[PPT]材料力学课件之弯曲变形

1、第7章 弯曲变形 简单超静定梁7 概 述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 y同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴相对于原位置转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线： 变形后，轴线变为连续光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 平面弯曲时，梁的挠曲线为在外力作用平面内的平面曲线。一、度量梁变形的两个基本位移量PxvCqC1yq横截面上其他点的位置随之确定。注：上述正负号规定是相对于图示坐标系而言的。三、挠度与转角的关系1.梁的挠曲线方程沿梁轴

2、线方向各横截面挠度的变化规律。2.转角方程3.小变形时，挠度与转角的关系四、计算弯曲变形的方法积分法；共轭梁法；叠加法；能量法；初参数法。7-2 梁的挠曲线近似微分方程1.平面弯曲时，弯矩与曲率间的物理关系 公式推导中应用了胡克定律，并不计剪力对弯曲变形的影响，故适用于线弹性范围、小变形的情况。2.高等数学中，平面曲线的曲率公式小变形，梁的挠曲线是一条平缓曲线，转角 很小， 。 故3.梁的挠曲线近似微分方程yxM0yxM0 梁的挠曲线近似微分方程(1)不计剪力对弯曲变形的影响；(2)忽略 项。4.正负号选取7-3 用积分法求梁的挠度和转角 一、求挠曲线方程的积分法由挠曲线的近似微分方程，积分两

3、次，即得梁截面的转角和挠度方程。挠度方程转角方程二、积分法的特征 1适用于细长梁在线弹性范围、小变形情况下的平面弯曲。二、积分法的特征PABCPD三、变形的几何相容条件2.积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或抗弯刚度不连续处，其 挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3.积分常数由变形的几何相容条件确定。包括边界支座位移条件 和变形光滑、连续条件。 4.积分法的优点是普遍适用于求解等截面或变截面梁在各种载 荷情况下的转角、挠度方程。当仅需计算个别截面的挠度、转 角时，其计算过程显得繁冗支座位移条件：连续、光滑条件P例 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。例解：建立坐标系并

4、写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyPLa1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x的正向依次写出；2.对含（x-a）项不可展开，把它视 为新变量积分；3.中间的分布载荷应延伸到中断，并 加上反向分布力；4.按上述方法积分，中间各段积分常 数相等。注意：7-5 按叠加原理求梁的挠度与转角 一、求挠度、转角的叠加法 1.叠加原理：梁在各种载荷同时作用下任一截面的挠度或转角，等于同一梁在每种载荷下、同一截面挠度和转角的总和。 2.叠加原理的限制：叠加原理仅适用于线性函数。为此，要求挠度、转角为梁上载荷的线性函数，即 (1)弯矩M与载荷成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即略去各载荷引起梁的水平位移；(

5、2)曲率 与弯矩M成线性关系，要求梁处于线弹性范围，即满足胡克定律。(3)挠曲率 与M成线性关系，要求梁的变形为微小变形，即其截面转角 ，且 与1相比很小，可略去不计。二、叠加法的特征 1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和(矢量和)。同一方向的几何和即为代数和。 2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为巳知，或有变形表，可供查找。 3叠加法适宜于求梁个别截面的挠度、转角值。三、叠加方法示例1.直接叠加法例按叠加原理求A点转角和C点挠度。2.间接叠加法 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。一、梁的刚度条件其中称为许用转角；v/L称为许用挠跨比。通常依此条件

6、进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）7-6 梁的刚度校核例二、提高梁弯曲刚度的一些措施1.增大梁的抗弯刚度EI2.调整跨长和改变结构PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称MxqL2/10调整跨长和改变结构MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx 同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提

7、高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！五、选用高强度材料，提高许用应力值7-7 简单超静定梁的解法 静不定的次数： 凡未知反力(或内力)数超过静力平衡方程数的个数，称为静不定的次数。 多余约束： 在静不定梁中多于维持静力平衡(且满足几何不变形)的约束称为多余约束。静不定梁必存在多余约束，且其多余约束的数目等于静不定的次数。 多余约束反力： 相应于多余约束的约束反力。一、几个概念基本静定体系： 静不定梁解除多余约束后的静定系统， 称为原体系的基本静定体系二、基本静定体系的选择原则1.基本静定体系应是能维持静力平衡和几何不变的系统。2.基本静定体系应便于计算，其截面位移可在弯曲变形表中 查得。3.的基本静定体系的选取可以是不同的，但其解答是唯一的。 三、静不定梁的解题步骤1.选择多余约束，确定基本静定体系。基本静定体系上应作 用有原静不定粱的载荷以及未知的多余约束反力。2.比较基本静定体系与静不定梁在多余约束处的变形，并用 叠加法列出相应的变形相容方程