1.1.3四种命题间的相互关系 (9)

1、1.1.3四种命题间的相互关系【自我预习】1.四种命题间的关系若q，则p若p，则q若q ，则p2.四种命题真假性间的关系(1)两个命题互为逆否命题,则它们的真假性_.(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_.相同没有关系微提醒在判断一个命题的真假性时,若命题本身难以判断,可以转化为判断其逆否命题的真假来说明原命题的真假.微课堂微思考【思考1】能不能说“若p,则q”是逆命题或否命题?为什么?提示:不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的.只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法,它们与原命题互为逆命题、互为否命题.【思考2】如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题?提示:原命题的

2、逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的逆否命题.【自我总结】1.四种命题的相对性四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆” “互否”“互为逆否”具有相对性.2.四种命题中的“互逆”“互否”“互为逆否”关系(1)两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题.(2)两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题.(3)两对互为逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题.【自我检测】1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是

3、正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数【解析】选B.将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题,则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.2.命题“若aA,则bB”的否命题是()A.若aA,则bBB.若aA,则bBC.若bB,则aAD.若bB,则aA【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若非p,则非q”.注意“”与“”互为否定形式.3.命题“若a-3,则a-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.因为逆命题为“若a-6,则a

4、-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是2.4.“若sin = ,则= ”的逆否命题是_ _,逆否命题是_命题.(填“真”或“假”)【解析】“若sin = ,则= ”的逆否命题是“若 ,则sin ”,是假命题.答案:若 ,则sin 假类型一四种命题的相互关系及应用【典例】1.若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.与p是同一命题2.下列命题中:世纪金榜导学号53162006若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;若一个四边形对角互补,则它内接于圆;正方形的四条边相等;圆内接四边形对角互补;对角不互补的四边形不内接于

5、圆;若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.其中,互为逆命题的有_;互为否命题的有_ _;互为逆否命题的有_.3.下列命题:世纪金榜导学号53162007“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;“四条边相等的四边形是正方形”的否命题;“梯形不是平行四边形”的逆否命题;“若ac2bc2,则ab”的逆命题.其中是真命题的是_(填序号).【思路导引】首先,要熟练掌握四种命题间的相互关系,注意它们之间的等价性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.【解析】1.选A.设p:若A,则B,则p的否命题为若A,则B,从而命题q为若B,则A,则命题p是命题q的逆命题.2.命题可改写为“若一个

6、四边形是正方形,则它的四条边相等”; 命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题可改写为“若一个四边形对角不互补,则它不内接于圆”.所以,互为逆命题的有和,和;互为否命题的有和,和;互为逆否命题的有和,和.答案:和,和和,和和,和3.“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;“若ac2bc2,则ab”的逆命题是“若ab,则ac2 bc2”,是假命题.所以真命题是答案:【解题流程】【

7、方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一:利用四种命题的定义判断.方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.【变式训练】判断命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.【解析】因为m0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式=12m+40.所以原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.【补偿训练】命题“若p,则q”是真命题,则下列

8、命题一定是真命题的是()A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解析】选C.命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.类型二等价命题在证明中的应用【典例】判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集,则a0,即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.方法二:先判断原命题的真假如下:因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集,所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a 2.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个

9、命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.【延伸探究】1.将典例改为求逆命题的真假.【解析】原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判断真假如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,因为a2,所以4a-71,当01时,抛物线与x轴有交点,当0的解集是R,则a0的解集为R,且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a .所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为

10、真命题.【方法技巧】“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,原命题的否命题与逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.【核心素养培优区】易错误区案例 四种命题的真假及应用【典例】已知p:lg(x2-2x-2)0;q:0 x4,若p是真命题,q是假命题,则实数x的取值范围是_.【错解案例】因为命题p是真命题,所以x2-2x-21,解得,x-1或x3.因为命题q是假命题,所以x4,综上,x的取值范围是x-1或x4.答案:x-1或x4错误原因防范措施由命题q是假命题求解x的取值范围忽略了等号. 判断一个命题的真假需弄清楚命题的条件和结论,由命题的真假求参数的取值范围时,考虑问题要全面,不能漏解.【正解】因为命题p是真命题,所以x2-2x-21,解得,x-1或x3.因为命题q是假