推理与证明集体备课(2)

1、第 页，共8页课题推理与证明新授课教学目标知识与技能了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用”三段论“进行些简单的演绎推理。了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点。了解反证法的思考过程和特点。了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。过程与方法掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美

2、感。情感态度价值观通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成一定的数学应用意识。同时让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，感受探索数学的乐趣和成功的体验，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神重点1、了解合情推理、演绎推理的含义，能用归纳和类比以及三段论进行简单的推理；2、了解直接证明的基本方法：综合法分析法、反证法；了解三种证明方法的思考过程及特点难点1、能用归纳和类比以及三段论进行简单的推理；2、根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合应用学法指导明确本

3、专题教学内容地位作用，适当控制教学深度与难度.学法指导把握考题明确考向细细品味总结提高考纲要求1、合情推理的含义及应用2、演绎推理的基本模式及应用3、分析法和综合法及其思考过程、特点4、反证法及其思考过程、特点5、数学归纳法的原理及应用命题规律|合情推理与演绎推理：高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主。演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题。直接证明和间接证明：分析法、综合法和反证法都是重要的数学方法，各自有着鲜明的特色，要注意掌握其证明过程的特点和适用场合。综合法的特

4、点是直接由已知导出结论，分析法则是由结论反推其成立的必要条件，反证法则是先否定结论，待推出矛盾后再肯定结论。高考中的证明题一般都用综合法证明，而分析法一般用作思考方法。反证法是一种较好的证明方法，高考中有时会明确要求使用反证法证明某个结论，但这种题目较少。数学归纳法：应重点掌握证题的两个步骤和一个结论，明确数学归纳法的适用题型(与自然数有关)。在用数学归纳法证明时，应充分理解为证n=k+1时成立，必须用n=k成立的假设。教材分析|高中数学中，推理与证明贯穿于每一个知识点，通过对推理与证明的学习，有利于培养逻辑思维能力、形成和发展理性思维。本章是对以前所学知识的总结和归纳，所以说本章的知识在整个

5、高中数学阶段有着特殊的地位。推理与证明高考中文科(10课时)2.1合情推理与演绎推理约5课时2.2直接证明与间接证明约4课时小结约1课时数学归纳法主要出现在综合题中，要引起足够的重视。真题展示|(感悟高考明确考向)高考在考什么一、选择题【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上,AE=BF=3。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(A)8(B)6(C)4(D)3【答案】B【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的,那么利用

6、平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.4S8兀2兀n兀【2012高考上海文18】若S=sin+sin+.+sin-(neN)，则在S,S，S中，n77712100正数的个数是()A、16B、72C、86D、100【答案】C【解析】由题意可知，S二S=S二S=S=S=S二S=0,共141314272841429798个，其余均为正数，故共有100T4=86个正数。【2012高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12.贝V|x|+|y|=20

7、的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92【答案】B【解析】个数为首项为4,公差为4的等差数列，所以a=4+4(n-1)=4n，na=80,选20学法指导6.【2012高考湖北文17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子学法指导表示数。他们研究过如图所示的三角形数：B.4.【2012高考陕西文12】观察下列不等式将三角形数1,3,6,10,记为数列a，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一n个新数列b,可以推测：nb是数列an中的第项；2012b=。(用k表示)2k15k(5k-1)【答案】(I)5030；(II)照此规律，第五个不等式为1

8、111111【答案】1+22324252626【解析】通过观察易知第五个不等式为1+1+丄322241151+，22333I11151+-2232423把握好高考命题的方向，体会三角函数在整个高中教材的地位和作用11111+一+一+一一.223242526265.【2012高考湖南文16】对于neN*，将n表示为n二ax2+ax2k-1+akk-1:x21+ax20,10n(n+1)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,，的一个通项公式为a二，写出其若干n2项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,

9、45,55,105,110,故b=a,b=a,b=a,b=a,b=a,b1425394105146从而由上述规律可猜想:75k(5k+1)b=a=2k5k2(k为正整数),b=a2k-15k-1(5k-1)(5k-1+1)_5k(5k-1)2-2二a15故b二a二a二a，即b是数列a中的第5030项.20122x10065x100650302012n【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.7.【2102高考北京文20】(本小题共13分)设A是如下形式的2行3列的数表，当i=k时a=

10、1，当0i|*20.本小題主要考逬同焉Pi甌数的关蔡、两角和与羞的三强函数公式二価角公武等基醴知1运算礙綁應力、抽概培能力、推理论证能力，考査特殊与一般思想化归与峻上思憩.浦分解法一；（I）空揪2）式，十瞎如下:sin11卵+COS21亍亠sin15cecs15D=1-yain北。(H)三轴恒等式为sin14+e&Ba(305-a)-sinctcDs(30a)证明如下*siii2at+cos(30g-a)一sinbos(30一a)=sma七(cos30eco-sa七sin30sina) HYPERLINK l bookmark20 i232tl-=sinat-eoot+acosa+rsin H

