平面解析几何例题

1、1.平面解析几何【2019年高考全国I卷理数】已知椭圆C的焦点为F1( 1,0), F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若|AF2| 2| F2BI，| AB | | BF1 |,则C的方程为2A. 22 x B.32 y22C.42 x D. 52 y4【解析】法一：如图，由已知可设F2B n,则 |AF2 2n,|BF1 |AB 3n ,由椭圆的定义有 2a BF1 BF2 4n, AF1 2a AF2 2n.在 AF1B中，由余弦定理推论得cos F1AB4n2 9n2 9n22 2n 3n, .2 2 _ _ _ 1在AF1F2中，由余弦定理得 4n2 4n2 2 2n

2、2n 32a 4n 2 . 3a 3 , b2 a2 c2 3 12 ,所求椭圆方程为B.AB 3n,法二：由已知可设 F2B n,则AF2 2n , BF1由椭圆的定义有2a BF1 BF2 4nAF1 2a AF2 2n.在AF1F2和BF1F2中，由余弦定理得224n2 4 2 2n 2 cos AF2F1 4n22,_ _ 21n 4 2 n 2 cos BF2F1 9n又 AF2F1 , BF2F1 互补，cosAF2F1 cos BF2F1 0,两式消去AL LI-* L L22cos AF2F1, cos BF2F1,得 3n6 11n2,解得2a 4n 2.3, a、3, b2

3、a2 c2 3 1 2,所求椭圆方程为221 ,故选B.32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2.【2019年高考全国n卷理数】若抛物线y2=2px( p0)的焦点是椭圆3P21的一个焦 p点，则p=A. 2B. 3C. 4D. 8以3P因为抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点(,0)是椭圆x3p2y1的一个焦点，所 pp(-)2 ,解得P 8,故选D.2【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P的方程，从而解出 P

4、,或者利用检验排除的方法，如P 2时，抛物线焦点为(0),椭圆焦点为(土 2, 0),排除A,同样可排除B, C,从而彳#到选D.3.【2019年高考全国H卷理数】 设F为双曲线C:2y% 1(a 0,b 0)的右焦点，。为b2坐标原点，以OF为直径的圆与圆x22a交于P, Q两点.右PQ的离心率为A22.C. 2D. ,5【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ x轴,又Q PQ| |OF | c|PA|PA为以OF为直径的圆的半径, |oai 2.P2又P点在圆x2a2上,22 c 2a2,即一 a2,222 ce 2.a先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大

5、降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到 c与a的关系,可求双曲线的离心率.224.【2019年高考全国出卷理数】双曲线C： -=1的右焦点为F,点P在C的一条渐42近线上，O为坐标原点，若 PO = PF ,则 PFO勺面积为A.B.3.22C 2,2Xp【解析】由 a 2,b2,c a2 x y 1 |x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论: b2 .6,Q|PO| |PF| ,又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by -x上，则yp aXp2.622一1 一一 S

6、a pfo2 Of yP2 ,6【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推 理和数学运算素养.采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.忽视圆 锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积.5.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2 y_ b2(ab0)的离心率为22a =2b223a =4ba=2bD.3a=4b【解析】椭圆的离心率 eb2,化简得 3a2 4b2 ,故选B.?基本运【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识算能力的考查.由题意利用离心率的定义和a,b

7、,c的关系可得满足题意的等式6.【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:曲线C恰好经过6个整点曲线c上任意一点到原点的距离都不超过J2 ；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.C.【答案】C【 解 析2 |x| y12所以x可取的整数有0,-1) , (1 , 0) , (1 , 1),(由 x2 y2 1 x y 得，x2点到原点的距离都不超过2y 2,所以曲线C上任意J2.结论正确B.D. 由x2 y2 1 x y 得，y2X y 1 x2一 2 一 23x . 3x 2 4,1 H0,x , TOC o 1-5 h z 4

8、431, 1,从而曲线C:x2 y2 1 x y恰好经过(0 , 1),(0 ,-1, 0), (-1, 1),共6个整点，结论正确.222 x y2y , 1 -,解得 x2如图所示，易知 A 0. 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D 0,1 ,3四边形ABCD的面积S四边形abcd 11111 3 ,很明显“心形”区域的面积大于22痘边形ABCD，即“心形”区域的面积大于3,说法错误故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程 ？曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识？基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定 x的范围可得整

