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文档简介

1、第 四 章 数 值 积 分 和 数 值 微 分学习目标理解求积公式及代数精度概念，掌握确定求积公式的代数精度的方法，掌握 Newton-Cotes 求积公式、Romberg算法及Gauss求积公式的构造技术、特点及余项形式。掌握复化梯形求积公式、复化Simpson求积公式的构造技术及余项形式。了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积分。了解数值微分法及 Richardson 加速技术，了解Newton-Cotes求积公式、Gauss 求积公式的稳定性问题。（Numerical Integration）4.1 引言与问题特例示例 引言 积分与微分的计算，是具有广泛应用的古典问题然而

2、，在微积分教材中，只对简单的或特殊的情况，提供了函数的积分或微分的解析表达式比如，对于在区间 上函数f (x)的积分，只要能找到被积函数f (x)的原函数F (x) ，在理论上可以使用Newton-Leibniz公式计算但对很多实际问题，这种方法已无能为力，常常遇到的主要问题有：(1)找不到被积函数f (x)的原函数F (x) ，如(2)被积函数没有有限的解析表达式，而是由测量数据或数值计算给出的数据表示 例4.1 一块铝合金的横断面为正弦波，要求原材料铝合金板的长度。也就是f (x)=sinx 从x=0到x=b的曲线弧长L，可用积分表示为这是一个椭圆积分计算问题。例4.2 正态分布是统计学中

3、的重要分布, 正态分布函数的简单形式是 . 该函数在科学和工程中有很多应用. 对 , 该函数曲线与轴之间的面积可用积分表示为 因此，积分的数值计算问题是值得研究的重要问题. 对函数的微分也一样，以表格形式给出的函数，要求出其导数时，也是要依靠数值微分的方法 例4.3 已知一组实测数值 其数学模型是一个二阶常微分方程 需要确定模型中的待定参数a和b如果能由实测数值得到 和 的数值，代入模型中就可用最小二乘法确定a和b.这是一个计算数值微分值的问题所谓关于的数值积分公式，就是一类公式，它是用被积函数f (x)在a,b区间上的一些节点xk 处的函数值f (xk )的线性组合来近似作为待求定积分的值，即右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中xk称为积分节点, Ak为求积系数, 也称之为

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