四川省绵阳市江油2021-2022学年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）AB4CD52已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3若为纯虚数，则z（ ）AB6iCD204函数在的图象大致为(

2、 )ABCD5已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD6已知全集U=x|x24,xZ，A=1,2，则CUA=（ ）A-1B-1,0C-2,-1,0D-2,-1,0,1,27复数（为虚数单位），则等于（ ）A3BC2D8某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3ABCD9函数在的图象大致为ABCD10如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）A，B存在点，使得平面平面C平面D三棱锥的体积为定值11已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上，则直线被截得的弦长为（

3、）ABCD12设，是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知二面角l为60，在其内部取点A，在半平面，内分别取点B，C若点A到棱l的距离为1，则ABC的周长的最小值为_14为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_15展开式中的系数为_.（用数字做答）16一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图

4、所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的

5、人数，求随机变量的分布列和数学期望18（12分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.（）求椭圆E的方程；（）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.19（12分）已知函数.（1）若，且，求证：；（2）若时，恒有，求的最大值.20（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X，求

6、X的分布列和数学期望.21（12分）的内角，的对边分别是，已知.（1）求角；（2）若，求的面积.22（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示组别频数 （1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；（）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠

7、送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望附：，若，则，.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.2A【解析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y

8、1=0，l2：x+y2=0满足l1l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y1=0，和2x2=0，不满足条件当m0时，则l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，则m=1，即“m=1”是“l1l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3C【解析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】 为纯虚数，且得，此时故选：C.【点睛】本题考查复数的概念

9、与运算，属基础题.4C【解析】先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.【详解】函数，则，所以为奇函数，排除B选项；当时，所以排除A选项；当时，排除D选项；综上可知，C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.5D【解析】将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，是增函数；当时，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【详解

10、】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，是增函数；当时，是减函数.因此.设，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题6C【解析】先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可【详解】由题意得U=x|x2

11、4,xZ=x|-2x2,xZ=-2,-1,0,1,2，A=1,2，CUA=-2,-1,0故选C【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题7D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.8D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=221+121=（6+1.5）cm1故答案为6+1.5点睛：根据几何体的三

12、视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可9A【解析】因为，所以排除C、D当从负方向趋近于0时，可得.故选A10B【解析】根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判

13、断面面平行，线面垂直等，属于中档题.11B【解析】由焦点得抛物线方程，设点的坐标为，根据对称可求出点的坐标，写出直线方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.【详解】抛物线的焦点为，则，即，设点的坐标为，点的坐标为，如图：，解得，或(舍去)，直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，由，解得或，故直线被截得的弦长为故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.12C【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：、也可能相交或异面，故错：因为，所以或，因为，所以，故对：或，故错：如图因为，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交

14、的平面与交于直线，则又，所以因为， 所以，所以，故对.故选：C【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】作A关于平面和的对称点M，N，交和与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BCMB+BC+CN，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.【详解】作A关于平面和的对称点M，N，交和与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BCMB+BC+CN，当M，B，C，N共线时，周长最小为MN设平面ADE交l于，O，连接OD，OE，显然ODl，OEl，DOE60

15、，MOA+AON240,OA1，MON120，且OMONOA1，根据余弦定理，故MN21+1211cos1203，故MN故答案为：【点睛】此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.14100.【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为，样本中三等品的件数为.点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误15210【解析】转化，只有中含有，即得解.【详解】只有中含有，

16、其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.1611【解析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的部分，按如下分类：5个： ，3个，2个：，1个，4个：，（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：3个：，1个，2个：，综上，一共有（种）.故答案为：11.【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“

17、缩倍法”的思想.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）见解析， 【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本事件总数为，这两人来自同一小组取法共有，由此可求出所求的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2 人，所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人

18、），从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,因为所以随机变量的分布列为：012所求的期望为【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识，考查运算能力，属于中档题.18（）；（）4.【解析】（） 结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；（）由题意可知，直线的斜率存在，设出直

19、线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【详解】解：（）可得，结合，解得，得椭圆方程；（）易知直线的斜率k存在，设：，由，得，由，得，设点O到直线：的距离为d，由，得， ，而，易知，则，四边形的面积当且仅当，即时取“”.四边形面积的最大值为4.【点睛】本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.19（1）见解析；（2）.【解析】（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用

20、导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；（2）构造函数，对实数分、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.【详解】（1），所以，函数单调递增，所以，当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.要证，即证.不妨设，则，下证，即证，构造函数，所以，函数在区间上单调递增，即，即，且函数在区间上单调递增，所以，即，故结论成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，则.当时，对任意的，函数在上单调递增，当时，不符合题意；当时，；当时，令，得，此时，函数单调递增；令，得，此时，函数单调递减.令，设，则.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，函数在处取得最大值，即.因此，的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.20（1）（2）见解析，【解析】（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.【详解】（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.则，.所以.答：发生调剂现象的概率为