9、点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上 的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的 范围.7.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线y2 4x的焦点为F ,准线为l ,若l与双曲线22三、1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于点a b且 |AB| 4|OF | (O为原点)，则双曲线的离心率为A. ,2B.C. 2D.、.5【解析】抛物线y24x的准线l的方程为x 1双曲线的渐近线方程为b 一x, a则有A(AB1,b), B( 1,a2b 2ba ab), a4, b2a,故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出 A

10、B的长度.解答时,只需把AB 4 OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x y=0的双曲线的离心率是B. 1D. 2【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 0,所以 a b,则 c Ja2 b2 J2a ,所以双曲线的离心率e c J2 .故选c.a【名师点睛】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b,进一步可得离心率， 属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误 .9.【2019年高考浙江卷】 已知圆C的圆心坐标是（0, m）,半径长是r.若直线

11、2x y 3 0与圆C相切于点A（ 2, 1）,则m=, r =.【答案】2 , 751 .【解析】由题意可知kAc- AC:y 1- （x 2）,把（0,m）代入直线AC的方程得m 2 ,此时r | AC | T娓.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 AC的斜率，进一步得到其方程，将（0,m）代入后求得m,计算得解.解答直线与圆的位置关 TOC o 1-5 h z 系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质210.【2019年高考浙江卷】已知椭圆 L 1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的95上方，若线段 PF的中点在以原点 。为圆心，

12、OF为半径的圆上，则直线 PF的斜率【答案】15【解析】方法1:如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知|OF|=|OM |= c= 2,由中位线定理可得 PF12|OM | 4,设 P(x, y)，可得(x 2)2 y2 16,1联立，可解得x3一，x221二（舍），2又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得 P_153 -J15q3,，所以kPFV15.2 21方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|OF |=|OM |= c= 2 , TOC o 1-5 h z 3 由中位线定理可得 PF1 210M | 4,即a exp 4xp-,_153 15丁从而可求得p 二江,所以kPF 一 版.2 212

13、【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中 位线定理，将线段长度用圆的方程表示， 与椭圆方程联立可进一步求解 .也可利用焦半径 及三角形中位线定理解决，则更为简洁 .2211.【2019年高考全国出卷理数】设 F1，F2为椭圆C： 2+L 1的两个焦点，M为C上一36 20点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为.【答案】3, .15【解析】由已知可得a2 36, b2 20, c2 a2 b2 16, c 4,MF1I IF1F2 2c 8,MF2 4.1设八、M

14、 的上标为x0, y0 x00 ,y00 ,则 SAMF1F2F1F2y04 y0 ,22又 S.F1F21 4J82224 Ji5,4 y04 Ji5,解得y0压,.一2x2屈 1 ,解得X0 3 ( X03舍去)，3620M的坐标为3,辰,【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的 能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时，根据椭圆的定义分别求出|MF1、MF2| ,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.212.【2019年高考全国I卷理数】已知双曲线C：斗与 1(a 0,b 0)的左、右焦点a buur uuu分别为Fi,F2,过

15、Fi的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1AAB,umr uuuuF1B F2B 0,则C的离心率为.【答案】2uLur uur【解析】如图，由 F1A AB,得FiA AB.又OFi OF2,得OA是三角形F1F2B的中位uur uuuu线,即BF2/OA,BF22OA.由F1BF2B0 ，得F1BF2B,OAF1A，:OB OF1 , AOBAOF1,又OAW OBtB是渐近线，得BOF2AOF1,又 BOF2 AOBAOF1氏，：.BOF2AOF1BOA 60o,又渐近线 OB的斜率为b tan 60 aJ3, ,该双曲线的离心率为【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线

16、和离心率，渗透了逻辑推理、直观 想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题.解答本题时，通过向量关系得到FiA AB和OA FA,从而可以得到AOBAOF1，再结合双曲线的渐近线可得BOF2AOFi,进而得到 BOF2 AOFi BOA 600,从而由b 一 一tan 60/3可求离心率.a2.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2、1(b 0)经过点b2 TOC o 1-5 h z (3, 4),则该双曲线的渐近线方程是.【答案】y .2x42一 ._【斛析】由已知得32=1,解得b拒或bJ2，b2因为b 0,所以b 近.因为a 1 ,所以双曲线的渐近线方程

