高等动力学课件：lecture18-AD

1、 Lecture 18分析动力学初步内容回顾,矢量r在该曲线坐标系中表示为质点的速度为定义如下的Lagrange函数： L=T-V举例例：利用Lagrange方程写出质点在万有引力作用下用球坐标系表示的质点动力学方程在球坐标系下质点的动能为质点的万有引力势能为Lagrange函数为利用Lagrange方程尺度张量曲线坐标系与直角坐标系之间存在如下关系存在如下的逆变换以上成立的条件是如下的雅克比矩阵非奇异尺度张量对任意向量r的微分可表示为曲线坐标微分的形式微分矢量dr的长度可表示为G为一个二阶对称尺度张量。由于显然，尺度张量的导数定义：显然尺度张量中的每个元素对曲线坐标的偏导数为表示将向量向基向

2、量分解。前面的系数待定。显然尺度张量的导数可得到如下的关系式可列出其中尺度张量的导数三式相加通式为Christoffel第二类记号(曲线坐标基向量对曲线坐标的偏导数在曲线坐标上的各个分量)Christoffel第一类记号两类记号之间的关系为采用Christoffel记号表示的质点动力学对上式求导T对qk的偏导数代入Lagrange方程中，有其中，广义力为T对dotqk的偏导数采用Christoffel记号表示的质点动力学如果将力F沿曲线坐标系基向量分解则动力学方程可表示为如下形式对方程处理：加速度分解将加速度表示在曲线坐标系基向量上则，加速度a在曲线坐标系中的分量为根据牛顿定律有协变分量和逆变

3、分量设存在一个矢量F, 存在一个曲线坐标系e1, e2, e3. 该曲线坐标系不一定是正交和单位的。协变分量分量Qk是矢量F沿基向量ek的投影乘上基向量的大小。故Qk是与ek的大小共变的。逆变分量分量Fl的大小是矢量F在基向量el上的分量形式，其大小与基向量el的大小是逆变的。约束的分类位置约束或几何约束约束方程与空间位置有关。速度约束与速度有关，如：接触点处的纯滚动限制下的速度约束。力约束（加速度约束）与受力的状态有关：如库伦摩擦限制下的约束方程。约束的分类定常和非定常约束：根据约束方程中是否含有时间t的变量来区分非定常位置约束：定常位置约束：等式和不等式约束（单边约束和双边约束）定常双边位

4、置约束定常单边位置约束受约束的质点动力学的分析描述利用Newton定律，有其中：R来源于定常几何约束方程的限制所导致的约束力在曲线坐标系下，其分量形式的动力学方程可表示为该约束方程表示的是一个空间曲面方程，约束力必定沿该曲面的法线方向。协变形式。受约束的质点动力学的分析描述受单个几何约束质点动力学的协变分析形式为曲线坐标系下的向量基为因此，约束反力在曲线坐标系上的协变分量为构成微分代数方程的形式，根据约束代数方程，确定质点的运动。以上方程也称之为第一类Lagrange方程。微分代数方程的求解当质点被约束在曲线上运动时，约束方程为该质点的第一类Lagrange方程为第一类Lagrange方程的显

5、式形式为微分代数方程的求解动力学方程的矩阵形式为为将微分代数方程变化为微分方程的初值问题来求解，将约束方程微分一次。矩阵形式为其中微分代数方程的求解再微分一次到加速度水平上其中最后，微分代数方程转化为ODE方程的格式为可利用数值计算方法对以上ODE方程进行求解。Comments:微分代数方程的数值计算方法是一类应用数学领域研究的问题。涉及收敛性，稳定性等例子yx单摆在一竖直平面内运动，摆长l按照已知规律变化，l=l(t)。用直角坐标和极坐标两种方法写出运动微分方程。例子在直角坐标系下的约束方程为质点的动能为 势能为广义力可表示为利用第一类Lagrange方程，（1）（2）例子（3）利用(1),

6、（2），（3）可消去未知量，进而确定微分方程的解。在极坐标系下的约束方程对约束方程求二阶导数，则极坐标系下的质点的动能为 势能为广义力可表示为选择恰当的坐标系，可直接消去约束乘子。例子2xyzm质量为m的小球串在光滑的铁丝上。铁丝的形状是一抛物线，在Oz平面内的方程为铁丝绕竖直轴以角速度匀速转动。列出在重力作用下的质点的运动微分方程 。例子2选择柱坐标系（，z）作为曲线坐标质点在该曲线坐标系下的动能和势能表示为约束方程在该曲线坐标系下的表示为 约束方程对广义坐标的导数例子2动力学方程结合约束方程对f1求二次导数，对f2求一次导数可得到如下的关于的微分方程根据初始条件，可确定(t),进而根据约束方程确定z(t)。并可以求出相应的约束力。例子2采用抛物线坐标系作为曲线坐标系以上