江苏省扬州市2020届高三上学期期中调研测试数学试题

1、江苏省扬州市2020届高三上学期期中调研测试数学试题第I卷(必做题，共160分)、填空题(本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.)1 .已知集合A = 3 , 4B = 1 ，3,则 A U B =答案：1 , 2, 3, 4考点：集合的并集解析:.集合 A = 3 , 4B = 1 ，3,2.若. AUB=1 , 2,3, 4.(3 i)z 2i (i为虚数单位),则复数z =答案:考点:复数解析: (3i)z(2i) (3i)(3i) (3i)i2 5i 69 i25i 5103xm(m R)是偶函数,答案：0 考点：函数的奇偶性解析：函数y 3xm关

2、于直线x = m对称，且是偶函数，直线x = m 与y轴重合，即 m = 0 .24 .双曲线匕X21的渐近线方程为答案：y 2x考点：双曲线的渐近线22解析：根据双曲线 与 x2 1(a0, b0)的渐近线方程为y ax, a bb2得双曲线 x2 1的渐近线方程为y 2x .4.抛物线y2 4x上横坐标为4的点到焦点的距离为 .答案：5考点：抛物线的定义.一 2 解析：抛物线y4x的焦点坐标为(1 , 0),准线为x= - 1,则抛物线上横坐标为 4的点到准线的距离为 5,根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5.21n x, x 0.设函数 f (x)1，则 f (f (e2)=.x

3、, x 02x答案：16考点：分段函数2解析： e 0f(e2) 21n e 24 0 ,-21则 f(f(e2) f( 4) 27 16. 27 .直线ax 2y 6 0与直线x (a 1)y a 1 0平行，则两直线间的距离为 6 5答案：5考点：平行直线及其距离2解析：:直线ax 2y 6 0与直线x (a 1)y a 1 0平行,2 .a(a 1) 2 0, 2(a1) 6(a 1) 0,解得 a=1,6,55此时两直线方程为：x 2y 6 0与x 2y 0,则两直线间的距离为62(2)2一 一 1 x8.函数f(x)六的极大值是 e答案：1考点：利用导数研究函数的极值解析： f(x)

4、f (x)1 xexxx e当 x0, f (x)在(,0)单调递增,)单调递减,当 x0 时，f (x)2半(纵坐标保持不变)，得到函数f(x)的图象，则f (-)=答案:考点：三角函数的图像变换 解析：函数y cosx的图象向右平移 万个单位后，的函数 y cos(x ) sinx,再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得f (x) sin2x,故 f () sin . 632.梯形 ABCD 中，AB /CD, /BAD =90 ,AD = AB = 3DC =3,若 M 为线段 BC 的中uuuu uur点，则AM BD的值是3答案：-32考点：平面向量数量积 解析

5、：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,得 A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 3) , D(0 , 3) , M(2 , 1)2则AMr =化，3), BDu=(3,3),2uuuu ULLT3 .AM BD =(2 , -)(-3,= 2 X( 3) + - X3 =.2211 .在9BC中，角A, B, C所对的边分别为a, b , c,若 b = 3, sin cosA = -,则ABC的面积是 .答案：,2考点：正弦定理，余弦定理 .22解析：由正弦th理可将sin 2A - sin 2B = 3sin 2C转化为a b 3c ,由余弦定理得：a2 b2 c2

6、 2bccosA ,1一将b = 3, cosA = -，代入上面两个式子，并化简可得: A sin 2B = 3sin 2C,a2 3c2 922,解得：c 1 ,a2 c2 2c 9 TOC o 1-5 h z - cosA = , .sinA = ?短 33112、2=- S= bcsinA = 131 = V2 .22312 .已知点 A( - 1 , 0) , B(2 , 0),直线 l： kx y 5k 0上存在点 P,使得 PA2 + 2PB=9成立，则实数k的取值范围是、.1515答案：加加 考点：直线与圆的位置关系 解析：设 P(x, y),根据 PA2+2PB2 = 9 得

