材料力学课件：第5章 杆扭转杆件的强度和刚度计算

1、5.1 圆轴扭转时的应力和变形计算5.2 圆轴扭转时的强度和刚度计算5.3 非圆截面杆的自由扭转简介1一、描述变形的指标三、薄壁圆筒的扭转二、等直圆杆扭转的应力返 回2*扭转角（）：任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（）：直角的改变量一、描述变形的指标返 回35.1.1 等直圆杆扭转的应力1、实验观察：横截面仍为平面；轴向无伸缩；纵向线变形后仍为平行。返 回4* 平面假设 横截面象刚性平面一样绕轴线转过一个角度。52、横截面上的应力：1）. 变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率。6剪切虎克定律： 2）. 物理关系7 剪切弹性模量G、弹性模量E

2、和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料：* 重要关系8Ttmaxtmax变形关系代入虎克定律：虎克定律：9变形关系:3）. 静力学关系令代入物理关系 得：OdA返回10* 讨论：1 仅适用各向同性、线弹性材料，小变形 的圆截面等直杆。2 T横截面上的扭矩，由平衡方程求得。 该点到圆心的距离IP极惯性矩，纯几何量113 应力分布tmaxtmaxtmaxtmax（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。124 确定最大剪应力Wp 扭转截面系数（抗扭截面模量） mm3或m3135.1.2 IP的计算单位：mm4，m4对于实心圆截面：DdO

3、14对于空心圆截面：dDOd15对于实心圆截面：对于空心圆截面：16薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）5.1.3 薄壁圆筒的扭转返 回17 薄壁圆筒横截面的切应力壁厚方向可视为均匀分布，在圆周方向上也可以视为均匀分布1、薄壁圆筒剪应力： A0：平均半径所作圆的面积。18acddxbdy 无正应力 横截面上各点，只产生垂直于半径的均布的剪应力 ，沿周向大小不变2、 微小矩形单元体：19acddxbdytz5.1.4 剪应力互等定理20纯剪切应力状态5.1.5 圆轴扭转时的变形计算在推导圆轴截面切应力时，已经得到当扭矩为常数时当轴包含多段且每段扭矩皆为常数时21例5-1解：1 作扭矩图2 计算截面

4、几何量AC段位实心圆截面22CD段为空心圆截面，a=d/DBC段CD段3 计算最大最小应力234 计算扭转角D截面相对A截面的扭转角2425一空心圆轴在产生扭转变形时，其危险截面外缘处具有全轴的最大切应力，而危险截面内缘处的切应力为零。 （ ）262728C. 给出了圆轴扭转时的变形规律；B. 使物理方程得到简化；D. 是建立切应力互等定理的基础A. 2倍；B. 4倍；C. 6倍；D. 8倍。29水平面合力偶：两端面的应力：30两端面的应力对z轴的矩：31长度和质量相等：式(2)和式(3)得式(1)和式(4)得321 轴的内力2 抗扭截面系数3 当两段轴的最大切应力相等时，有5.2 圆轴扭转时

5、的强度和刚度计算5.2.1 圆轴扭转时的强度计算5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算5.2.3 圆轴扭转时斜截面上的应力返 回335.2.1 圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：( ：许用剪应力)*强度的三种计算： 校核强度： 设计截面： 求许可载荷：返 回34 例 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴， =30M Pa, 试校核其强度。解：作扭矩图，确定危 险截面此轴满足强度要求D3 =135D2=75D1=70ABCmmTmx35（1）例36（2）强度相同（3）比较重量37381. 强度2. 转角相等5.2.2 圆轴扭转时的刚度计算1、扭转时的变形由公式长为 l 的两

6、截面间相对扭转角 为（当T为常量时）返 回392、单位长扭转角 3、刚度条件404、刚度的三种计算 校核刚度： 设计截面 求许可载荷：4142不计截面突变处的应力集中，阶梯圆轴扭转最大切应力必发生在( )。A扭矩最 大截面；B扭矩最小截面；C单位长度扭转角最大截面；D上述三个结论都不对。图示由两种不同材料等截面杆固结而成的圆轴，两端受到扭转外力偶Me作用后，左、右两段（ ）。A. 最大切应力相同，单位长度扭转角不同；B. 最大切应力不同，单位长度扭转角相同；C. 最大切应力不同，单位长度扭转角也不同；D. 最大切应力相同，单位长度扭转角也相同。43用同一材料制成的空心圆轴和实心圆轴，若长度和横

7、截面面积均相同，则扭转刚度较大的是( )A. 实心圆轴；B. 空心圆轴；C. 二者一样；D. 无法判断。44一圆轴用普通碳钢制成，受扭后发现单位长度扭转角超过了许用值，为提高刚度，拟采用适当措施为（ ）A. 改为优质合金钢；B. 用铸铁代替；C. 增大圆轴直径；D. 减小轴的长度图示圆轴受扭，则截面A，截面B和截面C相对于截面D的扭转角有四种答案，正确的是（ ）A. 0.47；B. 0.51；C. 0.58；D. 0.6451. 重量相同2. 转角关系3. 联立解出 例 传动轴，n = 500 r / min，输入N1 = 500 马力， 输出 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，G

8、=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：作内力图 500400N1N3N2ACB Tx7.024 4.21(kNm)46500400N1N3N2ACBxT7.0244.21(kNm)* 由强度条件47500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm)* 由刚度条件48(2),全轴选同一直径时Tx 4.21(kNm)2.81449例5-4505-3 扭转超静定问题 例题 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。

9、试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)51 解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。(a)MAMB52 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为53另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为544. 杆的AC段横截面上的扭矩为从而有(a)55 例题2由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用

10、，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)56 解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为573. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：TaTb(b)585. 铜杆横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为59 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。60611. 求约束力偶2. 变形协调条件为3. 物理关系为62式(1) (4)联立解得强度条件许用力偶矩M达到最大值时, 式(6)取等号，所以式(5)代入式(7)，得631. 平衡方程，截面B处分离体642. 变形协调条件为3. 物理关系为式(2) (4)联立得式(5) (6)得式(7) (1)得解得6566长为L=2m的