17、为yJ2x.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关，事实上，标准方程中化1为0,即得渐近线方程.4.【2019年图考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y x (x 0)上的一个x动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】44【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y x 相切位置时，切点 Q即为点P,此时到直线x+y=0的距离最小.由y 1 g 1,得x 衣(x衣舍)，y 3正，即切点Q(J2,3J2),xI .2 3 2则切点Q到直线x+y=0的距离为4，J2 12故答案为4

18、.【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.【2019年高考全国I卷理数】已知抛物线C： y2=3x的焦点为F,斜率为9的直线l与2C的交点为A, B,与x轴的交点为P.(1)若| AF+| BF=4 ,求l的方程；uur uur(2)若 AP 3PB,求|AB .【答案】(1) y(2)4 ,133【解析】设直线l : yt,A Xi,yi ,B X2,y23，,(1)由题设得 F -,0 ，故 | AF| |BF | 431, y - x t 一,199由 2 ，可得 9x2 12(t 1)x

19、 4t22y 3x12(t1)5口7从而-,得t.92837所以l的方程为y -x8uuu uur(2)由 AP 3PB可彳11yl3y2.1, y - x t 一,12由 2 ，可得y 2y 2t 0.2y 3x所以y1 y22 .从而 3y2 y2 2 ,故:x1 x2 -,由题设可得 x1x2-.221 3.八r1代入C的方程得x1 3,x212(t 1)9【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系16.【2019年高考全国n卷理数】已知点 代-2, 0), B(

20、2 , 0),动点Mx, y)满足直线 AM与BM勺斜率之积为-1 .记M的轨迹为曲线 C.2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，P口x轴，垂足为E,连结QE延长交C于点G(i )证明： PQG是直角三角形;(ii )求 PQG面积的最大值. i ,16【答案】(1)见解析；(2) 【解析】(1)由题设得 yy-x 2 x 21x2-，化简得242y 1(|x| 2),所以C为中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆，不含左右顶点.(2) (i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y kx(k 0).y kx由x2y2得x1422.12k2

21、2记 u /贝U P(u,uk), Q( u, uk), E(u,0).,1 2k2kk于是直线QG的斜率为k,方程为y k(x u).22y -(x u),由2 2 2 得土 L 142一 22-22 2(2 k )x 2uk x ku 8 0 .设G(Xg4g),则u和Xg是方程的解，故 xGuk32 k2从而直线PG的斜率为uk32 k2uk2u(3k2 2)2 k2所以PQ PG ,即zPQG是直角三角形.(H )由(i )得 |PQ| 2ujl k2 ，|PG|2uk % k 12 k2,所以 PQG勺面积18g k)k1 破 k)21,S - | PCQII PG|28k(1 k2

22、)Z2 Z 2(1 2k2)(2 k2)1设1=卜+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.kt=2,即k=1时，S取得最大值，最大8t因为S 方在2 , +8）单调递减，所以当1 2t2值为165因此， PQGT积的最大值为169【名师点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题17.【2019年高考全国出卷理数】已知曲线X2C： y= , D为直线y=1一上的动点，过D作2C的两条切线，切点分别为 A, B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E（0, 5）为圆心的圆与直线2AB相切

23、，且切点为线段 AB的中点，求四边形ADBE勺面积.【答案】（1）见详解；（2） 3或4衣.11,2-【解析】（1）设 D t, 一，A Xi, y1，则 X 2y1.2由于yx ,所以切线DA勺斜率为x1 ,1y12故2X1tx1 .整理得 2 tx1 2 y1+1=0.设 B X2,y2 ,同理可得 2tX2 2 y2+1=0.故直线AB勺方程为2tx 2 y 1 0.一， ，1所以直线ABi定点（0,1）.（2）由（1）得直线AB勺方程为y tx11y tx ,22由 2 ，可得x 2tx 1 0. xy万于是 xi 飞 2t, kx21, yi y2| AB| 1-t2|x1 x2|