11、YPERLINK l bookmark22 42-4 HYPERLINK l bookmark26 2323=-y-sin旺+-ycosa=;- HYPERLINK l bookmark30 44sinaCCS30ucosft+sin305111阿.I.2-sincicosa石-右ifla工学法指导证明如下：+c*s2(50a)-sinfl(cos(30da)_1-coti2a1+cm(60-2a)/2+q-sina(cos30ocosct+sin30Qsin住)仍満见性曲户丼且机点）二*川）刚t郴设血円心）环6事少机炯乂esw*上“n从面珈和GWFsMWQ*十卄沪=+-/芯号-解逶二:(I)

12、同解法一-(H)三角晅耶式为“Jci+cosZ(Ja-0f-sinacasi30-a)二孑.折隅駅刖W由I门釦，甘我満性駆府麒农卡建上“尸一抄”仁门的试大狼为-&【2102高考福建文2020.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。-(cos60e(i52a4-sin60asin2a)TT-4coe2oe+-cos2a+sin2a HYPERLINK l bookmark48 Z2244 HYPERLINK l bookmark50 I111,3 HYPERLINK l bookmark52 444473.1迈-smaco$a.in2d(1*cos2

13、a)知识梳理直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立;（2）根据假设讲行推理

14、，直到推理中导出矛盾为止（3）断言假设不成立（4）肯定原命题的结论成立重难点突破重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：宋树霞记录人：胡茂梅第4周2013320集思广益群策群力第 页，共8页解析当a,b0时，lab,两边取对数，得lg上孑lgfab，又lg而-lgab-lga+lgb学法指导方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题n从命题的特点、形式去选择证明方法-一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，

15、或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法22a+blga+lgb当a,b0时lg-2.在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC问题1：对于任意非零实数X,y(x丰一y)，等式丄+丄=-总不成立xyx+y点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明兀兀解析AABC为锐角三角形，A+B-A-B，兀兀/y=sinx在(0,)上是增函数，/.sinAsin(一B)=cosB同理可得sinBcosC，sinCcosA比较复杂的命题，

16、有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。热点考点题型探析考点1综合法(题型：用综合法证明数学命题)例1(东莞20072008学年度第一学期高三调研测试)sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条:对任意的xe0,1，总有f(x)0；3.已知数列a中各项为：12、1122、111222、111222n77个个nn数列中的每一项都是两个相邻整数的积.12解析a-(10n一1)*10n+-(10n一1)n99-|(10n1)(10n+2)，证明这个f=1；若x0,x0,x+xf(x)+f(x)成立，则称函数12121212f(x)为

17、理想函数.若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；判断函数g(x)二2x-1(xe0,1)是否为理想函数，并予以证明；【解题思路】证明函数g(x)二2x-1(xe0,1)满足三个条件10n1记：A=-解析(1)取x=x=0可得f(0)f(0)+f(0)nf(0)0，故f(0)=0a=A(A+1)，n考点2分析法(题型：用分析法证明数学命题)_例2已知ab0,求证a“b0；也满足条件g(1)=1若x0，x0，x+x1，贝1212g(x+x)-g(x)+g(x)二2x1+x2-1-(2x1-1)+(2x2-1)解析要证万-爲vJab,1212只需证Gavb)20，即满足条件,即a+b2abab，

18、故g(x)理想函数.只需证bvTab，即证ba【名师指引】紧扣定义，逐个验证显然ba成立，因此fa、：b0，则2沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：宋树霞记录人：胡茂梅第4周2013320集思广益群策群力第 页，共8页【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证只需证一-”，而不是“因为所以一-”【新题导练】4.若abcd0且a+db+c，求证:、:d+：a：b+：c解析要证、：d+Pa：b+c，只需证(、:d+-Ja)2(+b+：c)2即a+d+2：adb+c+2bc，因a+db+c，只需证vad、：bc即adbc，设a+db+ct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(c+dt)0adb

19、c成立,从而i：d+a厶25251解析(a+2)2+(b+2)2oa2+b2+4(a+b)+8oa2+b2oa2+(1一a)2o(a一丄)20，22(a土)20显然成立,25故(a+2)2+(b+2)2成立考点2反证法(题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假)x2例3已知f(x)ax+(a1)，证明方程f(x)0没有负数根x+1【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾解析假设x0是f(x)0的负数根,则x00且x0-1且ax0-宁0学法指导掌握规律解得1x2，20这与x0a+1b至少有一个大于2D.至少有一个不小于2+a+c+6，举反例可排除A、B、C,故

20、选DbaC.&已知a、b、c成等差数列且公差d丰0，求证:成等差数列，.2ba+c2、丄不可能成等差数列bc解析a、b、c假设一、丁、成等差数列，则丁=I=(a+c)2=4ac=(a一c)2=0，.ac从而d0abc与d丰0矛盾，abaclgx3589152a/?a+(*33a3c4a2b3ab+c+19.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:、丄不可能成等差数列bc请将错误的一个改正为lg解析lg92lg3，所以3和9的对数值正确，若lg153ab+c+1正确，则lg5丰a+c从而lg8丰3(1lg5)，即lg8丰33a3c，矛盾。故15的对数值错误，应改正为lg153ab+c基础巩固训练1