7、:22 一一 22一(x 1)y 2(x2)y9,化简彳导:(x 1)2 y2 1,故点P在以（1 , 0）为圆心,1为半径的圆上，又点P在直线l ： kx y 5k 0上,1,化简得:综上所述，实数15k2 1,则 1 k151515，k的取值范围是1515，1513 .已知实数x, y满足y3 口小且 6xy9x 2y4 0,则3x y的最小值是答案：2+12考点：基本不等式解析：6xy 9x 2y 4 0,31(3x 1)(y 2) 2,2 2。八 /3Kx6-，(3x 1) (y ) J2,当且仅当二取“=”，22 3y 丁故 3x y 22+ , 21综上所述，3x y的最小值是22

8、+-.214 .已知关于x的不等式(x k 1)ex e2 0有且仅有三个整数解，则实数k的取值范围是.C 1答案：(e, 3 e考点：利用导数研究函数存在性问题(不等式整数解) 解析：令 f(x) (x k 1)ex e2,则 f (x) ex(x k)当xvk时，f (x) 0,此时f (x)在(，k)单调递减;当xk时，f (x) 0,此时f(x)在(k,)单调递增.，当x = k时，f (x)有最小值为ek e2,显然(x k 1)ex e20有解，则 ek e22,此时f(2) (2 k)e2 0,故x = 2是原不等式的整数解，2当 f(1) 0时，即 ke e0时，2vkwe,.

9、一.、42一、42_ 此时f (4)(3k)ee(3e)ee0 ,故此时最多有两个整数解;当 f(1) 0时，即 ke e20时，ke,此时 f(3)(2k)e3e2(2e)e3e2e2(e2 2e 1) 0,故x=1, 2, 3是原不等式的整数解，则2f (0) k 1 e20f (4) (3 k)e4e212， ee2 11 ,故 ev k33 -e1综上所述，实数k的取值范围是(e, 3 .e二、解答题(本大题共 6小题，共计90分.请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.)15 .(本题满分14分)X 1已知关于X的不等式 0的解集为A,函数f(x) X

10、X2 2mx m2 4的定义x 3域为集合B (其中m R).(1)若 m 0 ,求 A B;(2)若B 6rA,求实数m的取值范围.151解/ (I)由 j 0得4=- 1 3； *2分 TOC o 1-5 h z 由_+4之0得H =4分= (- 1*2,1 分S)由一/ + 2，毗-+4可词：一巾-2。玲+ 2|9分I IJ*,* K r x35 fJX 州 一3 .二实效所的取值范国为(一卜但也)14分16 .(本题满分14分)已知 (0 , 一)，cos 3 . 25(1)求 tan()的值；(2)求 sin(2 )的值.6/553* n. tan( /z + )inn tz + t

11、anlan a Tansin = 2 sin a ctis ff .”.”一一“”* 分25 TOC o 1-5 h z , E 37cos la = cos1 a - sin a =.。分25hi sin(2/r + - ) = Tn la cck - + wvs la sin - 66624 由，7、I -74 24石,= +(-)-=14 分25 225 25017 .(本题满分15分) 22已知圆C： x2 (y 2)2 4,直线l过点A(-3, 0).(1)若l与圆C相切，求l的斜率k ;(2)当l的倾斜角为 z时，l与y轴交于点 B, l与圆C在第一象限交于点 D,设uuu uur

12、AB BD ,求实数的值.17. ? ； ( i )因为，:y = (x+3)勺同c相切，所以战心C到出线的距禹V1 + A22-解辨大二0成k=号所以斜率无为0或，(2)法：当/的憾斜角为45时./:y = x + 3.令x = 0.得y = 3,所以(0,3)y = x + 3一 u 解林 x* +(y-2) =4-1- 77X = -2-3-币10分舍去.则.48 = (3,3). 8。:12分所以 2 = -I= 77 + 1.7 +出215分法二.当/的倾斜角为45时,/:yx+3.令x = 0,存,所以5(0,3)过点C作.48的垂找交.48 丁点CM 721 = +210分MD