24、TTT 晨1设d1,d2分别为点D,同直线AB勺距离，_ 1因此，四边形ADB的面积S - | AB |2设岫线段AB勺中点，则M t t2 1 .，2uuuu uuu uuuu c由于 EMAB ,而 EMt,t2 2 ,解得t=0或t1. 一 2,t x1x21 2t 1 ,22,x24x1x2 2 t 1d1d2t2 3、t2 1 .uum9AB与向量(1, t)平行，所以tt2 2 t 0.当 t=0时，S=3;当 t 1 时，S 4J2.因此，四边形ADB的面积为3或4-.2.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较

25、为清晰，但计算量不小18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C： x2=-2py经过点(2, -1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线l交抛物线C于两点 M N, 直线y=-1分别交直线 OM ON于点A和点B.求证：以 AB为直径的圆经过 y轴上的两 个定点.【答案】(1)抛物线c的方程为x24y ,准线方程为y 1 ; (2)见解析.【解析】(1)由抛物线C:x22py经过点(2, 1),得P 2.所以抛物线C的方程为x2 4y,其准线方程为y 1.(2)抛物线C的焦点为F(0, 1).设直线l的方程为y kx 1(k 0).

26、y kx 12由工 得x2 4kx 4 0.x2 4y设 M xi,yi ,N x2,y2，则 x#24.直线OM的方程为y 义x. x令y 1,得点A的横坐标xA同理得点B的横坐标xB卫y2xi,yii)2i)2设点uuuDAD(0, n),则uiur x xDB装y型XiX222XiX2XiyiunrDA(n(nuuui ,DBX2y2i6 x1x24 (n i)2. TOC o 1-5 h z uur uuro令 DA DB 0,即 4 (n i)2 0,则 n i或 n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,i)和(0, 3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程

27、的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力22x yi9.【20i9年图考天津卷理数】 设椭圆 J i(a b 0)的左焦点为F ,上顶点为B .已 a b知椭圆的短轴长为4,离心率为二5 .(1)求椭圆的方程;MN ,求直线PB的(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M为直线PB与X轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON | |OF | (O为原点)，且OP斜率./ .、X2y2、30 T 2:30(1)1 ; (2)或.今又得5455(1)设椭圆的半焦距为c,依题意，2b 4,- a2所以，椭圆的方程为 5(2)由题意，设P

28、xP , yP xp0 ,M xM ,0 .设直线pb的斜率为k k又B 0,2 ,则直线PB的方程为y kx 2 ,y kx 2,与椭圆方程联立x22 整理得4 5k2 x2 20kx 0,上 L 1,54可得xP20k4 5k2，代入y kx2得yP_28 10k2-)4 5k进而直线OP的斜率yP 4 5k2xp10kp在y kx 2中，令y 0，得 xm由题意得N 0, 1 ,所以直线MN的斜率为4 5k2 k由 OP MN ,得 一5 10k2241 ,化间得k ,从而k52、痴5一 ,，2.30.所以，直线PB的斜率为230或直线方程等基础知识.考查【名师点睛】本小题主要考查椭圆的

29、标准方程和几何性质、用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.2220.【2019年高考江苏卷】 如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C与 2 l(a b 0) a2(2)解法一：由(1)知，椭圆C：匕上 1, a=2, b2的焦点为F1( -1、0) ,F2(1, 0).过F2作x轴的垂线l ,在x轴的上方，l与圆222_ _ 一 F2： (x 1) y 4a交于点A,与椭圆C交于点D连结AF并延长交圆F2于点B,连结BE交椭圆C于点E,连结 DF.已知DF= 5 . 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.223【答案】(1)人匕1 ； (2)

30、 E( 1,-). 432【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c.因为 F1( -1, 0), F2(1 , 0),所以 F 1F2=2, c=1.又因为 DF=1 , AUx 轴，所以 DF=JdF； * J(5)2 22 3 ,因此 2a=DF+DE=4,从而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，椭圆C的标准方程为人L 1.43因为AF2，x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方，所以A(1 , 4).又 Fi(-1, 0),所以直线 AF： y=2x+2.y 2x 22由 22 ，得5x2 6x 11 0,解得x 1或x(x 1厂 y 16因此B(11c一代入y 2x51152,得y125 3又 F2(1 , 0),所以直线 BF2： y (x 1).43y (x1)0413由 22 ，得 7x 6x 13 0,解得