《现代数值计算》课件3.4　离散数据的曲线拟合

1、3.4 离散数据的曲线拟合3、 正交多项式拟合总结2 、最小二乘拟合 多项式的拟合1、离散点集上的正交多项式3.4 离散数据的曲线拟合学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法。定义 设有点集 xi i=0,1,m，函数 f (x) 和 g (x) 在离散意义下的内积定义为 (1)其中i0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)的2-范数定义为(2)有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。1 离散点集上的正交多项式若多项式组k(x)k=0,n 在离散意义下的内积满足(3)则称多项式组k(x)k

2、=0,n为在离散点集 xii=0,1,m 上的带权 ii=0,m的正交多项式序列.下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 . 给定点集xi i=0,1,m和权数 ii=0,m ，并且点集 xi i=0,1,m中至少有n+1个互异，则由下列三项递推公式 （4）给出的多项式序列 是正交多项式序列，其中（5） 三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。 例 已知点集 xi i=0,1,4 =0,0.25,0.5,0.75,1 和 权数 ii=0,4 =1,1,1,1,1.试用三项递推公式求关于该点集的正交多项式 解 先令 P0(x)=1 ，由此得由

3、此得从而有本节讨论-离散数据的曲线拟合 仍然是已知 x1 xm ; y1 ym, 求一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)。但是 m 很大； yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)这时没必要取 p(xi) = yi , 而要使 p(xi) yi 总体上尽可能小。常见做法： 使 最小 太复杂 使 最小不可导，求解困难 使 最小 2 离散数据的最小二乘拟合及 多项式的拟合（1）离散数据的最小二乘拟合(3.4.1)则称p*(x)为离散数据 (xi , yi i=1,2,m在子空间S中带权 ii=1,2,m的最小二乘拟合。使拟合误差的平方和最小最小二乘原理 以下讨论最小二乘逼近函数 是

4、否存在？是否唯一？及计算方法（步骤）。(类似于连续函数的最佳平方逼近的思路)。 把原问题转化为多元函数极值问题（3.4.2）得到(3.4.1)的等价问题：（3.4.3）这方程称为法方程(或正规方程)。结论： （1）必要条件误差与基函数正交（2）充分性(3.4.1)定理最小二乘逼近的步骤：以上的平方误差与连续函数最佳平方逼近的平方误差有相同形式的表达式。 (2)多项式的拟合即在多项式空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。用上面讨论的方法求解。子空间 的基函数为 前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。 在离散数据 的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式（3.4.4） 例 3.4.1 用多项

5、式拟合表3-4中的离散数据。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表3-4解 作数据点的图形如图3-4，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这时n=2，子空间 的基函数 。数据中没有给出权数，不妨都取为1，即 。o y 1.961 x*图3-4 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表3-4ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi00.000.100.0010.250.350.062520.5

6、00.810.2530.751.090.562541.001.961.002.54.311.8751.56251.38283.272.7975以上计算可用下表的形式表示（更简便） 解此方程组得 。从而，拟合多项式为其平方误差 。拟合曲线 的图形见图3-4。按（3.4.4）2.54.311.8751.56251.38283.272.7975ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi有o y 1.961 x*图3-4正规方程组为 一般地，用最小二乘法得到的方程组（3.4.3），其系数矩阵是病态的。实用的曲线拟合办法是采用正交函数系的基。 若点集 中至少有n+1个互异，那么可用三项递推公式(

7、3.1.4)和(3.1.5)求出正交多项式序列 ,它们可以作为子空间=span 的一组基。求出多项式序列 后，可以建立拟合模型3.4.3 正交多项式拟合此时，对应的法方程组化简为这时直接可算出，法方程组的矩阵形式为于是当增加n时，有 优点： 当n增加时只须计算 ， 计算量小。 按上述求离散数据 的拟合多项式 的方法，称为正交多项式拟合。根据惟一性，所得结果与用前面的方法所得的结果相同，但数值计算比前者稳定。解 已知离散数据为例 用正交化方法求例3.4.2中的离散数据的二次多项式拟合。对权数 ,在例3.3中已求出了点集 上的正交多项式最后得拟合多项式进而有 所得结果与例3.4.2相同.本课重点：

8、理解最小二乘逼近理论并会求逼近多项式；作业:了解非线性模型举例。编程: 在许多实际问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟合。如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和经验来确定拟合曲线的形式，另一方面要根据数据点的图形性状及特点来选择适当的曲线拟合这些数据。 例 3.4.2 已知函数y=f(x)的数据如表3-5。试选择适当的数学模型进行拟合。yi 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10表3-5 解 (1)观察

9、数据点的图形(见图3-5), 从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这时n=2，子空间S的基函数: 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2数据中没有给出权数，不妨都取为1，y113o116 x*解得 ，从而拟合函数为平方差 的图形见图3-5。由平方误差和 的图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。y113o116 T*按（3.4.3）有(2)从数据的图形看，可以选用指数函数进行拟合。设 ，其中 。这是一个非线性模型， 不能直接用上面讨论的方法求解。对于一般的非线性最小二乘问题.，用常规方法求解的难度较大。这里的非线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。对说函数 的两边取自然对数，得 。若令，则有z=A+t。这是一个线性模型。将本题离散数据作相应的转换，见表3-9。ti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2