13、=八-CM，=浮.雨7515 U =-12分乂-8 = J(-3)?+3, =3后15分所以 4 : / 35/? _ 币 + V14-V2法三t%的械斜吊为 吐时.心= 令n = 0,用f = 所以阴0.3) 陵川小耳)33 -/l!X&=Il”3 3 1则,；、a 月 .用 D + + 3|3二闷打一3)上+3上/1 * A又点D在上.所+(3+32)4 1 良=币+118 .(本题满分15分)为迎接2020年奥运会，某商家计划设一圆形图标，阴影部分)，圆的半径为1米，AC, BD是圆的直径，E 一、一 一一 一 ，一、一 2圆心O是矩形EFGH的中心，若 EF 万米，ZAOB =(1)当

14、一时，求“杠铃形图案”的面积；3(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值.1E飞JT15分内部有一 “杠铃形图案”(如图,F在弦AB上，H , G在弦CD上,2舁4123二 1/。在第象张，ffiy(X3) = (AIN,斛：出&A中点为H.连结QW，则(71 / cm , 4 口 2 sin。11=E时，杠竹花图案的面阻S = 22-】、.“ n 2 /r -x 2 x sin -cck +-cis-233 33 J鲁I当。三土时,杠普格图案的面秩为4 小士甲力米.6分 3323打心出旧飞的面根(，“ 二2 一、in?匕* 0)的直线l .若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；直线l在y轴左侧交圆

15、于B、D两点，与椭圆交于点 C、E (从上到下 依次为B、C、D、E),且AB = DE,求实数t的最大值.19.外设惭圆的仅拒为2r因为线段tF为白役的回与杭圆交卜点/所以1=5法一：（-4,0）,鸟（石.0卜则24 = /； + =6. = 3所以6 = 曲方 =J5= = 2（2）因为H畿y=匕+/。园相切,所以 J ；、=.即=5（1+二）v-kx + t/ v: 消去y得（9/+4）/+18加+ 9-36 二。+ = 1I 9 4因为宜找与桶13相切.所以a二（1 如1-4（9产-36乂9公.4）二0即9公一八.4 = 0 （ ii ）%联立（i ）H）用；负傅仲去10分2取 Hl)

16、 + A M.H,则 OM XAH.r = fa- + z解用 太+1。+】所2X74-1.36H+2P + 1)36(i2 + iy代入林圜方程化前加=说用r+11WJr = 一2036,当m=2时 f取最大值3 .此时* = 1.y a 时*津(T2),r15 %】，-TTh 乂1)百-3叫I I J1, I J8 J符合甩息.A1U的展人悔为工(不检总扪分1法F r，rijOM 1 WR*M为中巨所以OEOA I9(r -4)fflr = + 4心，9.所以1工3,，的最大值为3.此时# = 1又=1. f=3时.川OJ)津(T2)C 一，f-21)“T0) L 13 13 J符合也故f

17、的呆人佗为3.(不检验扣I 16分20 .(本题满分16分)已知函数f(x) In x2ax 2ax 2 a (a R).(1)当a 1时，求函数f(x)在x 1处的切线方程;(2)是否存在非负整数a ,使得函数f (x)是单调函数，若存在，求出 a的值；若不(3)已知 g(x) f(x)存在，请说明理由;x 3 ,若存在b (1 , e),使得当x (0 , b时，g(x)的最小值是g(b),求实数a的取值范围.(注：自然对数的底数 e 2.71828L )2O.*Tt (I) /a)的定义域为(0.X0).“i 0 时./(x) .-Ihjt-x h(0Xl 0, Hr Mx)1nm %(

