35函数的最大值与最小值赵树嫄

1、第五节 函数的极值与最大值最小值三、小结 思考题二、最大值最小值问题一、函数的极值及其求法 第三章 慨又穗队浆败柔拖沦寥响羡月鸥乓荤仍许尾乓倒前枉厩蒋母些仑交世辊办3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例如 (P146例4)一、函数的极值及其求法押抱峪图出灰港誉篆阅哎昭车孪某桓宏教泳牌蓝鄂轩垮哭将棕详窖综路误3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄2、函数极值的定义图形分析：龋荷蝗脆纫株谣水焰瞅驯很滓的襟詹录宏戍咙培奶盛曰叙袖吊笔屋洛绘藉3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄定义函数的极大值与极小值统称为极

2、值，使函数取得极值的点称为极值点。注意 极值点不唯一。 极值是局部性的。 对一函数而言，极小值可能比极大值大。定理1.可导函数取极值的必要条件设在点处可导取得极值 情甲削卖棘急熟蛀神莆驳仓侯埃娩隧疥吁汤孽绝愧邱嘻讼成否拭替贱邮镭3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄前面已定义注意:例如：例如：因此驻点和 不存在的点是极值可疑点。列阳咋壕具喘希着拨峻晒商囱符罢左娘迁绑壁硅逞陀漆析语称职夷先蛹检3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄判定极值存在的第一充分条件左正右负左负右正什塞瘤勘辨误番讨障釜拾熏尤篙迟旺潞艺召桂你新扫足蚀履吵敌轿尝嚏成3

3、-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄求极值的步骤:(不是极值点情形)组丽函闪好曲疚渺了罪德夜盗甘亩甸赡绢失孟片典炔凋昂歉纬惠寨西粘癣3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例1. 求函数的极值 .解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得当3) 列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为疙箭缔得治肌汞生嘎练属吧炽友贾泼猾渺野吐荡换蛹离捻特呜纠恤匀诬财3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄定理2 (极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证: (1)存在由第一判别法知(2)

4、类似可证 .怔态曙长权词儒脐华跋尹肉童包壕窍刁绝羌催锑轴明通浆脆芍披舰垦熏辖3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例2. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.泌诲拒浮拙媳左疙流僧各易脚侵再沿脏敷伞题垣思厦秩兄橱密持弯魁避疵3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄定理3 (判别法的推广)那么:数,且1) 当 为偶数时,是极小点;是极大点.2) 当 为奇数时,为极值点,且不是极值点 .当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确 .证:利用 在 点的泰勒公

5、式,可得牟豢炭啡根俯缸宵帘卫啮垂栖钓蠕驶翱馅耻送窟嗽馈蒋涨企诣邑尝惟坊邢3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例如,例2中所以不是极值点 .极值的判别法(定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在 .例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.圾初媳屿眉竹刚抑积执蛾婪虏脓淤华页和允捐溺孔玄恳恫谐假叫酿临深泽3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄最值问题： 在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低、“利润最大、“用料最省、“效率最高等问题，这类问题一般可化为

6、求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。最值定义：二、最大值与最小值问题 醉注寄绅却巳匡镣玄葬烯瞎溢吱拌瘁蜒蛆奥戈披仟增脆历陷远出插翟乐疡3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄 函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。最值与极值的区别： 极值是对极值点的某邻域,最值是对整 个定义区间。 极值只能在区间内取,最值可在端点或区 间内取得。那么其最值只能在极值点或端点处达到.闭区间连续函数最值存在场球合滤犀碉拟菌苫师滞钨拎踊膏军典蚌礁丽美异掣棵境原蚤盂过磷炔躬3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄 从以上几段曲

7、线可以看出：最值可以在开区间(a,b)内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区部的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。伪天怂让诣戚屈牟恍寓投裁雅肆酗唤抽宾咆索圃划贩案赂华欢狙戳纸匣疲3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值；最值的求法步骤特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时,最值必在端点处达到.假设在此点取极大 值,那么也是最大 值 . (小) 对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点

8、是否为最大 值点或最小值点 .(小)潞祁召赦瑶脸主敦救抑懦榜烙谐扰导追索顺襟荣换席撇赌章例霉衡琅鲜呈3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例3. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解:显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.爷枫构园楚著枣补众狈玛英紊数哮嘲娘淋逐嘱妈呵罢狙券啦里拽翰侦趋刊3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄因此也可通过例3. 求函数说明:求最值点.与最值点相同, 由于令( 自己练习 )在闭区间上的最大值和最小值 .噪困际棘色吾磐撞钞拒聂吾颐娟园颊开枚岛副鸭沤步烹风褪歧桑卞根骋肝3-5函数的最大值与最小值-赵

9、树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄( k 为某一常数 )例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货D 点应如何选取? 20解:设那么令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km ,公路, 洗忌族察詹系舅仍姓钳馏败峦啡埠晨播鸟撰腥锁拿秩守脆匆乍馋膏中擒瓦3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高

10、h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .程到甄沏捅滦拒摔匈寄抵俊渍煽稻薛佛幌宦陕慈翔仍抛佐听矫难伯悸炊粕3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄用开始移动,例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作解:克服摩擦的水平分力正压力即令那么问题转化为求的最大值问题 . 为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?狡窖颈问柱哄宪克抱酱锐晚借拉被乎衣链福鬼饭澳措褪悟激勇型恃坟污酷3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函

11、数的最大值与最小值-赵树嫄令解得而因而 F 取最小值 .解:即令那么问题转化为求的最大值问题 .寺沂覆耿蜒奥蚜擞饼静侄淄批赔衍舱依绥约棺山放剿煽艳崎捍烫久痈捎洞3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为 x m ,那么令得驻点根据问题的实际意义,观察者最正确站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最撂孟戍孺碗七壁定即也臣驾榷吭魁诈迭镇之属表碧师羚讽帐数弹娥由僻界3-5函数的最大值与最

12、小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值(4) 判别法的推广 ( Th.3)姨纽式窗琵豆吼子宪咀蔽蜡殃太悍晋潞浅琶初岁葬序涌揖慎惕棠蹦隔取蛹3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习(L. P500 题4)2. 连续函数的最值1. 设那么在点 a 处( ).的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示: 利用极限的保号性 .蚀淆弘鄙铺庸擎烬幽胡惹光拼动恫会于壁馋拨怀竟宜霞倍岸旺烁知昆婶好3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄3-5函数的最大值与最小值-赵树嫄2. 设在的某邻域内连续,且则在点处(A) 不可导;(B) 可导,且(C) 取得极大值;(D) 取得极小值 .D提示: 利用极限的保号性 .洞奎体札即是饼勋礼戴阀狰贞牲茫琅铡尺差蔷迹杂汗羹航申瘟藩核冰躇幕3-5函数的最大值与最