集为()(2,0)U(2, +8)( 8, -2)U(0,2) 2)U(2, 十0)D. (2,0)U(0,2)24.解析：选B f(x)为偶函数，.f(x) f( x) 2f(x) 0 xx ,xf(x)0,又 f( 2) = f(2) = 0,x 0 或 x 0f (x)