18、!) 2a( -) -2a + I 2O.J.0a M2 1222X Zy:.a = L2. 7分综上，满足条件的条负整数a的值是0,1,2。) .当。=0时，(x)=1U时,旬U)是玳调增函数.则八幻=，37 0. x即2a-2av+140(x0)恒成立，这不可能;5分花外是单.调减函数.则八幻=_过二名竺里 X即2a1 2agi 20(0)恒成立，令h(2G -2ax+l真开口方向向匕对称他方程为工 g(x) =-lnr-av2 +，,、 . , 2ar7Z + 】)x + l(x -IX2ox-l)X(Jf)=-2a + 2。，1 = xxx当a.o时.生二Ivo. x当Ovxvl时.x

19、tOl时，g(X)0, R(x)在(1.+)上为增函数.所以当工8(0,句。力0时.g(x)=xi)当! g(e)整理得+(/ - 2e)a4 2-c 0.2a4c勺尸h - + |J -2(JM + 2 -,4a2所以Hu) 6 (lr为附函政. TOC o 1-5 h z 所以.当“),时* Zu) a尸(,)h 1/L 一 %)十？ 一小二一+ 1 a。+ 222 222口III*当,时*刚恒成立故当n. r(Qtl (1 b；再足博意.12分M-当- - i,即/时，/(工卜J二田”人当且仅当的取等号. la2jt所以则x)在他2)上为减函数.从而虱外在也加卜内故南出工:门制*.13分

20、(於-12 M卡t _ e - 2 匕 a r .(c-n-l)- 22 忤一 if所以实数0的取值范围是磊,i16分(iii) 1,即Omse1时.当K变化时.gUIg(1)的雯化情猊如下表工2仃24(M2aI2u11二一一十工) la| !( 01 。+ 10一00树小他0ZWAtfl拧满足同鱼.只足足或叫Eg.R若_!_.j.不苻合u童品2aui21 . (10分)已知向量第II卷(附加题，共40分)的一个特征向量. TOC o 1-5 h z 1a 1是矩阵A的属于特征值10 3(1)求实数a,的值;_ 2(2)求 A .产特怔侑上的一个特征向成为a=所以+】 = 一人所以1(2)由知

21、H =16 70 910分22 . （10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中.（1）求两次取得的球颜色相同的概率;（2）若在2个白球上都标上数字 1, 3个红球上都标上数字2,记两次取得的球上数字之和为X ,求X的概率分布列与数学期望E X .22.解，1号次取得门城的概木鼬取咫红厚的概率足2. 55曲次都取1门球的概率是网次都取得“球的橄率是一3分故两次取得的球颜色相同的概率为，（：）+（：） =+ = |（2）力能的取伯为234.P(X 2)3 3P(* = 3) = ；x J ；NX = 4)! 2 12-X vI

22、5 25 9K=5 5 25所以上的分布列为:4124 16所以Md , 明甲F(X) = 2一43比一，4一=252525 523 . （10分）如图，正三棱柱 ABCAiBiCi的所有棱长均为 2,点E、F分别在棱 AA 1、uuirsin5ft il 一河 AH（丈正三幢村4月G中r i-1所以 AA|,LOC所以00O勾中M圜所在仃分别力故井面轨，所植用的余弛值为H（L2X,0）. F（-L2-2JL0）BBi上移动A EF C的大小为1,-,求异面直线 CE与CiF所成角的余弦值 2uur uur uurAE AA，BF 1C2 ih可行r (T2 U.dl._. /.tr + 2Ay St = 0-设T谢CTF的一个跳向精(为,乂1),则 -厂 *取士 = 1得:a*( A -X + 2 - 22)j - vk=0力司赤-地3Jj）*取r j| ALL的-d同工OC =（。&.4）r由二面向 A-EF-C 的大小为 , 且冰8=还 TOC o 1-5 h z fR川I比4 I64I国词万.7日+画2 5化而附(2/-1产,所以工 10分36n k 1 1 k24 . (10 分)设 Sn 1Cn , n, k N .k ik，求 S2 S1, S3 S2；c n 1X，(2)猜想Sn一的值，并加以证明.k 1 k(2)猜忸：5.工一