21、用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于600”时，应假设()学法指导A.三个内角都不大于600B.三个内角都大于600C.三个内角至多有一个大于600D.三个内角至多有两个大于600解析B2.已知p3+q3二2，关于p+q的取值范围的说法正确的是()A.不大于2迈B.不大于2C.不小于2D.不小于22解析B3若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析B4要证明不等式詣+722+丫5成立，只需证明：解析(卞6+、：7)2(2*；2+：5)2已知a2+2+与2、：2的大小关系是a2+22L解析a2+2+22(

22、注意：不能取等号)用平均值不等式a2+2(07年惠州第一问)已知数列a满足a=5,a=5，a=a+6a(n2).n12n+1nn-1求证：a+2a是等比数列；n+1n解析由碁1=气+6气_1，%十】+2气=3(%+2%一丿(n2)d=5,a?=5&2+2&=15故数列an+2aJ是以15为首项，3为公比的等比数列综合提高训练n7已知表中的对数值有且只有两个是错误的：x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+abc3(l-a-c)2(2a-b)1-a+2b请你指出这两个错误.(答案写成如lg20Ma+bc的形式)解析若lg3=2a+b错误，则lg9=2(2a+b)也错误，反之亦然

23、，此时其他对数值都正确，但lgl.5+lg6=1+4a-2b丰lg9，Ig3=2a+b、lg9=2(2a+b)且lgl.5丰3a-b+c，若lg5=a+c错误，则lg6=1+lg3-lg5=1+a一b一c也错误，.lg5=a+c正确若lg6=1+a一b一c错误，也能导出lg5=a+c错误，lg6=1+a一b一c正确，.lg8=3(lg6lg3)=3(1ac)正确，.lg12丰1a+2b，综上lg1.5丰3a-b+c，lg12丰1-a+2b学法指导a2x+a28.设函数f(x)=-为奇函数.(I)求实数a的值；(II)用定义法判断f(x)在其定义域上为增函数解析(I)依题意，函数f(x)的定义域

24、为Rf(x)是奇函数f(-x)=-f(x)2(a一1)(2x+1)=0a=1(II)由(I)知，f(x)=a2-x+a2a2x+a2学法指导f(x2)一f(x1)=2x2-1一2珀-12x2+12珂+1(2)r2)1112x2+1丿12x1+1丿2122(2二2xj0(2x2+1)(2x1+1)基础知识梳理与题型归纳/(x2)/(x1)9.已知f(x)=lnxf(x)在R上是增函数证明：f(1+x)-1)解析即证：ln(x+1)x0,k(x)为单调递增函数;当xW(0,8)时，k(x)v0,.k(x)为单调递减函数;x=0为k(x)的极大值点，k(x)Wk(0)=0.即ln(x+1)-x0f(

25、1+x)-1)10.已知函数y=|x|+1，y=Jx22x+2+1，y=(x+)(x0)的最小值恰好是方程2xx3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0vtbc,求证：+.a一bb一ca一c小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q,Q-，直到最后的结论是Q.运用12,综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题三、巩固练习：1.求证：对于任意角e,cos40sin40cos20.（教材P42练习1题）（两人板演f订正f小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

26、教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.1132.AABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：+-a+bb+ca+b+c教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法教学过程：一、复习准备：1.已知“若a,aeR+，且a+a1，则丄+丄、4”，试请此结论推广猜想.1212aa12（答案a,aaeR+,且a+a+a1，贝V1+工n2）12n12naaa12n2.已知a,b,ceR+，a+b+c1，求证:9.先完成证明f讨论：证明过程有什么特点?3作业：教材P44A组1题.第二课时221综合法和分析法（二）把握题型认真掌握二、讲授新课：教学例题：（课本例1:

27、立体几何，例2：向量知识,）例1：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）f板演证明过程（注意等号的处理）f讨论：证明形式的特点提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.（卜+胪0卜血二0卜叫框图表示：要点：顺推证法；由因导果.补偿练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证b+ca+a+cb+a+bc3.abc例2：（课本P37例3）在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列

28、.求证：为ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：提问：基本不等式的形式？讨论：如何证明基本不等式吐、玩（a0,b0）.2（讨论f板演f分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1.教学例题：一一一例3：求证+、；5：2+：6.讨论：能用综合法证明吗？f如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？f

29、板演证明过程（注意格式）集思广益群策群力2.设x0,y0,证明不等式:11(x2+y2)2(X3+y3)3.D一再讨论：能用综合法证明吗？一比较：两种证法提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止尸u巴ujP!*I呼剑i明制框图表示：要点：逆推证法；执果索因.补偿练习：1.课本39例4可作为本题练习先讨论方法一分别运用分析法、综合法证明.例4：见教材P40例5。讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）例5：见教材P41.例6讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）练习

30、：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为1,则周长为l的圆的半径为丄，截面积为冗（丄）2，周TOC o 1-5 h z2兀2冗长为1的正方形边长为J截面积为（）2，问题只需证：冗（丄）2（I）2. HYPERLINK l bookmark154 442冗4小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p,代，直到所有的已知P都成立；12，比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径（框图示意）三、巩固练习：1.设a,b,c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2-a2-b2+4ab4晶S.略证：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC+4ab23absinC，即证：2一cosC2j